复数的几何意义 高一数学

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第9章复数９．２复数的几何意义

（第1课时）１复平面与复数的坐标表示

复数a＋bi（a、b∈R）一一对应于有序实数对（a，b），而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点Z（a，b）又是一一对应的．因此，可以用平面直角坐标系中的点Z（a，b）表示复数Z＝

a＋bi。

如图9-2-1，在平面上建立直角坐标系，以坐标为（a，b）的点Z表示复数z＝a＋bi，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应．这样用来表示复数的平面叫做复平面

在复平面上，x轴上的点具有（a，０）形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把x轴叫做实轴（realaxis）；同理，狔轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把y轴叫做虚轴（imaginaryaxis）．坐标原点表示实数０。

如图9-2-2，共轭复数z＝a＋bi和

＝a－bi（a、b∈R）在复

平面上所对应的点Z（a，b）和犣Z（a，－b）关于x轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于x轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭．特别地，如果b＝０，即z是实数，则

，此时z、

在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点．

例１在复平面上有点A（2,0）、B（0，－1）、C（－2,3）、D（4,－3），分别写出这四个点所对应的复数并求这些复数的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标．

这些复数的共轭复数分别是

，它们在复平面上所对应的点分别是A′（2,0）、B（O,1）、C（－２，－３）、D（4,3）.２复数的向量表示上一章我们学过平面向量的坐标表示，知道通过平面直角坐标系，可在平面向量与平面上的点之间建立一一对应．现在，我们以平面直角坐标系为媒介，又可以通过复数与平面上的点的一一对应，在复数与平面向量之间建立一一对应．如图9-2-3，复数z＝a＋bi（a、b∈R）在复平面上对应坐标为（a，b）的点Z，而点Z又对应于平面向量

＝（a，b），从而复数z＝a＋bi对应于平面向量

＝（a，b）．有了这些对应，我们可以把复数z＝a＋bi方便地看作是复平面上的点z（a，b）或向量例２在复平面上作出表示下列复数的向量：解在复平面上，表示复数

的向量分别为图9-2-4中的向量

例３

设复平面上的点A和点B所对应的复数分别为

和

试用

和

表示复平面上的向量

所对应的复数z．

解复平面上的点A与点B的坐标分别为（

）与（

），故向量

＝（

），它所对应的复数是

．再由复数减法法则，可得z＝

注意，平面上起点不在原点的向量所表示的复数是该向量相应的位置向量所表示的复数．上例说明，这个复数是向量终点对应的复数与起点对应的复数之差．

例４设z∈C复平面上的点Z与Z分别表示z与zi．

求证：

证明令z＝x＋yi（x、y∈R），则zi＝－y＋xi，从而＝（x，y），

＝（－x，y），它们的数量积是→·犗犣′

yx＝０，所以３复数加法的平行四边形法则

我们已经知道向量的加法适用平行四边形法则，在将复数与平面向量建立一一对应后，两个复数的和是否与对应的向量的和一致呢？也就是说，在复平面上是否也可以用平行四边形法则表述复数的加法呢？

如图9-2-5，复数

对应向量

，复数

对应向量

．由于复数

，因此z对应于向量这说明，两个复数的和所对应的向量就是原来两个复数所对应向量的和，即以

与

为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量．这就是复数加法的平行四边形法则．同样，两个复数的差

所对应向量是两个向量

的差

例５如图9-2-6，在复平面上给定平行四边形OABC，其中点A与点C分别对应于复数

与,求点B所对应的复数

解

由平行四边形ABCD，根据复数加法的平行四边形法则，点B所对应的复数为课本练习１．当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置：（１）z是正实数；

（２）z是负实数；（３）z是实部小于零、虚部大于零的虚数；（４）z是虚部小于零的纯虚数．２．如果复数

在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围

３．设复数３－４i与５－６i在复平面上所对应的向量分别为

（O为坐标原点），求向量

及

所对应的复数．

４．已知复平面上有点C（2,4）和点D，使得向量

所对应的复数是－３－I．求点D的坐标．随堂检测解：点A表示的复数是4+3i；点B表示的复数是3-3i；点C表示的复数是-3+2i；点D表示的复数是-3-3i；点E表示的复数是5；点F表示的复数是-2；点G表示的复数是5i；点H表示的复数是-5i.1.说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1).2.已知在复平面内，描出表示下列复数的点.(1)2＋5i；(2)－3＋2i；(3)2－4i；(4)－3－i；(5)5；(6)－3i.A(2,5)B(-3,2)C(2,-4)D(-3,-1)E(5,0)F(0,-3)••••••解：(1)这些复数对应的向量如图示.3.已知复数2＋i,－2＋4i,－2i,4,(1)在复平面内画出这些复数对应的向量；(2)求这些复数的模.A(2,1)B(－2,4)C(0,－2)D(4,0)(2)

4.设z∈C，在复平面内z