《19.1.1 变量与函数》课件（三套）

19.1.1变量与函数第19章一次函数(1)你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时,随着时间t的变化,你离开地面的高度h是如何变化的？变量

情境引入O1234567891011123h（米）t（分）O123456789101112311h（米）t（分）O12345678910111231137h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。t/分012345······h/米······31137453711根据上图填表刻画摩天轮转动过程的量是时间t和高度h,高度h随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.

变量

如图是某地一天内的气温变化图．

看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

问题一问题探究一

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．

在这个变化过程中存在着两个变量时间t和温度T,对于时间t每取一个值,温度T都有唯一的值与之对应.我们就说时间t是自变量,温度T是因变量.也称T是t的函数.

下表是2016年8月中国人民银行公布的

“整存整取”年利率.存期x三月六月一年二年三年五年年利率y（﹪）1.802.252.523.063.694.14

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的？问题二随着存期x的增长，相应的年利率y也随着长．我们就说存期x是自变量,年利率y是因变量.也称年利率y是存期x的函数.在以上变化过程中存在着两个变量存期x和年利率y,对于存期x每取一个值,年利率y都有唯一的值与之对应.

收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：波长

(m)30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200

观察上表回答：(1)波长和频率f数值之间有什么关系?(2)波长越大，频率f

就________．问题三越小

在这个变化过程中存在着两个变量波长

和频率f,对于波长

每取一个值,频率f都有唯一的值与之对应.我们就说波长

是自变量,频率f是因变量.也称频率f是波长

的函数.圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝________．利用这个关系式,试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积,并将结果填入下表:(

≈3.14)

r²半径r(cm)11.522.63.2…圆面积S(cm²)3.147.0712.5721.2432.17…问题四在这个变化过程中存在着两个变量半径r和面积S,对于半径r每取一个值,面积S都有唯一的值与之对应.我们就说半径r是自变量,面积S是因变量.也称面积S是半径r的函数.

概括

变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．

常量：在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。如问题三中的300000，问题四中的。

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．函数的概念（2）列表法

波长l(m)30050060010001500频率f(khz)1000600500300200（1）解析法如问题3中的f=，问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．函数表示方法存期x三月六月一年二年三年五年年利率y(%)1.712.072.252.703.243.60（3）图象法

(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?1.下表是某市2019年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.年龄组(岁)7891011121314151617男生平均身高(cm)115.4118.3122.2126.5129.6135.5140.4146.1154.8162.9168.2

巩固训练解:(1)14岁的男学生的平均身高是146.1cm．(2)约从11岁开始身高迅速增加.(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.2.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式;(2)火车以90千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.解:(2)s=90t,S=(n－2)×180°,(1)C=2

r,2、

是常量，r和C是变量.90是常量，t和s是变量.2和180°是常量，n和S是变量.（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．试一试xy（2）试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．yx等腰三角形两底角相等（3）如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式．思考

1.在上面“试一试”中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。(x取1到9的自然数)2.在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？y＝10－x

对于问题1中的函数，当自变量x=3时，对应的函数y的值y=10-3=7

，则把7做这个函数当x=3时的函数值

例1

求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）

y＝3x－1；

（2）

y＝2x2＋7；

（3）

y=；

（4）

y＝．

（3）中，x≠－2时，原式有意义．

（4）中x≥2时，原式有意义．解：（1）（2）中x取任意实数，3x－1,都有意义1.求下列函数中自变量x的取值范围

（1）y=；（2）y=x2-x-2；（3）y=；（4）y=

巩固训练答案：（1）（2）x为任意实数；（3）x≠-2;(4)x≥-3例2在上面试一试的问题（3）中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?

解：设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcmy与x之间的函数关系式为

y=

当x＝1时，y=答:MA＝1cm时，重叠部分的面积是cm2

1.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1).某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；

(2).已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；(3).在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.快乐套餐2.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？3、如图，直线

是过正方形ABCD两对角线AC与BD交点O的一条动直线从直线AC延顺时针方向绕点O向直线BD位置旋转（不与直线AC、BD重合）交边AB、CD于点

E、F，设AE＝xcm，直线

在正方形ABCD中扫过的面积为ycm2，正方形边长为AB＝2cm。(1)写出y与x的函数关系式与自变量x的取值范围.(2)若BE＝1.75cm，求y的值。

ABCDOEFH说一说1、用一个变量表示另一个变量。2、变量、常量和函数的概念。这节课我的收获是……3、自变量的取值范围和函数值。变量与函数如图是某地一天内的气温变化图看图回答：

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

··温度T随着时间t的变化而变化。问题1：

银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2016年8月中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．

随着存期x的增长，相应的年利率y也随着存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14增长．年利率y随着存期x的变化而变化。问题2：

收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：与

f

的乘积是一个定值，即或者说

波长（m）30050060010001500频率f(khz)1000600500300200(1)波长和频率f数值之间有什么关系?(2)波长越大，频率f

就________越小频率f随着波长的变化而变化。问题3：问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S=利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：半径r（cm)11.522.63.2…圆面积S（）…圆的半径越大，它的面积就越大圆的面积S随着半径r的变化而变化。

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．

例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．

像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．例：指出下列关系式中的变量。（1）收音机刻度盘上的波长(m)与频率f(kHz)之间的关系：（2）三角形的一边长5cm，它的面积S（）与这边上的高h（cm）的关系式：是变量。是变量。（3）圆的周长C与半径r之间的关系：是变量。问题1中的T、t，问题2中的y、x都是变量。观察：下面的例子中有一些始终不变的量，你能找出来吗？（1）收音机刻度盘上的波长(m)与频率f(kHz)之间的关系：（2）三角形的一边长5cm，它的面积S（）与这边上的高h（cm）的关系式：（3）圆的周长C与半径r之间的关系：3000002、

这种在问题的研究过程中，取值始终保持不变的量，称为常量。如图是某地一天内的气温变化图··问题1：观察：（2）当横轴上的时间t取定一个值时，纵轴上气温T有几个值与之对应？（1）题中有哪几个变量？T、t两个变量一个

银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2016年8月中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14问题2：观察：（2）当存期x取定一个值时，利率y有几个值与之对应？（1）题中有哪几个变量？y、x两个变量一个

收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

波长（m）30050060010001500频率f(khz)1000600500300200问题3：观察：（2）当波长取定一个值时，频率f有几个值与之对应？（1）题中有哪几个变量？一个、f两个变量问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S=半径r（cm)11.522.63.2…圆面积S（）…观察：（2）当半径r取定一个值时，面积S

有几个值与之对应？（1）题中有哪几个变量？一个S、r两个变量归纳：以上四个问题有什么共同之处？（1）每个问题中出现了几个变量？2个（2）以问题2为例，在下表中存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14年利率y随着存期x的变化而变化。两个变量分别为x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应。我们就说x是y是此时称y是x的函数。自变量，因变量。变量与函数一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应。我们就说x是y是此时称y是x的函数。自变量，因变量。如图是某地一天内的气温变化图··问题1：函数：自变量：因变量：是的函数.

银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2016年8月中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14问题2：函数：自变量：因变量：是的函数.

收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：波长（m）30050060010001500频率f(khz)1000600500300200问题3：函数：自变量：因变量：是的函数.问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：函数：自变量：因变量：是的函数.函数的三种表示方法：1.图象法2.列表法3.解析法如问题3中的问题4中的这些表达式称为函数的关系式。例:

写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r

的关系式；C＝2πr

S＝60t2、180是常量，(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程S（千米）和所用时间t（时）的关系式；(3)n边形的内角和

S与边数n

的关系式．解：2、π是常量，（）r、C是变量解：解：60是常量，（）t、S是变量S＝(n－2)×180（）n、S是变量．

实际问题中，写函数关系式时，一定要写出自变量的取值范围。例1、汽车离开A站5千米后，以40千米／时的平均速度行驶了t小时，汽车离开A站所走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式是，.t自变量是例2、下面的表格分别给出了变量x与

y

之间的对应关系，y是x的函数吗？x

是y的函数吗？请说明理由.x12321y149-4-1分析：y不是x的函数，因为当x=1时，y有两个值1和－1与之对应；当x=2时，y有两个值4和－4与之对应.x是y的函数，因为对于y的每一个值，x都有唯一的值与之对应.ex:1.下列关系中不是函数关系的是（）A2.已知把它写成y是x的函数的形式是3.矩形的周长为14cm，求它的面积S与它的一边长x（cm）间的函数关系式，并求出当一边长为3cm时矩形的面积.检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是：；(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是

(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：交流反思:

1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系．2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．3.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法

变量与函数每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s.S=60t60120180240300问题一:问题二:票房收入=售价×售票张数早场票房收入=10×150=1500（元）日场票房收入=10×205=2050（元）晚场票房收入=10×310=3100（元）y=10x在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l(单位：cm)?l=10+0.5x问题三:问题四:要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少??10cm2圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积s的式子表示圆半径r?20cm2?问题五:如图，用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化？记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示s？观察并思考上面的各个式子中的量有什么特点？在一个变化过程中，有些量的数值在发生变化在一个变化过程中，有些量的数值没发生变化（始终不变）变量常量时间t路程s售出的票价x票房收入y速度60千米/小时票价10元绳长10米S=60ty=10xr=S=x（5－x）探究：1、指出下列关系式中的变量与常量：(1)y=5x