广西壮族自治区柳州市蒙山县新圩中学高二数学理上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市蒙山县新圩中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线l过点且与双曲线x2﹣y2=2仅有一个公共点，这样的直线有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件；当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点，综上，满足条件的直线共有3条．故选：B．2.若椭圆上有个不同的点为右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（

）参考答案：B3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.复数的值是 （

）A．2 B．

C． D．参考答案：D5.设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（

）A．1 B.

C.

2

D.

参考答案：A略6.已知双曲线的一个焦点坐标是（5，0），则双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的一个焦点坐标是（5，0），求出m的值，从而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意，双曲线的焦点在x轴，且，∵一个焦点是（5，0），∴∴双曲线的渐近线方程为．故选：B．7.若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是A

B

C

D参考答案：C

易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。8.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（

）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

参考答案：C略9.过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时|OD|=，|OA|=1，则，即sin=，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．10.已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆E:与双曲线D:(a>0，b>0)，直线：与双曲线D的两条渐近线分别交于点A，B.若椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，则椭圆的离心率的取值范围是________.参考答案：12.若实数x，y满足不等式，则的取值范围为．参考答案：[，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到D（﹣2，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），则AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案为：[，]．13.已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．

参考答案：2略14.观察式子，，，……，则可以归纳出

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参考答案：根据题意，每个不等式的右边的分母是，不等号的右边的分子是，所以，所以答案是.

15.已知某等差数列共10项，其中奇数项的和为15，偶数项的和是30，则该数列的公差是

参考答案：316.椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是______.参考答案：17.已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是． 参考答案：﹣1≤a＜7【考点】函数在某点取得极值的条件． 【专题】计算题． 【分析】首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案． 【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a， 当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点， 解得﹣1＜a＜7， 当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣， 当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根， 则a的取值范围是﹣1≤a＜7， 故答案为﹣1≤a＜7． 【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程

参考答案：设直线为交轴于点，交轴于点，得，或

解得或，或为所求

19.若函数，当时，函数有极值。（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程有三个不等实根，求实数k的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由时，函数有极值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，有极大值；当时，有极小值，因为关于的方程有三个不等实根，所以函数的图象与直线有三个交点，则的取值范围是【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.20.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为，点(2,1)在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线两侧的动点．当点A，B运动时，满足，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题可得，所以，则椭圆的方程为（2）将代入椭圆方程可得，解得，则，由题可知直线与直线的斜率互为相反数，写出直线的方程与椭圆方程联立整理可得。【详解】（1）因为椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，所以设椭圆方程为因为焦距为，所以，焦点坐标，又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得所以，即解得所以则椭圆的方程为.（2）将代入椭圆方程可得，解得则当点运动时，满足，则直线与直线的斜率互为相反数，不妨设，则，所以直线的方程为，联立，解得因为是该方程的两根，所以，即，同理直线的方程为且所以所以，即直线斜率为定值。【点睛】直线与椭圆的位置关系是近几年的高考重要考点，求椭圆的标准方程时要注意焦点的位置，本题解题的关键是先求出椭圆的标准方程，且由可知直线与直线的斜率互为相反数，属于偏难题目。21.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1上一点．（）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1．（）若P是棱DD1的中点，求CP与平面BDD1B1所成的角大小．参考答案：（）证明如下．（）（或）．（）证明：长方体中