《19.2.1 正比例函数》课件（两套）

§19.2.1正比例函数（一）学习目标1.掌握正比例函数的概念.2.弄清正比例函数解析式中字母的意义.3.会求正比例函数的解析式.自学指导阅读课本P110—111页思考以下问题：1.思考并解决110页的问题.2.阅读并解决111页思考所提出的问题.3.观察所列的解析式有什么共同特征？

问题：2018年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。问题研讨（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？25600÷128=200（km）y=200x（0≤x≤128）（3）这只燕鸥飞行1个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？当x=45时，y=200×45=9000

下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？开动脑筋（1）圆的周长L随半径r大小变化而变化；L=2πrm=7.8V想一想（2）铁的密度为7.8g/，铁块的质量m（单位g）随它的体积V（单位）大小变化而变化；开动脑筋（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。

下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h（单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；h=0.5nT=-2t想一想观察与发现

认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．函数解析式常数自变量函数（1）l=2πr（2）m=7.8V（3）h=0.5n（4）T=－2t这些函数有什么共同点？

这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！

2πrl

7.8Vm

0.5nh

－2tT归纳与总结

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．勤学好问这里为什么强调k是常数，

k≠0呢？下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？是，比例系数k=3.不是.是，比例系数k=

你能举出一些正比例函数的例子吗？S不是r的正比例函数，S是的正比例函数.试一试必做题判断下列各题中所指的两个量是否成正比例。（是在括号内打“

”，不是在括号内打“

”）（1）圆周长C与半径r（）（2）圆面积S与半径r（）（3）在匀速运动中的路程S与时间t（）（4）底面半径r为定长的圆锥的侧面积S与母线长l（）（5）已知y=3x-2，y与x（）S=vt待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的方程，解这个方程求出比例系数k。三、把k的值代入所设的解析式。一、设所求的正比例函数解析式。待定系数法例：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与x的函数解析式解：∵y与x成正比例∴y=kx又∵当x=4时，y=8∴8=4k∴k=2∴y与x的函数解析式为：y=2x

正比例函数y=kx中，当x=2时，y=10，则它的解析式是_________.

若一个正比例函数的比例系数是4，则它的解析式是__________.练习1练习2y=4xy=5x必做题练习3已知正比例函数y=2x中,(1)若0<y<10,则x的取值范围为_________.(2)若-6<x<10,则y的取值范围为_________.2x12y0<<10-6<<100<x<5-12<y<20应用新知例1

（1）若y=5x3m-2是正比例函数，m=

。（2）若是正比例函数，m=

。1-2例2

已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化。（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；（2）当x=7时，求出y的值。解：（1）（2）当x=7时，y=4×7=28例3

已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y的值。解：∵y与x－1成正比例∴y=k（x-1）∵当x=8时，y=6∴7k=6∴∴y与x之间函数关系式是：当x=4时

当x=-3时

已知y与x+2成正比例，当x=4时，y=12，那么当x=5时，y=______.解：∵y与x+2成正比例∴y=k(x+2)∵当x=4时，y=12∴12=k(4+2)解得：k=2∴y=2x+4∴当x=5时，y=1414必做题

已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x=1时，y=0，当x=－3时，y=4，求x=3时，y的值。选做题

某学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例，当x=4（个）时，y=100（元）。（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；（2）求当x=10（个）时，函数y的值；（3）求当y=500（元）时，自变量x的值。小测验解（1）设所求的正比例函数的解析式为y=kx，（2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）。∵当x=4时，y=100，∴100=4k。解得k=25。∴所求正比例函数的解析式是y=25x。自变量x的取值范围是所有自然数。（3）当y=500（元）时，x===20（个）。y2550025

1.下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。问：思考题（1）正比例函数的解析式；（2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上；（3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。江山贺村淤头礼贤14千米6千米2千米

下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。问：（1）正比例函数的解析式；（2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上；（3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。江山贺村淤头礼贤14千米6千米2千米解（1）设所求的正比例函数的解析式为S=kt，（2）由已知得30≤t≤40,把t=4，S=2代入，得2=4t。解得k=0.5。所以，所求的正比例函数的解析式是S=0.5t。∴30≤2S≤40即15≤S≤20。由图可知中巴车行使在贺村至淤头公路上。（3）由已知得20≤S≤22,∴20≤0.5t≤22即40≤t≤44。所以从8：40至8：44，该车行使在淤头至礼贤公路上。

2、周末马老师提着篮子（篮子重0.5斤）到菜场买10斤鸡蛋，当马老师往篮子里捡称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于是他将鸡蛋装进篮子里再让摊主一起称，共10.55斤，即刻他要求摊主退一斤鸡蛋的钱，他是怎样知道摊主少称了大约1斤鸡蛋的呢？你能知道其中的原因吗？本课小结函数y=kx（k是不等于零的常数）叫做正比例函数。比例系数

（1）直接根据已知的比例系数求出解析式（2）待定系数法1、正比例函数的定义2、求正比例函数解析式的两种方法：3、在知道正比例函数解析式的前提下函数的值与取值范围自变量的值与取值范围§19.2.1正比例函数（二）复习旧知1.函数的定义：一般的，在一个变化过程中有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．2.函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．3.函数的三种表示方法：①列表法②图象法③解析式法

问题：2018年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。

问题研讨（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？25600÷128＝200（km）y=200x（0≤x≤128）（3）这只燕鸥飞行1个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？当x=45时，y=200×45=9000下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？开动脑筋（1）圆的周长L随半径r

大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8克/立方厘米，铁块的质量为m克，则它的质量m与体积V的关系？L=2πrm=7.8V想一想开动脑筋（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h（单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；h=0.5nT=-2t想一想

认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．函数解析式常数自变量函数（1）l=2πr（2）m=7.8V（3）h=0.5n（4）T=

－2t这些函数有什么共同点？这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！2πrl7.8Vm0.5nh

－2tT归纳1.定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。注意:这里强调k是常数，k≠0.（1）你能举出一些正比例函数的例子吗？（2）下列函数中哪些是正比例函数？（4）y=2x（5）y=x2+1（6）y=（a2+1）x-2（a为常数）试一试应用新知例1

已知一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式为？

y=-5x注意：（2）解析式的特征：正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的特征：①k≠0，②自变量x的指数是1；正比例函数y=kx（k≠0）应用新知例1

（1）若y=5x3m-2是正比例函数，m=

。1正比例函数解析式的应用（2）若是正比例函数，m=

。-2试一试

正比例函数解析式的应用

2、正比例函数的概念的应用。例1:画出下列正比例函数的图象（1）y=2x（2）y=-2x画图步骤：１、列表；２、描点；３、连线。y=2x的图象为：-6-4-20246xy=2xx…-3-2-10123…y……x-5-4-3-2-154321-10-2-3-4-512345xyy=-2x的图象为：6420-2-4-6xy=-2xx…-3-2-10123…y……x-5-4-3-2-154321-10-2-3-4-512345xy看图,在同一坐标系下，观察下列函数的图象，并对它们进行比较：（1）（2）x-5-4-3-2-154321-10-2-3-4-512345xy

比较上面的两个函数的图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律，填写你发现的规律：两函数图象都是经过原点的

，函数y=2x的图象从左向右

，经过第

象限；函数y=-2x的图象从左向右

，经过第

象限．直线上升一和三下降二和四

2.图像：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx

。

3.性质：当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随着x的增大而增大；

当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随着x的增大而减小。思考：你认为有什么简单的方法画一次函数的图像吗？小结1、正比例函数的概念和一般解析式；2、正比例函数的简单应用；１、这节课你学到了些什么知识？２、你有什么收获？3、正比例函数的图象和简单性质。§19.2.1正比例函数1．正比例函数的定义正比例函数比例系数

一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做____________，其中k叫做____________．

2．正比例函数的图象及其性质

探究：y＝kx(k≠0)的图象是一条经过________的直线，我们称它为直线________．原点y＝kx(1)当k>0时，直线y＝kx经过第____、____象限，从左向右________，即________________________；(2)当k<0时，直线y＝kx经过第____、____象限，从左向右________，即_________________________．四下降随着x的增大y反而减小一三上升随着x的增大y也增大二

归纳：正比例函数是一条_____________， 当k>0时，它的图象位于________象限，即随着x的增大y也________； 当k<0时，它的图象位于________象限，即随着x的增大y反而________．过原点的直线一、三增大二、四减小正比例函数的定义例1：已知

y与x成正比例，且x＝－2时，y＝8，写出y与x之间的函数解析式．思路导引：由y与x成正比例，可设y＝kx.把x＝－2，y＝8代入y＝kx，得8＝－2k，即k＝－4.所以y与x之间的函数解析式为y＝－4x.【规律总结】正比例函数y＝kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0；②自变量x的指数为1.解：因为

y与

x成正比例，可设y＝kx(k≠0)．正比例函数的图象及其性质(重点)2例2：若正比例函数y＝(2m－1)x2−m中，y随x的增大而减小，求这个正比例函数的解析式．

思路导引：根据正比例函数定义知2－m2＝1且2m－1≠0，根据正比例函数的性质得2m－1<0.

将m＝－1代入原函数解析式得y＝－3x.

所以所求函数的解析式为y＝－3x.①②

【易错警示】确定正比例函数解析式时，只注意到自变量的指数为1，而忽视了比例系数不为0和正比例函数的性质．)C1．下列函数中，是正比例函数的是(A．y－1＝2x

B．y＝x3C．y＝

x21D．y＝7xDA．y＝xD．y＝x2．过(2,3)的正比例函数的解析式是()12B．y＝1xC．y＝2x－1323．点A(－5，y1)和B(－2，y2)都在直线y＝－2x上，则y1)与y2的大小关系是( A．y1≤y2

C．y1＜y2

B．y1＝y2

D．y1＞y2Dm<2

5．已知y与x－1成正比例，且当x＝2时，y＝4，求y与x的函数解析式．解：因为y与x－1成正比例，可设y＝k(x－1)(k≠0)，将x＝2，y＝4代入得4＝k，即k＝4，所以y与x的函数解析式为y＝4(x－1)＝4x－4.第2课时一次函数的图象与性质1．一次函数的定义y＝kx＋by＝kx

一般地，形如______________(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即_____________，所以____________是一种特殊的一次函数．正比例函数2．一次函数的图象直两点(0，b)

(1)一次函数y＝kx＋b的图象是一条________线．根据________确定一条直线，画一次函数的图象只需取两点即可，通常取点________和____________．

(2)直线y＝kx＋b可以看作由直线________平移|b|个单位长度而得到的，当b＞0时，________平移，当b＜0时，________平移．y＝kx向上向下3．一次函数的性质探究：一次函数

y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的性质：(1)当k>0，b>0时，直线y＝kx＋b由左向右________，过___________象限；上升一、二、三(2)当k>0，b<0时，直线y＝kx＋b由左向右________，过___________象限；上升一、三、四(3)当k<0，b>0时，直线y＝kx＋b由左向右________，过___________象限；下降一、二、四(4)当k<0，b<0时，直线y＝kx＋b由左向右________，过二、三、四___________象限；正比例函数

(5)当b＝0时，直线y＝kx＋b过________，是____________．

归纳：在一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)中，________的正负决定直线的方向，________的正负决定直线与______轴的交点位置．kby下降原点①y＝x；一次函数的定义例1：下列函数中，一次函数的有()C12②y＝1＋2x；③y＝πx；A．3个B．4个C．5个D．6个

思路导引：根据一次函数的定义进行判断，且π是常数．

【规律总结】一次函数的定义式可以变化成其他的函数解析式形式．x01y＝2x02y＝2x＋224y＝2x－2－20一次函数的图象(重点)例2：在同一直角坐标系内画出函数y＝2x，y＝2x＋2，y＝2x－2的图象．解：方法一：列表：

过点(0,0)和(1,2)画直线得到y＝2x的图象；过点(0,2)和(1,4)画直线得到y＝2x＋2的图象；过点(0，－2)和(1,0)画直线得到y＝2x－2的图象，如图1.图1x01y＝2x02方法二：列表：

描点，连线得到y＝2x的图象，将y＝2x的图象向上平移2个单位，得到y＝2x＋2的图象；将y＝2x的图象向下平移2个单位，得到y＝2x－2的图象，如图1.【规律总结】根据函数解析式直接确定两点，过两点作直线即可得到其函数图象；也可以通过函数y＝kx的图象平移得到函数y＝kx＋b的图象．

一次函数的性质(重难点)

例3：已知一次函数

y＝(6＋3m)x＋(m－4)，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，求m的取值范围．

思路导引：由一次函数的性质可知m－4<0和6＋3m≠0.

解得m<4且m≠－2.

【规律总结】牢记一次函数的性质，在处理与两轴交点问题时，应注意k≠0的条件．1．已知一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过()BA．第一、二、三象限C．第一、二、四象限B．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

2．当m＝________时，函数y＝(m＋2)xm-3＋m是一次函数．直线y＝x－5.4y＝3x＋4向下5

3．将直线y＝3x向上平移4个单位，得到直线____________；将直线y＝x________平移______个单位，得到4．已知：一次函数y＝(5m－3)x＋(2－n)．(1)当m为何值时，y随x的增大而减小；(2)当m、n分别为何值时，一次函数与y轴的交点在x轴的上方？

1．用待定系数法求一次函数的解析式

(1)先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的________，从而具体写出这个式子的方法，叫做__________．

(2)探究：已知一次函数的图象经过(2,5)和(－4,2)，求这个一次函数的解析式．系数待定系数法第3课时求一次函数解析式5＝2k＋b2＝－4k＋b412y＝x＋412待定系数法y＝kx＋bk、b

归纳：用__________求一次函数解析式的步骤： ①设出一次函数解析式________； ②根据条件确定解析式中未知数的系数__________； ③将k、b代入y＝kx＋b，得到所求函数解析式．

2．分段函数

在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或函数图象时，要根据自变量的取值范围分段描述．这种函数通常称为分段函数．用待定系数法求一次函数的解析式(重点))例1：直线

y＝kx＋b在坐标系中的图象如图1，则(图1

思路导引：根据待定系数法求出一次函数的解析式中未知数的系数．

答案：B

【规律总结】用待定系数法求一次函数的解析式，要根据题意找出函数上的已知两点坐标．分段函数的解析式例2：从广州市向北京市打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟收费0.5元，求时间t(分)与电话费y(元)之间的函数解析式，并画出函数的图象．思路导引：分段函数要根据自变量的取值范围分段描述．解：当0＜t≤3时，y＝2.4；当t＞3时，y＝2.4＋0.5(t－3)＝0.5t＋0.9.函数图象由一条线段和一条射线组成，如图2：图2【规律总结】分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分段函数解析式必须写出自变量的取值范围．

1．已知一次函数，当x＝－2时，y＝－3；当x＝1时，y＝3，则这个一次函数的解析式为____________．图3y＝2x＋1y＝2x＋1

2．在图3中，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是____________．

3．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图4，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．y＝3x－306035

图4 (1)当x≥30时，y与x之间的函数解析式为______________；

(2)若小李4月份上网20小时，他应付________元上网费用；

(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是__________．

19.2.1正比例函数思考：

下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点？(1)圆的周长L随半径r的大小变化而变化；

(2)铁的密度为7.8，铁块的质量m(单位:g)随它的体积V（单位：）的大小变化而变化；

思考：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点？

(3)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化；思考：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点？

(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位:分)的变化而变化。思考：下列函数有什么共同特点：归纳：

这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。

正比例函数：

一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.正比例函数y=kx（k≠0）例1下列函数中，是正比例函数的为（）B正比例函数y=kx（k≠0）练习：若是正比例函数，则实数a=______注意：（1）解析式：函数是正比例函数其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式；注意：（2）解析式的特征：正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的特征：①k≠0，②自变量x的指数是1；注意：（3）自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中或者是在具体规定取值范围的前提下，正比例函数自变量的取值范围就不是全体实数了。（2）正方形的面积公式是其中S是面积，a为正方形的边长，面积S是边长a的正比例函数。例题3判断下列说法是否正确？（1）圆的周长公式其中C是周长，R为半径，周长C是半径R的正比例函数；

例4:画出下列正比例函数的图象：x-3-2-10123y-6-4-20246(1)y=2x;

列表：8642-2-4-6-8-10-5510描点函数图象有什么特征？函数图象有什么特征？

根据图象发现规律：两图象都是经过原点的_________.

函数y=2x的图象从左向右_________,

经过第________象限;

函数y=-2x的图象从左向右______,经过第_______象限.直线上升一、三

下降二、四

一般地,

正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k＞0时,直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升,即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降,即随着x的增大y

反而减小。

正比例函数图象的性质:（1）正比例函数的图象是一条过原点的直线，画正比例函数的图象时，可以通过两点（0，0）和（1，k)而画出.（2）根据正比例函数的性质，只要知道比例系数k的符号是正（或负），不用画出图象就能判断其图象的位置，以及y随x的增大而增大（或减少）情况，反之亦然。注意：(3)k的符号，图像的位置，函数的增减性，三者知道其一，就可知道其它两个。练习：（1）若函数y=(m-2)x+5-m是正比例函数，则m的值为______，此函数解析式是_______