新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习 单元质检卷七空间向量与立体几何北师大版

单元质检卷七空间向量与立体几何

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2021湖南衡阳月考）下列说法正确的是（）

Λ.三点确定一个平面

B.如果一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线

C.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直

D.平行于同一平面的两条直线互相平行

2.平面a外的一条直线1上有相异的三个点A,B,C,且三个点到平面a的距离相等,那么直线1与平

面。的位置关系是（）

A.71aB.1//a

C.J与。相交D./〃。或∕uα

3.（2021山东济宁二模）“直线叫垂直平面。内的无数条直线”是“Ma”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.一个正四棱锥的底面边长为2,高为百,则该正四棱锥的表面积为（）

A.8B.12C.16D.20

5.（2021广东清远一中开学考试）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底

面半径之比为1；3,母线长为6cm,则已知圆锥的母线长为（）

A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm

6.（2021河南安阳一中月考）在正方体ABCD-ABCm中，〃为BD的中点，则直线PB与成的角为

（）

7.

（2020河北博野中学高三开学考试）如图,在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中,E为"G的中点.过

点B“E、A的平面截该正方体所得的截面周长为)

Λ.6√2M√5B.4√2+2√5

C.5√2+3√5D.8√2÷4√5

8.（2021河北石家庄质量检测二）在三棱锥P-ABC,必1.底面ABC,BCLPC,PA=ACm,BC=a,动点Q

从6点出发,沿外表面经过棱冗上一点到点A的最短距离为√T6,则该棱锥的外接球的表面积为

（）

A.5πB.8πC.10πD.20π

9.关于空间两条不同直线a"和两个不同平面。，民下列命题正确的是（）

Aaj-α,bA.a,则a_Lb

B.a_L6,虹£,则a//β

C.aJ_a,bLβ,aɪβ,贝IJaLb

D.a//α,α,尸，则a±β

10.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形,一

条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖般”.如图，

在堑堵ASC-AiRG中,ACLBC,且AA,=AB2下列说法不正确的是（）

A.四棱锥8-44CG为“阳马”

B.四面体4七⑦为“鳖席”

C过4点分别作于点£/凡L4C于点R则EFLA,B

D.四棱锥8-4/CG体积最大为I

11.

如图，已知正方体/a»为5G〃的棱长为2,£为棱S的中点,尸为棱/4上的点,且满足1/..必=1；

2,点K8,£G,〃为过三点B,E,b的平面面邠与正方体ABCD-ABCD的棱的交点，则下列说法正确的

是（）

A.HF与庭相交

B.三棱锥A-5MV的体积为6

C.直线柳V与平面ABBA的夹角是45°

D.GG=I；3

12.在正方体AQ中,£是棱CQ的中点,尸是侧面ZTG笈内的动点,且4月与平面几伤的垂线垂直,如

图所示,下列说法不正确的是（）

A.点尸的轨迹是一条线段

B.4Λ■与跖是异面直线

C.4月与'不可能平行

D.三棱锥F-ABDx的体积为定值

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.

在正三棱柱ABe-ABQ中,〃是/18的中点，则在所有的棱中与直线切和∕1Λ都垂直的直线

有.

14.如图,在正方体ABCD-AECm中,平面4CG与平面BDG的交线是.

15.将半径为4的半圆卷成一个圆锥,则圆锥的体积为.

16.（2021浙江杭州二中模拟）如图，Z∖48C的三边AB=IO,BC=∖λe,。=14,D,E,尸分别是三边的中点，沿

DF,FE,ED'将AADF,∕∖CEF,△物9折起,使得A,用C重合于点户,则四面体∕¾½尸的表面积

为；体积为.

三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）如图在边长是2的正方体ABCD-ABGDi中,£尸分别为AB,4C的中点.

（1）求异面直线EF与CO1所成角的大小;

⑵证明：斯_L平面AyCD.

18.（12分）（2021安徽马鞍山三模）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,△必〃为等边三角

形，乙仿CWO°,O为加的中点.

⑴证明：平面为〃！平面POC∖

（2）若AD20O√瓦点"在线段PD上,PM4MD,求三棱锥P-OCV的体积.

19.

（12分）（2021北京延庆三模）如图，四棱柱ABCD-ABCD的底面儿㈱是边长为2的正方形,侧面

ADttAl为矩形,且侧面/1的/」底面AβCD,AAi=4,E,鼠N分别是BC,BB1,4,的中点.

（D求证:.肠V〃平面GDE-,

（2）求二面角D-GE-B∖的余弦值.

20.（12分）（2021北京，17）己知正方体ABCD-ABCd点、E为A1D1中点，直线交平面CDE千点、F.

⑴证明：点尸为旦G的中点;

（2）若点"为棱4笈上一点,且二面角MVTJf的余弦值为唱求然■的值.

3AlBl

21.

（12分）（2020新高考I,20）如图，四棱锥"T8（力的底面为正方形,如，底面ABCD.设平面P4。与平

面胸的交线为1.

（1）证明：/，平面如C;

（2）已知PD=AD=X,0为1上的点,求心与平面Q所成角的正弦值的最大值.

22.（12分）（2021天津滨海新区塘沽第一中学月考）已知如图，四边形W为矩形，四边形/版为

梯形,平面如饭L平面ABCD,NBAD=NADewQ°,AB=A*CD=LPD=y[2.

PE

AB

⑴若材为为中点，求证:AC//平面MDE-,

（2）求直线PA与平面胸所成角的正弦值;

（3）在线段抬上是否存在一点0（除去端点），使得平面3〃与平面月飨所成锐二面角的大小为:?若

存在,请说明点。的位置;若不存在,请说明理由.

单元质检卷七空间向量与立体几何

I.C解析:当三点共线时,不能确定一个平面,故A错误；

如果一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内的任意一条直线可能平行也可以异面,故B

错误；

由线面垂直的判定定理知C正确；

平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交也可以异面,故D错误.

故选C.

2.B解析:当直线/与平面。相交时,直线/上只有2个不同点到平面。的距离相等,故A,C错误；

当直线/〃平面a时,直线上所有点到平面距离都相等,满足题意,故B正确；

因为平面。外的一条直线1,所以IQ。，故D错误.

故选B.

3.B解析：因为当直线卬垂直平面。内的所有直线时,可得如，。，

所以由直线加垂直平面。内的无数条直线不一定能推出ka；

当初L。时，直线）垂直平面。内的无数条直线，

所以直线小垂直平面。内的无数条直线是mLa的必要不充分条件.

故选B.

4.B解析:如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面/以力的边长为2,

设点尸在底面4阅9的投影点为点0,则四棱锥PTBCO的高PO=W,

则。为然的中点，且AO得ACqABfPB=PA=∖∣PO2+AO2=√5.

取四的中点£连接PE,则PELAB,且PE^PA2-AE2=Q.,

则SAMB=AB∙PE2故正四棱锥PT四的表面积四.械产1X2+2X2=12.故选B.

5.B解析:设圆锥的母线长为

因为圆台的上、下底面半径之比为1；3,

所以（Λ6）3=1：3,

解得7=9.

故选B.

6.D解析：（方法1）如图1所示,连接8G,则/如G就是直线阳与/4所成的平面角，易得阳LP&

且BC∖CPC∖,所以N%G=∙故选D.

6

（方法2）以点〃为坐标原点,直线的,阳〃〃分别为X轴、y轴、Z轴,建立空间直角坐标系Z⅛yz,如

图2.设AEA贝IJ6(1,1,O),P^∖,∖,J,4(1,0,θ),ð(0,0,1),所以丽=乌弓，-1),砧=(T,0,1),设

3

J两・西I

直线PB与所成的角为0,则cos0至J=今所以

丽师I2

加6

图2

故选D.

7.A解析:如图,取㈤的中点人连接":能

显然EF//AB^则四边形/5〃为所求的截面.

22222222

因为D∖E=C∖E2所以BiE^j2+4⅛√5,TIZ?,-√4+4=4√2,ΛF-√2+2=2√2,^-√4+2=2√5,所

以截面的周长为6√2÷4√5.

8.B解析:将侧面PBC沿翻折到与侧面为C共面,如图所示.

则动点0从3点出发,沿外表面经过棱和上-一点到点A的最短距离为AB.

：为，底面ABC,ACa平面ABC,J.PΛVΛC.又BCVPC,PA=AC,

：.ZACB^+-=

244

：.A4=AC+BG3C∙BCcosZACB=^.+a÷2√2aXy=I0,解得a=2.

：.PB^JPC2+BC2=y]PA2+AC2-YBC2=fAyfl.

取附中点0,连接AaCO,

,?PA1AB,PeLBC,：.AO=CO与PB,

∙∙.0为该棱锥的外接球的球心,其半径吟PBm,

球。的表面积SNn"Wn.

故选B.

9.C解析:对于A,当aJ_aybL。，直线a和方相当于平面。的法向量,则a〃&故A错误;

对于B,当a±A,⅛±β,则a//£或au£,故B错误；

对于C,a,g,b13,〃_L£,则a_L6,故C正确；

对于D,a〃。_L£,则＜3±£或a与£相交,或a//£,故D错误.

故选C.

10.D解析:因为底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，所以在“堑堵”

ABC-AlBiCl中，ACVBC,侧棱眼」平面ABC,

因为41」能又ACLBC,且AAiQAC=A,则比工平面AA1C1C,

所以四棱锥6-/MCG为“阳马”，故A项正确；

由ACVBC,得ΛiCi±BC,又LGC且CiCHSC=C,所以4G_L平面BBCC,

所以4G,则448G为直角三角形.

又由a'JL平面AAyQC,得△/石，为直角三角形，

由“堑堵”的定义可得GC为直角三角形,ACGS为直角三角形，

所以四面体4-GW为“鳖腌”，故B项正确；

因为SUL平面AA1GC,则BCLAF,又加"1.4。且AlCΠBC=C,则"X平面AiBC,所以"±48.又AEL

46且4F∩AE=A,则48,平面AEF,则AxBLEF,故C项正确；

在底面有4=AC+BA2ACXBC,即AeXBCW2,当且仅当4Cτ%时等号成立，

VB.AxAcc.=⅛χ14cc1×BC^AA,×AC×BC^AC×BC^,故D项不正确.故选D.

11.D对于A选项，由于平面ADD∖A∖//平面BeC、人而平面8%V与这两个平面分别交于HF和BE,根据

面面平行的性质定理可知HF//BE,故A错误；

由于4尸；£4=1；2,而后是M的中点，故始产1,CW=2.

对于B选项，=VB-MNBX=∣×∣X虺XN&X阳-XX3X4X2N,故B错误；

对于C选项，由于8WJ_平面ABBA,所以直线助V与平面43物所成的角为NM暇，且tanN

A⅛K铛=故C错误；

BγM3

对于D选项,可知D*GC^故D正确.

故选D.

12.C解析:对于选项A,如图，分别找线段BB1,笈G的中点M,Ny连接Adf,MN,AN由题得MN//ΛD,,≡

平面RAE,4〃U平面IXAE,所以秘V〃平面D1AE.又AM//DE,4」城平面DxAE,D∖Eu平面队AE,所以NAll

平面DλAE.又MNCAM=M,所以平面4劭V〃平面RAE.因为4尸与平面ZM夕的垂线垂直，又4周平面

IXAEy所以直线4尸与平面〃然平行.又ΛΛ⊂平面4板且点尸是侧面88由内的动点,平面力MC

平面BCeB=MN,所以点尸的轨迹为线段MN,故选项A正确;对于选项B,由图可知,“■与彼是异面直

线,故选项B正确;对于选项C,当点F与点、."重合时,直线4尸与直线平行,故选项C错误;对于

选项D,因为MN//ADy1JM平面ABDhA队U平面ABDx,所以业V〃面ABD、,则点尸到平面4初的距离是定

值,又三角形力做的面积是定值,所以三棱锥F-ABIX的体积为定值,故选项I）正确.故选C.

13.AB,AB解析：由正三棱柱的性质可知，与直线必和/4都垂直的直线有AB,AB.

14.GM解析：因为Ge平面AyCCh且G∈平面BDG,同时M∈平面AlCCh且祚平面BDG

所以平面AlCCt与平面BDCx的交线是CM

15.亨解析：由题知I,圆锥的母线长为1Λ.设圆锥的底面半径为r,则2工r2n,即∕∙⅛.

所以圆锥的高Azz√∕2-r2⅛√3.

故圆锥的体积V=^-∙r∙ħ=^-X4πX2√3='同.

333

16.24√62V95解析：四面体的表面展开图即C

△46C中，由余弦定理得COSN>"里*二任：=之皿叱=1则gm/ABC亚.

2AB∙BC2×10×1255

四面体/W的表面积为S^ΛBI-^ΛB∙BCsinAΛBC^×∖QX12X^⅛4√6.

因为四面体阳绪相对棱等长,则该四面体的每一组相对棱可作为一个矩形的两条对角线,从而把四

面体/W补形成长方体"ERF-DEFR,如图.

PD=EFAPE=DF=毛,PF=DEW,设FR=x,FD1=y,FR=z,

(x2+y2=25,(x2=19,

则有Jy24-z2=36,解得卜?=6,故%yzzzβV95.

G2÷x2=49,U2=30,

所以四面体的体积/=VDIEPIF-DE]PFY%?IEF=XyZYX，XyZTXyZ=2√^.

17.解据题意,建立如图空间直角坐标系.

则〃(0,0,0),4(2,0,2),C(0,2,0),£(2,1,0),b(1,1,1),4(0,0,2),

丽=(T,0,1),可=(0,-2,2),西=(2,0,2),尻=(0,2,0).

(I)CoS正西＞矗矗=-l×O+O×(-2)+l×21

y[2×2>[22,

.∖<EF,CD∖>=60Q,

即异面直线跖和切所成的角为60°.

(2)VEF-西=TX2÷0XO+1X2=0,

而1西，即EFVDAy.

；EF-DC=-IXO÷0X2+1XO=O,

：.EF1DC,即EFLDC.

又DΛι,DCU平面DCAh且ZHnDC=D,

硝_平面AxCD.

18.⑴证明根据题意可得,PA=PD,AO=OD,：.POLAD.

：底面ABa)为菱形,/46060°,则△力如为等边三角形，.∙.C0L9

YPoCOC=O,PO,OCU平面POC,.∙.∕ZLL平面POC.

又ADc.平面阳〃,平面用〃平面POC.

(2)解在等边三角形用〃中，："=2,."P=OG√1

又PC=∖[6,：.O产+0G=PG,即POIOC,

：.S&tvc与∙PO-06×√3×√3=|,

由⑴可知,4LL平面POC,又PM3MD,

∙"∙hocH=¼∕-mc^X~St^pocXDO^XgX=Xlq.

19.(1)证明连接BeME.因为M,6分别为BBi,SC的中点，所以ME//且ME邱C又因为N为4〃的

中点,所以A*4〃

由题设知45OC可得BeA∖D,故ME放,故四边形加以为平行四边形，则楸,〃被又HW平面

QDE,所以MV〃平面CxDE.

(2)解因为底面四G9是正方形,所以CDLAD.因为侧面底面ABCD,且侧面4WM∩底面

ABCD=AD,所以方，平面AmAit所以CDlDiMADVDD,.又因为侧面ADIXAx为矩形,所以ADVDD1.如图

建立空间直角坐标系Dxyz,

其中D(0,0,0),C1(0,2,4),£(1,2,0),<7(0,2,0),且西二(0,2,4),屁二(1,2,0).

因为微1平面ADDxAh所以OUL平面BCQBx,

故反=(0,2,0)为平面C∖EB∖的一个法向量，

设n=(x,y,Z)为平面加述的法向量,则F•2?=

{n∙DE=0,

即降.==0%尸-2,可得n=(4.-2,1).

所以cos<DC,∏>~⅛--n=-zi—

∣DC∣∣n∣2×√2121

因为二面角A-DE-B.的平面角是钝角，所以二面角/“应/的余弦值为誓.

20.(1)证明如图所示,取BC的中点F',连接DE,EF∖F,C,

由于ABCD-AiBCDi为正方体,E,产'为中点，故EF,//CD,

)

从而E1F,C〃四点共面,则平面仪应即为平面CDEF',

故可得直线84交平面CDE千氤F'.

当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点尸与点尸重合,

即点尸为AG中点.

(2)解以点〃为坐标原点,DAyDC,加方向分别为X轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,

设正方体的棱长为2,设管R(OW-WD,

则M2,2A,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(L0,2),

从而猊二(一2,2-2A,-2),CF=(l,0,2),方二(0,-2,0),

设平面加F的法向量为ɪnɪ(ɪi,Zi,©),则

(m∙MC--2x1+(2-2λ)y1-2z1=0,

Im∙CF=x1÷2z1=0,

令©I,可得m=(2,*,T).

设平面。石的法向量为n=(x2,%力),则

ʃn∙FF=-Iy2=0,

In∙CF=X2+2Z2=0，

令z2=-l可得n=(2,0,-1).

5√5

则CoS仙n＞与=:

J5+⅛2×^T

整理可得(/-D3,解得*w3号舍去).

21.解⑴因为外，底面ABCD,所以PDLAD.

又底面ABCD为正方形,所以ADLDC.

所以L平面PDC.

因为AD//BC,49不在平面PBC中,所以力〃〃平面PBC,又因为ADCL平面PAD,平面∕⅜9C平面PBC=I,

所以1//AD.

所以/_L平面PDC.

(2)以〃为坐标原点,分别以示,反,而的方向为X轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角

坐标系Dxyz.

由PD=AD=If得D(O,0,0),C(0,1,0),5(1,1,O)J(0,0,1),则比二(0,1,0),PB=(lf1,-1).

由⑴可设Q(a,0,1),则丽=(必0,1).

设n=(x,%Z)是平面伙力的法向量，

则『•竺=S即器+Z=。,

(n∙DC=0,U-θ,

可取n≈(-l,0,a).

所以cos<h,Ag,-n,PB=­ɪiʌ=.