2022年辽宁省沈阳市第一三0中学高二数学理知识点试题含解析

2022年辽宁省沈阳市第一三0中学高二数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．【分析】由于线段PF1的中点M落在y轴上，连接MF2，则|MF1|=|MF2|=|PM|=|PF1|?△PF1F2为直角三角形，△PMF2为等边三角形，于是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a?c=a，由c2=a2+b2可求得b=a，于是双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：连接MF2，由过点PF1作倾斜角为30°，线段PF1的中点M落在y轴上得：|MF1|=|MF2|═|PM|=|PF1|，∴△PMF2为等边三角形，△PF1F2为直角三角形，∵是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a∴c=a，又c2=a2+b2，∴3a2=a2+b2，∴b=a，∴双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±=±x．

故选C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是对双曲线定义的灵活应用及对三角形△PMF2为等边三角形，△PF1F2为直角三角形的分析与应用，属于难题．2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．3.在等比数列{an}中，a1=1，则“a2=4”是“a3=16”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：在等比数列{an}中，a1=1，若a2=4，则公比q=，则a3=a2q=4×4=16．若a3=16，则a3=1×q2=16，即q=±4，当q=﹣4时，a2=a1q=﹣4，此时a2=4不成立，即“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件，故选：A．4.条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的

（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件参考答案：A5.在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的。下列说法中正确的是（

）A.100个心脏病患者中至少有99人打酣

B.1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打酣C.100个心脏病患者中一定有打酣的人

D.100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有参考答案：D略6.若tanα=2，则的值为（）A．0 B． C．1 D．参考答案：B【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GK：弦切互化．【分析】根据齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．【解答】解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）得，故选B．【点评】本题主要考查tanα=，这种题型经常在考试中遇到．7.已知集合，则（RA）∩B=(

▲

)A. B.

C. D.参考答案：C略8.在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰或直角三角形参考答案：B9.已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．10.阅读下列材料，然后解答问题；对于任意实数,符号[]表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，[]是，当不是整数时，[]是左侧的第一个整数，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯()函数，如[-2]=-2、[-1.5]=-2、[2.5]=2

定义函数{}=-[]，给出下列四个命题；①函数[]的定义域是，值域为[0，1]

②方程{}=有无数个解；③函数{}是周期函数

④函数{}是增函数。其中正确命题的序号是（

）

A．①④

B．②③

C．①②

D．③④参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长都是1，则点P到平面ABC的距离为．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】判断三棱锥是正三棱锥，要求点P到平面ABC的距离，可根据等体积求解，即VA﹣PBC=VP﹣ABC，根据正三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得．【解答】解：设点P到平面ABC的距离为h，∵三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，所以三棱锥是正三棱锥，∴AB=BC=AC=，∴S△ABC=，根据VA﹣PBC=VP﹣ABC，可得××13=××h，∴h=，即点P到平面ABC的距离为．故答案为：．12.已知函数，则________；参考答案：【分析】直接求导即可【详解】因为，进行求导得.将代入得.故.【点睛】此题是关于求导运算的基础题13.已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是

．参考答案：3【考点】基本不等式．【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=，∴2x+y=2x+==≥2=3．当且仅当即x=1时取等号．故答案为：3．14.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从1200人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，1200，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为28，抽到的40人中，编号落在区间[1，300]的人做试卷A，编号落在[301，760]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为．参考答案：15【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】由题意可得抽到的号码构成以28为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式，由761≤30n﹣2≤1200，求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：因为1200÷40=30，所以第n组抽到的号码为an=30n﹣2，令761≤30n﹣2≤1200，n∈N，解得26≤n≤40，所以做试卷C的人数为40﹣26+1=15．故答案为15．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．15.设全集，集合，，则---------参考答案：(1，2，5)16.四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是

．参考答案：，

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大；当AC⊥CD，AB⊥BD时，该四面体表面积取最大值．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：Smax==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值Smax==1+．故答案为：，．【点评】本题考查四面体的体积的最大值和表面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.已知集合,,从集合,中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个参考答案：

解析：，其中重复了一次三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=，D、E分别为AA1、A1C的中点．（1）求证：A1C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值．参考答案：（1）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C在面AA1C1C内，∴BC⊥A1C．

2分在△AA1C中，AC=1，AA1=C1C=2，∠CAA1=，由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC?AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3，

∴A1C=

∴AC2+A1C2=AA12

∴AC⊥A1C

5分∴A1C⊥平面ABC．

6分（2）由（Ⅰ）知，CA，CA1，CB两两垂直

设平面BDE的法向量为=(x，y，z)，则有令z=1，则x=0，y=∴=(0，，1)

9分∵A1C⊥平面ABC

∴=(0，，0)是平面ABC的一个法向量

10分∴

∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．

12分19.（本小题14分）已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切，记动点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q．试研究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：20.已知不等式ax2－3x＋6＞4的D解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)当时，解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.参考答案：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0.由根与系数的关系，得4分(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.5分因为c＞2，所以不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}.21.（本题满分12分）2013年某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额（单位：万元）与日产量的函数关系式已知每日的利润，且当时，．（1）求的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．参考答案：（Ⅰ）由题意可得：，

……………2分∵时，

∴.

……………4分解得.

……………6分（Ⅱ）当时，，所以当且仅当，即时取得等号．

……………10分

当时，．

所以当时，取得最大值．

……………11分答：当日产量为吨时，每日的利润可以达到最大值万元．

……………12分

略22.(10分)已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．参考答案：(1)：由|PF1|＋|PF2|＝2a，知a＝3．又PF1⊥F1F2，在R