山东省青岛市市内四区联考2023年中考数学一模试卷 (含答案)

山东省青岛市市内四区联考2023年中考数学一模试卷(解析版)

一.选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)

1.绝对值为』的数是(

5

1

5

2.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个(

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.Iphone∖5系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的A16芯片加入光

线追踪功能，将宽度压缩到0.000000005米，将数字0.000000005米用科学记数法表示为

()

A.-5X1()9米B.-0.5Xl()8米c.0.5X108米口.5义1。9米

4.如图所示的几何体的左视图为()

5.如图，ZVlBC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果将aABC绕点

8按顺时针方向旋转90°,得到BC,将BC向下平移2个单位，得△{'

B'C",那么点C的对应点C”的坐标是()

A.(3,2)B.(3,3)C.(4,3)D.(4,2)

6.如图，四边形ABC。内接于连接对角线4C与8。交于点E,且8。为。。的直径,

已知NBoC=40°，ZAEB=IlO0,则NABC=()

7.如图，已知正方形ABCD边长是6,点尸是线段8C上一动点，过点。作。ELAP于点

E.连接EC,若CE=CD,则ACDE的面积是()

8.二次函数y=0x2+⅛r+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=αχ-26(a≠0)与反比

例函数y=£(CWO)在同一平面直角坐标系中的图象大致是()

X

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.计算，倔卢•仕V2=

√2,2，

10.已知关于X方程（m-1）x2-√而χ[=°的有两个实数根，则〃，的取值范围是

11.2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多

的年轻人投身航天事业.现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的

比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表：

候选人心理素质身体素质科学头脑应变能力

甲86858890

乙90828190

选择1名学员，最后应选.

12.如图，在等腰aABC中，AB=AC,NBAC=44°.NBAC的平分线与AB的中垂线交

于点。，点C沿EF折叠后与点。重合，则/CEF的度数是度.

13.如图所示，NAOB=90°,OA=OB=4,将扇形OAB绕边OB的中点。顺时针旋转90°

得到扇形0‘A'B',弧Ab交OA于点E,则图中阴影部分的面积为.

14.如图，正方形ABC。中，40=12,点E是对角线8。上一点，连接AE,过点E作E尸

VAE,交BC于点F,连接AF,交BD于点G,将aEFG沿EF翻折，得到AEFM,连

接AM,交EF于点M若点尸是BC边的中点，下列说法正确的是.（填序号）

Φ∆AGD^>∆FGB;

②NEFG=NABD=45°；

③AM=Io&；

④SAE4M=匹.

三、作图题（本题满分4分）

15.（4分）已知：NAOB和线段”.求作：OP,使它与NAOB的两边相切，半径等于线段

a.

A

a/

OB

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

2

16.（8分）（1）计算：（ɪ^--X+2x）÷×∑±.

X+2X2+4X+4x+2

'2x+5<3（x+2）

（2）解不等式组：ι+3x/,并求出不等式组的非负整数解.

17.（6分）由于疫情爆发，小王家所在的小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购

买生活必需品.小王和爸爸用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两

个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，8盘转出的数字作为减数；如果差为负数，爸

爸出小区购买生活必需品；若差为正数，小王出小区购买生活必需品.这个游戏对双方

公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由.

18.（6分）为了解我校学生每天的睡眠时间（单位：小时），随机调查了我校的部分学生，

根据调查结果，绘制出如图统计图.若我校共有IO（X）名学生，请根据相关信息，解答下

列问题：

(1)本次接受调查的学生人数为人，扇形统计图中的机=；

(2)请补全条形统计图；

(3)求所调查的学生每天睡眠时间的方差；

(4)若睡眠时间超过7小时及以上在白天才能达到良好的学习效果，估计我校学生每天

睡眠时间不足的人数.

19.(6分)如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为Im,垂直

高度都为0.3在测得在C点的仰角NACE=42°,测得在。点的仰角NAOF=35°.求

银幕AB的高度.(参考数据：sin35°=O.57,cos35o≈⅛0.82,tan35α≡≡≈0.7,sin42o≈⅛

0.67,cos42°«=0.74,tan42og0.9)

20.(6分)如图，直线>=-1+〃?与X轴，y轴分别交于点3、A两点，与双曲线相交于C、

3

。两点，过C作CE,X轴于点E,已知。B=3,OE=

(1)求直线AB和双曲线的表达式；

(2)设点下是X轴上一点，使得SACEF=2SZXCOB,求点尸的坐标.

21.(6分)(1)问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.

探究一：如图1,在BC中，NABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求aABC

的面积.

在RtzM8C中，NABC=90°,

sinα=-⅛5.

AC

ΛAB=⅛∙sinα.

二SAABC=LBC∙AB=LZ∙6Sina.

22

探究二：如图2,ΔAfiCψ,AB=AC=6,BC=a,NB=Na,求AABC的面积（用含a、

b、a代数式表示），写出探究过程.

探究三：如图3,Z∖A8C中，AB=h,BC=a,ZB=Za,求aABC的面积（用a、b、a

表示）写出探究过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字叙

述）.

问题应用：如图4,已知平行四边形ABC。中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四边形

ABCO的面积（用心b、a表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用心b.c、

d、ct、β表示），其中AB=b,BC=c,CD=d,AD=a,ZA=a,ZC=β.

22.（8分）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高

铁，其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长

缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均

速度是开通后的高铁的」W∙

30

（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的

长度比为7：9,计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确

保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

23.（8分）已知：如图，在直角梯形ABC。中，NABC=90°,AD∕∕BC,OE_LAC于点凡

交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=4C.

（1）求证：AB—AF；

（2）若∕AC8=30°,连接AG,判断四边形AGS是什么特殊的四边形？并证明你的

结论.

24.（10分）青岛方特梦幻王国位于美丽的山东省青岛市红岛海滨，由深圳华强集团投资兴

建.火流星是其经典项目之一.如图所示，FfE-G为火流星过山车的一部分轨道，它

可以看成一段抛物线.其期OE=至米，OF=2型米（轨道厚度忽略不计）.

816

（1）求抛物线FfEfG的函数关系式；

（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和G,当过山车运动到G处时，平行于地面

向前运动了至米至K点，又进入下坡段K-H（K接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物

8

线KfHf。的形状与抛物线PfE-G完全相同，在G到。的运动过程中，求。”的距

离；

（3）现需要在轨道下坡段FfE进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、

CM.BN、OM旦要求OA=AB.已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，

会使造价最低？最低造价为多少元？

y

25.(10分)如图，在△?!£：£>中，AD=IOcm,ZAfD=90o,延长AE到点B,使DE=EB

=8cm,过点B作C8LAB,CB=Ictn,连接CQ；点N从点A出发，沿AO方向匀速运

动，速度为ICTO/S；过点N作NFLAE,以DE和EF为邻边作矩形DEFG,点、M与点N

同时出发，点例从点B沿84方向匀速运动，速度为ItTn∕s,连接例MMD,MC,设运

动时间为f(S)(0<Z<8).解答下列问题：

(1)当EQ垂直平分MF时，求/的值；

(2)设四边形MNGO的面积为S(α"2),求S与/的函数关系式(0<∕<8);

(3)当点M在NfW尸的角平分线上时，求，的值；

(4)连接AC,在运动过程中，是否存在某一时刻/,使直线MN过线段AC的中点0?

若存在，求出■的值；若不存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

一.选择题（本题满分24分,共有8道小题，每小题3分）

1.绝对值为工的数是（）

5

A.5B.ɪC.-ɪD.±A

555

【分析】根据绝对值的意义求解.

【解答】解：士工的绝对值是工，

55

即绝对值为工的数是土工.

55

故选：D.

【点评】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.互为相

反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于O的数有一个,

没有绝对值等于负数的数.

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；

第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；

既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

3.加力。wel5系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的A16芯片加入光

线追踪功能，将宽度压缩到0.000000005米，将数字0.000000005米用科学记数法表示为

()

A.-5Xlθ9米B.-O.5X，米C.O.5X1(T8米D.5X1(∕9米

【分析】科学记数法的表示形式为“χio”的形式，其中ι<ια<∣o,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值》10时，”是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【解答】解:0.000000005米=5义10”米.

故选：D.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中IWla<10,〃为整数，表示时关键要正确确定α的值以及〃的值.

4.如图所示的儿何体的左视图为()

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看，几何体的左视图为长方形，下侧有一条虚线.

故选：A.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

5.如图，Z∖ABC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果将AABC绕点

8按顺时针方向旋转90°,得到△?!'BC,将△/!'BC'向下平移2个单位，得△〃'

B'C",那么点C的对应点C”的坐标是()

A.(3,2)B.(3,3)C.(4,3)D.(4,2)

【分析】分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论.

【解答】解：如图，

二点C绕点B顺时针旋转90°得到C'(4,5),再向下平移2个单位得到C"(4,3),

故选：C.

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变

换，平移变换的性质，属于中考常考题型.

6.如图，四边形ABC。内接于G)O,连接对角线AC与8。交于点E,且8。为G)。的直径,

已知∕BDC=40°,ZAEfi=IlOo，则/ABC=()

C.75°D.80°

【分析】根据圆周角定理得到NBCD=90°,根据直角三角形的性质求出/QBC,计算

即可.

【解答】解：：8。为。。的直径，

ΛZBCD=90o,

ΛZDfiC=90°-40°=50°,

由圆周角定理得，NBAC=∕8OC=40°,

ΛZABD=180°-NAEB-NBAC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=80°,

故选：D.

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为90°、直角三角形的性质

是解题的关键.

7.如图，已知正方形ABC。边长是6,点P是线段3C上一动点，过点。作QELAP于点

E.连接EC,若CE=CD,则的面积是（）

A.18B.4λfl3C.14.4D.6√3

【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到44OE和4OC尸全等，然后即

可得到C尸和OE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到。尸和力E的关系，再根据勾

股定理可以得到DF1的值，然后即可计算出ACDE的面积.

【解答】解：作CF,E。于点F,如右图所示，

；四边形ABCo是正方形，

.'.AD=DC,NCD4=90°,

,NADE+NFDC=90°,

,：CFLDE,CD=CE,

EF=DF=LDE,NC尸。=90°,

2

；.NFDC+NDCF=90°,

ZADE=ZDCF,

在aAOE和aOCF中,

'NAED=NDFC

<ZADE=ZDCF.

AD=DC

：./\ADE^/\DCF(A4S),

.∖DE=CF,

：.DF=I.CF,

2

VZCFD=90o,CD=6,

J.DF1+CF1^CD1,

即DF2+(.2DF)2=62,

解得Z)F2=7.2,

.∖SmE=运"=迎!型_=IDF1=2X7.2=14.4,

22

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的

性质，解答本题的关键是求出。尸的值.

8.二次函数y=αr2+fer+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=αr-26(α≠0)与反比

例函数y=£(c≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是()

【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知α>0,对称轴在y轴的左侧可知6>0,再

由函数图象交y轴的负半轴可知cV0,然后根据一次函数的性质和反比例函数的性质即

可得出正确答案.

【解答】解：二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的

负半轴

.∙.4>0,⅛>0,CV0,

.∙.反比例函数>=£的图象必在二、四象限；

X

一次函数y=αx-2b一定经过一三四象限，

：对称轴为直线X=-1,且与X轴的交点为（-3,0）,

,另一个交点为（1,0）,

-且=-1,

2a

•∙h~—2a,

把（-3,0）代入y=αx2+20x+c∙得，9a-6α+c*=0,

Λc=-3α,

方程ax-2力=£整理得aj?-2hx-C=0,即0r2-4ΛT+3Q=0,

X

ΛX2-4x+3=0,

・.・（-4）2-4×3=4>0,

工一次函数y=以-2方（α≠0）与反比例函数y=£（c≠0）的图象有两个交点,

X

故选：D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，

熟知以上知识是解答此题的关键.

二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)

9.计算，画d⅛.(L)-2=8.

√2'2'

【分析】原式利用二次根式性质，以及负整数指数幕法则计算即可求出值.

【解答】解：原式=(楞-稗)×4

=(√25-√9)×4

=(5-3)X4

=2X4

=8.

故答案为：8.

【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数累，熟练掌握运算法则是解

本题的关键.

ɪo.已知关于X方程(/«-1)/-J西Xl=O的有两个实数根，则一的取值范围是0

W,%W2.PL1•

【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式A=Z>2-44c20,建立关于,"的

不等式，求出相的取值范围.还要注意二次项系数不为0和被开方数2-机20.

【解答】解：•••关于X方程(机-1)√WGχ[=O的有两个实数根，

m-1≠0

∙・<Δ=2-m+2(In-I)》0,

2-m^0

解得：0≤"2≤2且，77#1.

故答案为：0WmW2且mWl.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式以及一元二次方程的定义，根

据二次项系数非零及根的判别式△》(),找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键.

II.2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多

的年轻人投身航天事业.现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的

比例确定成绩，甲、乙两人成绩(百分制)如表：

候选人心理素质身体素质科学头脑应变能力

甲86858890

乙90828190

选择1名学员，最后应选甲.

【分析】根据题意和表格中的数据可以分别求得甲乙甲乙两名航天员的成绩，从而可以

解答本题.

【解答】解：由题意和图表可得，

甲的成绩为：86X4+85X3+88X2+90X1=86.5,

4+3+2+1

乙的成绩为：9°X4+82X3+81X2+90=85.8,

4+3+2+1

V86.5>85.8,

二应选甲，

故答案为：甲.

【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据

公式求出甲、乙的最终得分.

12.如图，在等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=44°./BAC的平分线与AB的中垂线交

于点。，点C沿EF折叠后与点O重合，则NCE1的度数是44度.

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出NoBC=∕OCB=46°,求

出NoC8即可解决问题.

【解答】解：如图，连接80,

:等腰AABC中，AB=AC,NBAC=44°,

ΛZABC=ZACB=(180o-44o)÷2=68o,

：AO是NBAC的平分线，

：.ZBAO=22°,

又,：。力是AB的中垂线，

：.ZOBA=ZOAB=22°,

BC=NoeB=68°-22°=46°,

：EF垂直平分线段OC,

ΛZCEF=90°-46°=44°.

故答案为：44.

【点评】本题主要考查了折叠问题，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确

作出辅助线..

13.如图所示，NAo8=90°,OA=OB=4,将扇形OAB绕边OB的中点。顺时针旋转90°

得到扇形O'A'B',弧Ab交OA于点E,则图中阴影部分的面积为-∑π±4→√3.

-3―

【分析】延长Eo交O'A'于P,连接O'E,根据扇形面积公式、三角形的面积公式

计算，得到答案.

【解答】解：延长Eo交O'A'于尸，连接0'E,

VZΛOB=90o,OA=O8=4,。为OB中点，

2

：.SBissOPO∙=2-9°兀义2=4-π,

360

`:θ'P=I.O1A1=1.0'E,

22

,NO'EP=30°,

.".ZPO1E=60o,EP=-∕3O'P=2√3,

:∙S阴影/VPE=S扇形。/VE-S∆0,PE

2

=60KX4-工X2X2Vs

3602

="r-2√ξ,

3

.∙.S阴影=4-π+⅛-2√3=⅛+4-2√3.

33

故答案为：SlT+4-2Λ∕3-

3

【点评】本题考查的是扇形面积计算、旋转变换的性质、直角三角形的性质，掌握扇形

面积公式是解题的关键.

14.如图，正方形ABC。中，AC=12,点E是对角线B。上一点，连接AE,过点E作EF

LAE,交BC于点F,连接AR交BD于点、G,将aEFG沿EF翻折，得到AEFM,连

接AM,交EF于点、N,若点尸是BC边的中点，下列说法正确的是①②③.（填序

号）

①4AGOs"GB;

②∕EFG=NA2O=45°；

③AM=IO&；

④SAE⅜M=15.

2

BC

【分析】利用勾股定理求出AF=6收，再证明AAGQSAFGB,得出幽=2,进而求得

FG

FG=2√至，再根据NABC+/AEF=180°,判断出点A,B,F,E四点共圆，进而得出

NEFG=NABD=45°,由翻折得出：FG=FM,ZEFM=ZEFG,可得NAFM=90°,

利用分割法求出AAEM的面积.

【解答】解：如图，设对角线的交点为O，

；四边形ABCD是正方形，

J.AD∕∕BC,AB=BC=AC=12,

；点尸是AB的中点,

ΛBF=AβC=6,

2

在RtAABF中，AF=√AB2+BF2=√122+62=6√5,

∖'AD∕∕BC,

:AAGDSAFGB,故①正确，

-

AG而

A-D

-BF2

AG而

162

：.AG=2FG,

∙.,AG+FG=AF,

Λ2FG+FG=6√5

ΛFG=2√5,

YBD是正方形ABCD的对角线，

ΛZABD=45o,

'：EFlAE,

：.ZAEF=90a=ΛABC,

：.ZABC+ZAEF=ISOo,

点A,B,F,E四点共圆，

ΛZEFG=ZABD=45o,故②正确，

；将AEFG沿EF翻折，得到AEFM,

：.FG=FM,ZEFM=ZEFG

：.FM=2辰,NEFM=NEFG=45°,

ΛZAFM=ZEFM+ZEFG=45o+45o=90o,

AM=2

ΛVAF+FM2V(6√5)2+(2√5)2=1°V2∙故③正确∙

连接EC,过点E作EPLAQ于点尸交BC于点Q,过点F作FH上BD于点H.

：四边形是正方形，

：.NADE=NCDE=45°,DA=DC,

•：DE=DE,

MADEgACDE(SAS),

J.EA=EC,

:EA=EF,

.".EF=EC,

:EQLCB,

：.FQ=CQ,

'：∕∖APE^∕∖EQF,

：.PE=FQ=CQ=?),

：.DE=3近,

∖'AD∕∕BF,BD=12√2)AF=6√5,

ΛBG:GD=BF:AD^FG-AG=I-2,

ΛBG=4√2,EG=12√2-3√2^4√2=5√2>FG=FM=2爬,

'JFHVBH,

：.FH=BH=3®,

的面积=S“EF+SzsEFM-S“FM=」X(6√5)2+A×5√2×3√2--×6√5×

422

2√5=30,故④错误，

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆,

构造出相似三角形是解本题的关键∙

三、作图题（本题满分4分）

15.（4分）已知：NAoB和线段α.求作：QP,使它与NAo8的两边相切，半径等于线段

【分析】先作NAOB的平分线0M,在OC上取一点C,再过C点作OB的垂线，在垂

线上截取CO=α,然后过。点作C。的垂线交OM于P,最后以P点为圆心，”为半径

作圆.

【点评】本题考查J'作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

2

16.（8分）（1）计算：（三Z一÷2∑2;

X+2X2+4X+4x+2

,2x+5<3（x+2）

（2）解不等式组：ι+3x/,并求出不等式组的非负整数解.

2X-JL/<2

【分析】（1）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；

（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集，即可得出答案.

【解答】解：（1）原式=[Z2x一（x+2）]•三世

x+2（χ+2）2x^4

=（x-2_x）∙x+2

x+2x+2χ-4

=χ-2-X・x+2

x+2χ-4

=-2.x+2

x+2χ-4

=一2；

χ-4

'2x+5<3(x+2)①

2x±f~<2②

解①得：x2^1(

解②得：x<5,

故不等式组的解集为：-IWXV5,

则不等式组的非负整数解为：0,1,2,3,4.

【点评】此题主要考查了分式的混合运算、不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是

解题关键.

17.(6分)由于疫情爆发，小王家所在的小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购

买生活必需品.小王和爸爸用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两

个转盘，将4盘转出的数字作为被减数，8盘转出的数字作为减数；如果差为负数，爸

爸出小区购买生活必需品；若差为正数，小王出小区购买生活必需品.这个游戏对双方

公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由.

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到差为负数和正数的情况，分别求出对应概

率，比较后即可得出答案.

【解答】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：

列表如下：

1256

3-2-123

5-4-301

5-4-301

由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果，

.∙.爸爸出小区购买生活必需品的概率为且=」,小王出小区购买生活必需品的概率为

122

4_1

123

•♦•1-Z£1,

23

这个游戏对双方不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率.判断游戏公平性就要计算

每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

18.（6分）为了解我校学生每天的睡眠时间（单位：小时），随机调查了我校的部分学生，

根据调查结果，绘制出如图统计图.若我校共有IOOO名学生，请根据相关信息，解答下

列问题：

（2）请补全条形统计图；

（3）求所调查的学生每天睡眠时间的方差；

（4）若睡眠时间超过7小时及以上在白天才能达到良好的学习效果，估计我校学生每天

睡眠时间不足的人数.

【分析】（1）由两个统计图可得样本中睡眠时间为5/?的有4人，占调查人数的10%,由

频率=日鳌可求出调查人数，进而求出睡眠时间为8/?所占的百分比，得出m的值；

忌数

(2)求出睡眠时间为7/?的学生人数，即可补全条形统计图；

(3)根据方差的计算公式进行计算即可；

(4)用样本中的“睡眠时间不足7"'的学生所占的百分比去估计全校IOoo名学生“睡

眠时间不足7〃”所占的百分比，再根据频率=频数进行计算即可.

【解答】解:(1)4÷10%=40(人),

10÷40X100%=25%,即巾=25,

故答案为:40,25；

(2)样本中睡眠时间为7/?的学生人数为：40-4-8-10-3=15(人)，

40

所以方差为：S2≈J-[(5-7)2×4+(6-7)2X8+(7-7)2×15+(8-7)2×10+(9

40

-7)2×3]

=1.15,

答:方差为1.15；

(4)IOOO生&=300(名)，

40

答：全校IOOo名学生中，睡眠时间不足7〃，即每天睡眠时间不足的大约有300名.

【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、方差、平均数以及频数分布直方图，掌握

频率=日望以及方差的计算方法是正确解答的前提.

息数

19.(6分)如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直

高度都为0.3〃?.测得在C点的仰角NACE=42°,测得在。点的仰角NAOF=35°.求

银幕AB的高度.(参考数据：sin35o«=0.57,cos35o-0.82,tan35°≈⅛0.7,sin420≈

0.67,cos42oQo.74,tan42o=≈0.9)

【分析】延长CE、DF交AB于H、G,在RtAAGO中，由三角函数的定义用AG表示

出即。G,在RtZ∖AC7∕中，由三角函数的定义用AG表示出即C”,根据。G-CH=I得

到关于AG的方程，解方程求出AG即可求出AB.

【解答】解：延长CE、DF交AB于H、G,

由题意知，ZAGD=ZAHC=W,

在RtZ∖AGO中，NAQG=35°,

Λtan35o=幽，

DG

即典L

JDG=—

tan350

在RtZXACH中，ZACH=42o,

Λtan42o=旭，

CH

即CH=—期—,

tan420

"：AH=AG+GH,GH=O.3,

.・.CH=AG+0・3

∙∙tan420

VDG-CH=I,

.・.AG_AG÷O.3—],

tan350tan420

•AG_AG+O.3—.ɪ

0.9

解得：AG=4.2,

，AB=AG+GH+8∕∕=4.2+0.3+0.6=5.1.

答：银幕A8的高度约为5.1〃?.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，以及三角函数，熟练掌握三角

函数的定义是解决问题的关键.

20.(6分)如图，直线y=-1+〃?与X轴，y轴分别交于点2、A两点，与双曲线相交于C、

3

。两点，过C作CELX轴于点E,已知OB=3,OE=

(1)求直线AB和双曲线的表达式；

(2)设点F是X轴上一点，使得S^CEF=2SACOB,求点尸的坐标.

【分析】(1)根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例

函数的解析式；

(2)根据三角形面积公式求得EF的长，即可求得点F的坐标；

【解答】解：⑴∙.,OB=3,OE=I,

：.B(3,0),C点的横坐标为-1,

直线y=--kr+∕n经过点B,

3

.".O=--×3+m,解得zn=l,

3

，直线为：y=--kr+I,

3

把X=-1代入y=-Ar+1得，y=-工X(-1)+1=4,

333

.∙.C(-1,A),

3

•.♦点C在双曲线y=K(⅛≠0)上，

X

'.k=-1×A=-生

33

.∙.双曲线的表达式为：)，=--£；

3x

(2)'：0B=3,CE=支,

3

.∙.S∆C0β=A×3×A=2,

23

♦：SACEF=2SACOB,

SACEF=-×EF×--4,

23

.∙.EF=6,

'：E(-L0),

：.F(-7,0)或(5,0)；

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交

点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无

解，则两者无交点.

21.(6分)(1)问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.

探究一：如图1,在aABC中，ZAfiC=90o,AC=6,BC=a,ZC=Zα,AR∆ABC

的面积.

在RtZiABC中，NABC=90°,

Sina=∙⅛⅛∙

AC

.*.Aβ=⅛∙sina.

S^ABC--BC∙AB=-lz∕∙ftsinα.

22

探究二：如图2,ZXABC中，AB=AC=b,BC=a,ZB=Za,求AABC的面积（用含a、

b、a代数式表示），写出探究过程.

探究三：如图3,AABC中，AB=b,BC=a,NB=Na,求AABC的面积（用a、b、a

表示）写出探究过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：一个三角形两边

及其夹角的正弦值的积的一半（用文字叙述）.

问题应用：如图4,已知平行四边形ABCD中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四边形

ABCZJ的面积（用〃、b、a表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用“、6、c、

d、a、B表示），其中48=b,BC=c,CD=d,AD—a,ZA=a,ZC=β.

图4图5

【分析】探究二：如图2中，作A",CB于H.求出高A”，即可解决问题;

探究三：如图3中，作A”,CB于从求出高AH,即可解决问题；

问题解决：S=Aa⅛sinZC（/C是a、6两边的夹角）；

2

问题应用：如图4中，作A”,CB于求出高A”，即可解决问题；

问题拓广：如图5,连接BZZ由探究三的结论可得出答案.

【解答】解：探究二：如图2中，作A”,CB于从

A

图2

"."AB=AC-b,BC=a,NjB=Nα,

.*.NB=NC=a,

在RtZ∖A4C中，NA”C=90°,

.∙.sinα=∙⅛⅛,

AC

.'.AH=b∙sina,

SAABC=—BC'AH—^absina.

22

探究三：如图3中，作AH，CB于H.

在RtZ∖AHC中，ZAHC=90°

Sina=

AC

AH=b∙sina

.'.S^ABC--BC∙AH-^cιbsina.

22

问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

问题应用：如图4中，作AH_LCB于凡

图4

在Rtz‰4"B中，NAHB=90°

Sina=理■,

AB

.∖AH=h9sina

...S平行四边形ABC0=3C∙A"=aASina.

问题拓广:

连接8£>,由探究三的结论可得：SAABO=工XA8XAOXsina=L仍∙Sina.

22

SABC。=/XBCXCDVCd∙SinB•

♦.S四边形ABCD-^^^ab,sina+:cd*siπβ.

【点评】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积、锐角三角函数等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

22.（8分）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高

铁，其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长

缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均

速度是开通后的高铁的迫.

30

（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的

长度比为7：9,计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确

保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

【分析】（1）设长益段高铁全长为X千米，长益城际铁路全长为y千米，由题意得到二

元一次方程组，求解即可.

（2）设甲队后期每天施工a千米，甲原来每天的施工长度为64÷40X工=0.7（千米）,

16

乙每天的施工长度为64÷40Xa=0.9（千米），根据题意列出一元一次不等式即可.

【解答】解：(I)设长益段高铁全长为X千米，长益城际铁路全长为y千米,

根据题意，

y=x+40

得：｛yXXZI3，

601630

解得：卜=64,

]y=104

答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米.

(2)设甲队后期每天施工“千米，

甲原来每天的施工长度为64÷40X-L=0.7(千米)，

16

乙每天的施工长度为64÷40xX-=0.9(千米)，

16

根据题意，得：0.7×5+0.9×(40-3)+(40-3-5)心64,

解得：420.85,

答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程