《24.2.1点和圆的位置关系》课件（两套）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系第二十四章圆1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.学习目标导入新课

你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？情境引入想一想问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C....B..A.点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系一问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内

点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在

；点B在

；点C在

.

练一练：圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内

B.小圆内C.小圆外

D.大圆内，小圆外oD要点归纳rPdPrd

PrdRrP点P在⊙O内

d<r点P在⊙O上

d=r点P在⊙O外

d>r

点P在圆环内

r≤d≤R数形结合：位置关系数量关系例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在⊙A上

AB=3<r，故B点在⊙A内

AC=5>r，故C点在⊙A外（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3<r<5变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.过不共线三点作圆二问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？

合作探究·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A问题2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.有且只有位置关系定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.ABCDEGF●o归纳总结

已知：不在同一直线上的三点A、B、C.

求作：⊙O,使它经过点A、B、C.作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆。所以⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC练一练问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法:1、在圆弧上任取三点A、B、C;2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3、以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO

某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？●●●BAC针对训练试一试：

已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心三1.外接圆⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：●OABC外接圆内接三角形三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：要点归纳判一判：下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()√××√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.要点归纳例2：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；典例精析(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在直角△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝

，AD＝2OD＝6，∴点A的坐标是(，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，∴△AOB外接圆的面积是9π.方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．例3

如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB，过点O作OD⊥BC.D则OD＝5cm，在Rt△OBD中即△ABC的外接圆的半径为13cm.思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．反证法四要点归纳先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．反证法的一般步骤骤假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理，得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，则

。∴

，即

.这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO当堂练习

2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A

；点C在⊙A

；点D在⊙A

.上外上3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内

B.在⊙O上

C.在⊙O外

D.在⊙O上或⊙O外B4.判断：（1）经过三点一定可以作圆（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）（3）三角形的外心到三边的距离相等（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内（）√×××5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=

.

56.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．70°7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）MRQABCPA．点P B．点QC．点RD．点MB8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第④块C．第③块D．第②块D1·2cm3cm9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O10.如图，已知Rt△ABC中，若AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.

CBAO解：设Rt△ABC的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.∴O是斜边AB的中点.∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.∴AB=13cm，OA=6.5cm.故Rt△ABC的外接圆半径为6.5cm.能力拓展：一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个?怎样安装?请说明理由.点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d>rd=rd<r位置关系数量化作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆一个三角形的外接圆是唯一的.注意：同一直线上的三个点不能作圆点P在圆环内

r≤d≤RRrP课堂小结24.2.1点和圆的位置关系掷飞镖

你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？新课导入

你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？传送带

卷尺滚铁环

你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？教学目标【知识与能力】

理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定．理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆．会画三角形的外接圆，熟识相关概念．

经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想．【过程与方法】【情感态度与价值观】

通过本节课的数学，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育．O教学重难点

用数量关系判定点和圆的位置关系．BADCEFABCDE

你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？观察①②③④⑤Or⊙O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA__OB__OC__OD=___．===rBADCEF点E在圆内，点F在圆外，则OE__r

，OF__r

．<>探究由位置判断距离O探究A点A在圆____，点B在圆___，点C在圆___．内外由距离判断位置BC⊙O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则上点P在圆外点P在圆上点P在圆内d<rd=rd>r知识要点点和圆的位置关系ABCrrr圆外的点圆内的点

平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？圆上的点1．A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？有几个位置？请通过画图来说明．小练习3mA

B站在以A为圆心，以3m为半径的圆上任意一点即可．有无数个位置．2．A站住教室中央，若要求Ｂ与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？有几个位置？3mAC2mBB有两个位置．3．现在要求Ｂ与A距离3m以外，B与C距离2m以外，那么B应站在哪儿？有几个位置？AC3m2mB应站在⊙A和⊙C的圆外，有无数个位置．画圆的关键是什么？确定半径的大小回顾确定圆心1．过一点可以作几个圆?●O●A●O●O●O●O探究无数个点A以外任意一点这点与点A的距离圆心：半径：2．过两点可以作几个圆？●A●B●O●O●O●O无数个这点到A或B的距离线段AB的垂直平分线上圆心：半径：3．过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?ABC

经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．分析ABC步骤1

经过B、C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上．ABC步骤2

经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置．ABC步骤3

过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆．过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．知识要点O外接圆、外心ABC

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．O内接三角形△ABC叫这个圆的内接三角形．ABCABC不在同一直线上的三个点确定一个圆．为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？ll1l2ABCO探究证明：假设经过同一直线l的三个点能作出一个圆，圆心为O．则O应在AB的垂直平分线l1上，且O在BC的垂直平分线上l2上，l1⊥ll2⊥l所以l1、

l2同时垂直于l，这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，所以经过同一直线的三点不能作圆．反证法

假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．经过同一直线的三点不能作出一个圆．命题：假设：经过同一直线的三点能作出一个圆．矛盾：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线过一点有两条直线垂直于已知直线．定理：例如：

分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？锐角三角形的外心位于三角形内．直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点．钝角三角形的外心位于三角形外．ABC●OABCCAB┐●O●O探究课堂小结点P在圆外点P在圆上点P在圆内d<rd=rd>r1．点和圆的位置关系ABCrrr

过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆．过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．2．三点定圆ABC

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．外接圆、内接三角形4．外心ABC5．反证法

假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．随堂练习1．判断下列说法是否正确（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆（）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形（）（3）经过三点一定可以确定一个圆（）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等（）√×√×2．若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（）

A．锐角三角形