上海市高考数学二轮复习：例析以集合知识为载体的创新型试题

【学生版】例析以集合知识为载体的创新型试题

集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础，是数学表达和交流的工具；而现行的创新型

数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题或陌生的问题;

另一类是发现新问题（或提出新问题）并解决提出的新问题：本文，欲以集合知识为载体，例析现行的创

新型试题的题型与解法；

例1、给定数集4,对于任意4,6eA,有o+b∈A且4-beA,则称集合A为闭集合；

①集合A={Y,-2,0,2,4}为闭集合；

②集合A==3Z,/eZ）为闭集合；

③若集合A，4为闭集合，则A4为闭集合；

④若集合A，4为闭集合，且AUR，A=R,则存在ceR,使得C史（4,A2）.

其中，全部正确结论的序号是.

说明本题属于新概念型问题：问题情境给出新定义，考查学习者的及时学习能力，考查了新定义的集合

与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于基础题。

例2、已知M为给定的非空集合，集合7=,<},其中Z≠0,T£M,且1T2Tn=M,

则称集合7是集合M的覆盖；如果除以上条件外，另有〃Tj=0,其中i=l,2,3,,〃，；=1,2,3,,〃，

且iwj,则称集合T是集合M的划分；对于集合A={”,仇c},下列命题错误的是（）

①.集合S={{α力},{b,c}}是集合A的覆盖

②.集合Q={伍},{“刈,{α,c}}是集合A的划分

③.集合E={{0},{b},{c}}不是集合A的划分

④.集合F={{a},{α,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分

说明本题属于新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学习能

力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；

例3、已知集合U={l,2,3,…，n],集合A、B是集合。的子集，若A18,则称“集合A紧跟集合

那么任取集合。的两个子集A、8,“集合A紧跟集合8"的概率为

说明本题属于知识交汇型问题：一般需要交汇与整合构造不等式、方程、代数式、函数、图形、概率与

统计等加以解决的问题；具体到本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定。

例4、若集合A具有以下两条性质，则称集合A为一个“好集合”；

(1)O∈A⅛1∈A;(2)若x、ʃlA,则x-yeA,且当XKO时，有4eA；

X

给出以下命题：①集合尸={-2,-1,0,1,2}是“好集合”；②Z是“好集合”；③。是“好集合”；④R是“好集合

⑤设集合A是“好集合”，若X、yiA,则x+y"；

其中真命题的序号是____________________________

说明解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我

们熟知的基本运算。

例5,定义：对于非空集合A,若元素x∈A,则必有5-x）wA,则称集合A为“机和集合”；已知集合

8={1,2,3,4,5,6,7},则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有个。

说明本题属于猜想推理型问题：通过猜想一推理…验证实现从特殊到一般的推理论证;

例6、给定数集A,若对于任意”,beA,有a+h∈A,且α-b∈A,则称集合A为闭集合.

（1）判断集合4={工-2,0,2,4},5={幻*=3太正2}是否为闭集合，并给出证明；

（2）若集合A,8为闭集合，则AB是否一定为闭集合?请说明理由；

⑶若集合AB为闭集合，且AURBUR,证明：（AB）UR。

说明本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题；本题属于创新

判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数学对象是否存在；③类比

已有结论探索获得的新命题是否成立；

综上，不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解，充分研究问题的条件和结论之间的联系，

运用数学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，综合运用逻辑思维与直觉思维、演绎推理与合

情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式，完成数学问题提出的研究目标。

【教师版】例析以集合知识为载体的创新型试题

集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础，是数学表达和交流的工具；而现行的创新型

数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题或陌生的问题;

另一类是发现新问题（或提出新问题）并解决提出的新问题；本文，欲以集合知识为载体，例析现行的创

新型试题的题型与解法；

例1、给定数集A,对于任意“∕eA,有o+b∈A且α-b∈A,则称集合A为闭集合；

①集合A={-4,-2,0,2,4）为闭集合；

②集合A={n∖n=3k,kwZ）为闭集合；

③若集合A，4为闭集合，则A4为闭集合；

④若集合A,4为闭集合，且AaR,4=R,则存在ceR,使得C史（A,A2）.

其中，全部正确结论的序号是.

提示注意理解“新定义”：闭集合；根据新定义的概念得出：①举反例说明命题错误；②可以通过理论

证明命题正确；③举反例说明命题错误；④举例说明命题错误；

【答案】②；

解析①当。=2、b=4时，a+b=6^A,所以，集合A不是闭集合，命题错误；

②任取“、beA,则。=3尢，b=3k2,k∣、&eZ；所以，kl+k2eZ,则α+0=3（k∣+k2）eA,同理，a-b≡A,

所以，A是闭集合，命题正确；

③A={"∣"=3Z,keZ}是闭集合，A2={n∖n=5k,keZ}是闭集合，且3eA1，5∈A,,（B3+5∉τ∖A2,

所以，A4不是闭集合，则命题错误；

④集合A=R是闭集合，A1={n∖n=5k,k∈Z}是闭集合，且A=R,Λ⊂R,则A4=R,对于任意

的ceR,贝IJCe（AIA2）,则命题错误；

所以，正确命题的序号是②；故答案为：②；

说明本题属于新概念型问题：问题情境给出新定义，考查学习者的及时学习能力，考查了新定义的集合

与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于基础题。

例2、已知M为给定的非空集合，集合T={7；Z，,7；,},其中（≠0,TiQM,且7；T2g=M,

则称集合T是集合M的覆盖；如果除以上条件外，另有〃7；=0,其中i=l,2,3,,〃，7=1,2,3,,n,

且iwj,则称集合7是集合〃的划分；对于集合A={α也c},下列命题错误的是（）

①.集合§={{〃力}，g©}是集合A的覆盖

②.集合。={{"},{“力},S,c}}是集合A的划分

③.集合E={{0},{b},{c}}不是集合A的划分

④.集合F=Ha},{αc}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分

提示理解“新定义”，并根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可；

【答案】②③；

解析对于①，集合S={{α,6},{4c}}满足{4,b}UA,g,c}UA,且{。,分{b,c}=A,故集合S是集合A的

覆盖，选项①正确；

对于②，集合Q={{α},S,b},{α,c}}中,{0,于C{α,c}#0,不满足题目定义中“刀τj=0,",

故集合Q={{4},{"∕},{α,c}}不是集合A的划分，选项②错误；

对于③，集合E={{4},{b},{c}}是集合A的划分，因为{4}UA,g}UA,{c}⊂A,

且⑷旦{C}=A,{α}∩{⅛}=0,{⅛}∩{c}=0,{a}∏{c}=0,

满足定义中的所有要求，选项③错误；

对于④，集合F={{0},{0,c}}中,{a}（J{a,c}≠A,{a}{a,c}≠0,

故集合尸={{4},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分，选项④正确.

故选：②③；.

说明本题属于新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则（公式、原理），考察学习者的及时学习能

力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；

例3、已知集合U={1,2,3,…，n],集合A、B是集合U的子集，若A18,则称“集合A紧跟集合

那么任取集合U的两个子集A、B,“集合A紧跟集合歹的概率为

提示由题意可知集合U的子集有2"个，然后求出任取集合U的两个子集4、B的个数及AUB时A、

5的所有个数〃，根据P=K可求结果.

m

【答案】（》";

解析因为，集合U={1,2,3,…，〃}的子集有2"个，又因为集合A、B是集合U的子集，

所以，任取集合U的两个子集4、8的所有个数共有2"X2"个，

因为，A⊂B,

①若A=0,则5有2"个,

②若4为单元数集，则8的个数为C：X2"T个，

同理可得，若A={l,2,3…则B=A只要1个即1=C"2°,

n0

贝!M、3的所有个数为2+C：×2"τ+C;×2"<+...+C；；×2=(l+2)"=3"个，

集合A紧跟集合3”的概率为P=-ɪ=(-)n,

2,×2,4

故答案为《)"；

4

说明本题属于知识交汇型问题：一般需要交汇与整合构造不等式、方程、代数式、函数、图形、概率与

统计等加以解决的问题；具体到本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定。

例4、若集合A具有以下两条性质，则称集合A为一个“好集合”；

°1

(1)OeA且1∈A;(2)若工、y∖A,则x-y∈A,且当XWo时，有一e4；

X

给出以下命题：①集合P={-2,-1,0,1,2}是“好集合”；②Z是“好集合”；③。是“好集合”；④R是“好集合”；

⑤设集合4是“好集合”，若x、NA,则x+ye4；

其中真命题的序号是____________________________

提示注意理解“新定义”；结合判断命题真假的方法之一：举反例；取x=2,y=-2结合(1)可判断

①的正误；取X=2结合(2)可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由,A,可推

导出-yeA,再结合(1)可判断⑤的正误；

【答案】③④⑤；

解析对于命题①，2∈P,-2∈P,但2-(—2)=4走P,①错误；

对于命题②，2∈Z,但;任Z,②错误；

对于命题③④，显然，集合。、R均满足(D(2),所以，Q、R都是“好集合”，③④正确：

对于命题⑤，当NA时，由于OeA,贝∣J-y=0-yeA,当XeA,贝∣Jx+y=x-(一y)eA,⑤正确.

故答案为：③

说明解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我

们熟知的基本运算。

例5、定义：对于非空集合A,若元素xeA,则必有5-x)eA,则称集合A为“加和集合”；已知集合

8={1,2,3,4,5,6,7},则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有个。

提示由新定义可得集合B的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成组出现，再由子集的概念即可得解;

【答案】15；

解析由题意，集合8的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成组出现，

当集合B的子集中只有1个元素时，即为{4},共1个；

当集合B的子集中有2个元素时,即为{1,7},{2,6},{3,5},共3个;

当集合B的子集中有3个元素时,即为{1,4,7},{2,4,6},{3,4,5},共3个;

当集合B的子集中有4个元素时，即为{1,7,2,6},{1,7,3,5}{2,6,3,5},共3个;

当集合B的子集中有5个元素时，即为{1,7,4,2,6},{1,7,4,3,5},{2,6,4,3,5},共3个；

当集合B的子集中有6个元素时，即为8={1,2,3,5,6,7},共1个.

当集合B的子集中有7个元素时，即为B={1,2,3,4,5,6,7},共1个.

则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.

故答案为：15；

说明本题属于猜想推理型问题：通过猜想一推理…验证实现从特殊到一般的推理论证;

例6、给定数集A,若对于任意α,beA,有α+b∈A,且α-b∈A,则称集合4为闭集合.

（1）判断集合4={工-2,0,2,4},8=闺》=3%,壮2}是否为闭集合，并给出证明；

（2）若集合AB为闭集合，则A8是否一定为闭集合?请说明理由；

⑶若集合AB为闭集合，且AuRBuR,证明：（AB）UR。

提示（1）根据特值4^4,但是4+4=8⅛A,判断A不为闭集合，τ^a=3m,b=3n,m,neZ,可证出α+∕>eB,

a-b&B,B为闭集合；（2）取特例A={x∣x=2*,⅛∈Z},B={x∖x=3k,A∈Z},集合48为闭集合，但AB

不为闭集合即可；（3）用反正正法，若AB=R,存在α∈R且αeA,故α∈B,同理，因为BuR,存

在。∈R且6定B,故。∈A,若α+6eA,则由A为闭集合，a=（a+b）-h≡A,与矛盾，同理可知

若4+b∈B,b=（a+b）-awB，与5任B矛盾，即可证明；

解析（1