复数的实部、虚部与共轭

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第9章复数9.2复数的实部、虚部与共轭（第2课时）

我们已经引入了复数并介绍了复数的四则运算，本小节将进一步介绍与复数有关的一些概念，以期对复数及其运算有更好的把握与理解．

复数的表达方式a＋bi（a、b∈R）称为它的代数形式，其中

的实数a

和b分别叫做该复数的实部（realpart）和虚部（imaginarypart）．为了行文的简洁与方便，复数也常常用单个字母（常用z）来表示，此时它的实部和虚部分别记作Ｒｅz与即，若复数z＝a＋bi（a、b∈R），则Ｒｅz＝a，Ｉｍz＝b．若复数z＝a＋bi的虚部为零，即b＝０，则z＝a是个实数；当b≠０时，狕称为虚数（imaginarynumber）．特别地，当a＝０但b≠０时，z＝bi称为纯虚数（pureimaginarynumber）．我们已经知道，z＝０当且仅当a＝０且b＝０，此时z是一个实数．

实数是虚部等于零的复数，因此，实数集合是复数集合的子集，并且是一个真子集，即

复数可以按以下方式分类：例５填写下表：例６求实数犿的值或取值范围，使得复数解（１）z为实数当且仅当

，即m＝１或m＝－１．所以，当m＝１或m＝－１时，复数z＝m２＋m－２＋（m２－１）i是实数．

（２）z是虚数当且仅当m２－１≠０，即m≠１且m≠－１．所以，当m＜－１或－１＜m＜１或m＞１时，复数z＝m2＋m－２＋（m２－１）i是虚数．

（３）狕是纯虚数当且仅当

唯一满足此条件的m的值是m＝－２．所以，当m＝－２时，复数z＝m２＋m－２＋（m２－１）i是纯虚数．

（４）z＝０当且仅当唯一满足此条件的m的值是m＝１．所以，当m＝１时，复数

等于０．

在推导复数除法公式时，如果除数（如果把除法写成分式，就是分母）是c＋di（c、d∈R），我们把被除数与除数（分子与分母）同乘复数c－di，就可把除数（分母）化为实数c２＋d２．像c＋di与c－di（c、d∈R）这样实部相同而虚部互为相反数的一对复数叫做共轭复数（conjugatecomplexnumber），也称这两个复数互为共轭，或者说其中的一个数是另一个数的共轭复数．共轭复数是复数理论中的一个重要概念．一对共轭复数的积必为实数，用此性质可以把分母的虚数化为实数，从而把除法的结果写成复数的代数形式．共轭复数的更多性质和应用在进一步的学习中还会见到。

一个复数z的共轭复数记为

．因此，若z＝a＋bi（a、b∈R），则

＝a－bi．共轭复数具有如下性质：性质（１）从共轭复数的定义即得．性质（２）对加法与减法，验证是直截了当的，留作练习．下

面对乘法与除法分别验证这个性质．从而乘法的情况得证．这就是除法时的结论．课本练习练习９．１（２）

１．对复数

２．在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？３．下列关于复数狕和狕的命题是真命题还是假命题？请给出结论并说明理由．

（１）

一定是实数；（２）

一定是纯虚数；

（３）若

＝０，则z是实数；（４）若

＝０，则z是纯虚数．４．求实数m的值或取值范围，使得复数z＝（m＋２）＋（m－１）i分别是：

（１）实数；（２）虚数；（３）纯虚数．随堂检测2.说出下列复数的实部和虚部：1.若复数z1=2+bi与复数z2=a-4i互为共轭复数，则a=_____，b=________.225.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？6.求满足下列条件