第一节 圆的基本性质

第一节圆的基本性质第六章圆

（1）圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，等圆、等弧的概念；（2）垂径定理；（3）圆周角与圆心角及其所对弧的关系，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；（4）圆周角定理及其推论.这部分的内容是安徽中考数学的重点考查的部分，几乎每年都有以这部分内容为考查点的命题，其中“圆周角定理及其推论”是圆的考查的重中之重，题型涵盖了选择题、填空题和解答题.圆的知识本身比较综合，可借助圆考计算圆内线段的长度、角的大小，三角形全等和相似，因此考查的难度一般在中等或偏上.呈·真题呈面前

垂径定理

1.（2022·安徽）已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA＝4，PB＝6，则OP＝（

D

）B.4D.5D2.（2021·安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E.（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；

图1（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD.【解答】（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图2，∵AB⊥CD，CE＝EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，∵CE＝EF，∴∠FAE＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠CDB，∴∠FAE＝∠CDB，∵∠CDB＋∠B＝90°，∴∠FAE＋∠B＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD.图2

圆周角

3.（2020·安徽）已知点A，B，C在☉O上，则下列命题为真命题的是（

B

）A.若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°C.若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦ACB

5.（2014·安徽）如图，在☉O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与☉O的交点.若OE＝4，OF＝6，求☉O的半径和CD的长.

与圆的基本性质相关的最值问题

6.（2016·安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（

B

）B.2B【解答】（1）连接OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，

7.（2015·安徽）在☉O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在☉O上，且OP⊥PQ.（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.

理·梳理知识点

圆的有关概念和基本性质

1.圆的定义圆的定义有两种：①在平面内，将一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆.②在平面内，到

定点⁠距离等于

定长⁠的所有点组成的图形，叫做圆，

定点⁠叫做圆的圆心，

定长⁠叫做圆的半径.

如图，点O叫做圆心，OA叫做半径，这个圆记作：☉O，读作：圆O.定点定长定点定长2.圆的有关概念概念定义同心圆圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆弦连接圆上任意两点的线段叫做弦直径经过

圆心⁠的弦叫做直径

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示；小于半圆的弧叫做

劣弧⁠，大于半圆的弧叫做

优弧

圆心劣弧优弧

概念定义半圆圆的任意一条

直径⁠的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆

等弧能够互相重合的弧叫做

等弧

弦心距圆心到弦的

距离⁠叫做弦心距

圆心角顶点在圆心的角叫做

圆心角

圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一公共点的角叫做

圆周角

直径等弧

距离圆心角

圆周角

3.圆的基本性质①同圆或等圆的半径

相等⁠.

②圆的直径等于同圆或等圆半径的

2

⁠倍，直径是圆的最长的弦.

③圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形，还是中心对称图形.过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆心是它的旋转中心，圆绕着圆心任意旋转一个角度都能与自身重合.相等2

垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧.2.推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②圆的两条平行弦所夹的弧相等.

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等⁠，所对的弦

相等⁠，所对弦的弦心距

相等⁠.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.相等相等相等

圆周角定理及推论

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

一半

常见图形一半

结论推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

相等⁠，相等的圆周角所对的弧也

相等

（2）半圆或直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径相等相等

圆的内接四边形

1.定义：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这样的四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.定理：圆内接四边形的对角

互补⁠，且任何一个外角都等于它的

内对角⁠.

互补内对角讲·名师讲典例

一般地，半径OD⊥弦AB于点C，圆的半径为r，弦AB的长为a，弦心距OC的长为d，弓高CD的长为h，这四个量我们能“知二求二”，具体办法是连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理计算或建立方程求解.

1.（2022·长沙）如图，A，B，C是☉O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为

7

⁠.

7

2.（2022·自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为

26

⁠厘米.

26

☞典例2

（圆周角定理）如图，AB为☉O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.

【解答】（1）连接OD，如图.∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，

（2）若CE＝1，EB＝3，求☉O的半径.

解决与圆有关的角度的问题时，一般先判断角是圆心角还是圆周角，再转化为同弧或等弧所对的圆心角或圆周角，利用“同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半”和“同弧或等弧所对的圆周角相等”等关系求解.特别地，当有直径时，构造直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”解决问题.还要充分利用“在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等⇔圆周角相等”，进行弦、弧、角相等关系的转换.

1

4.（2022·宜昌）如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（

B

）A.15°B.20°C.25°D.30°B5.（2022·呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE.（1）求证：BD