相似三角形-2022年中考数学课本知识梳理（全国通用）(解析版)

专题16相似三角形

‘冲考分析

L*M*».

相似三角形是中学数学重要的重难点知识，中考中多以选择题、填空题、解答题的形式出现，主要考

查基本概念、基本技能，知识点之间相互转化与穿插，难度系数较难。主要体现的思想方法：转化的思想、

数形结合的思想等。

1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例.线段与黄金分割；

2.了解相似的意义；理解相似图形的性质，了解相似三角形判定定理和性质定理;

3.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；.

4.利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量一旗杆的）。

:知识框架

I”-------------

形状相同、对应角相等、对应边成比例的图形

^~/定义卜

两个比值相等的式子

形状相同

对应角相等

对应边成比例

面枳比是对应边比值的平方

周长比等于对应边之比

相似三角形的定义

表示方式

相似三角形的定义、表示方式、相似比

相似比

相似三角形的对应角相等

相似三角形相似三角形的对应边成比例

相似三角形的对应高级的比等于相似比

相似三角形的对应中线的比等于相似比

相似三角形性质相似三角形的对应角平分线的比等于相似比

相似三角形的周长比等于相似比

相似三角形的面枳比等于相似比的平方

相似三角形具杳传递性

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

普通三角形

的甬篇也相等

相似三角形的判定

具备普通三角形的判定方法

直角三角形一条直角边与斜边对应成比例

—重要考点」

考点一：相似图形中的比例问题

主要利用相似三角形的性质定理，相似三角形的对应线段比值等于相似比，周长比值对应相似比，面积比

值对应相似比的平方。在求解三角形边长的过程中，通过相似求解对应高和底的比值即可解决相关三角形

对应线段，对应周长，对应面积的比值求解问题。

主要知识点概括：

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

,、甘一3HaC,ab,

(1)基本性质：—=—oad=be—=—<=>b2=ac

bdbc

,、....aca±bc±d

(2)合比定理τm：一=—=>-----=-----

bdbd

,、ʌ⅛,..acma+c-∖----ɪ-ma,,八、

(3)等比定τ理m：—=----=>-------------=—.(b+d-∖-----1-n≠0)

bdnb+dT----1-nb

.APB

3.黄金分割：如图，若PA?=PBAB,则点P为线段AB的黄金分割点∙Ao-----------°——°

4.平行线分线段成比例定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

(二湘似

L定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

3.相似三角形的判定

(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质

(1)对应边的比相等，对应角相等.

(2)相似三角形的周长比等于相似比.

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6相似三角形的应用：

1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例(或等积式)；

2、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。

7.位似

定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫

做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比∙因此，位似图形一定是相似图形，但相

似图形不一定是位似图形.

性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上

考点二：主要考查其他几何性质在相似三角形的中的综合应用，以及如何做好辅助线，构造相似或者相似

三角形所需要的条件。

1、角平分线的性质，三角函数，相似三角形的性质；

2、直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质；

3、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识；

4、正确作出辅助线，构造相似或者相似三角形所需要的条件。

考点三:相似三角形与圆的结合

圆周角定理，或者圆的切线性质，

垂径定理，从而转化到等腰三角形，利用等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形；

以此与圆相交的直线构成三角形，通过角度相等来获得相似三角形，再由相似三角形对应边比值来求得线

段长度。

加常用辅助线，构造平行线解决问题

一、单选题

1.（2021・湖南湘西•中考真题）如图，在ΔfiCD中，ZC=90o,43_1或;于点8,AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,

则CO的长是（）

D

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【答案】C

【分析】

由题意易得NABE=NC=90。，EC=I4,贝!）有A8〃CQ,然后可得ABESDCE,然后根据相似三角形的

性质可求解.

【解析】

o

解：VZC=90,ABlECf

：.ZA8E=NC=90。，

：•ABHCD,

：•、ABESDCE,

.ABEB

β,CD-EC,

VAB=1.2,£8=1.6,SC=12.4,

・・・EC=14,

.1.21.6

,,c5^74,

.*.CD=10.5；

故选C.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

∆nAp1

2.（2021.四川巴中.中考真题）如图，ABC中，点。、E分别在A3、AC上，且=二：标=彳，下列结论

DBEC2

正确的是（)

A.DE：BC=I:2

B.ADE与ABC的面积比为1：3

C.AoE与ABC的周长比为1：2

D.DE//BC

【答案】D

【分析】

根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可.

【解析】

..ADAE1

解：.丽=正=5，

：.AD-.AB=AE:AC=I:3,

*.∙ZA=ZA,

二ΛADE^ΛABC,

：.DE：BC=I:3,故A错误：

,.∙ΔADE^∆ΛBC,

.∙.AAOE与^ABC的面积比为1：9,周长的比为1：3,故B和C错误；

,.∙∕∖ADE^∕∖ABC,

：.NADE=NB,

：.DE//BC.故。正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

3.（2021•辽宁沈阳•中考真题）如图，C与M4G位似，位似中心是点0,若。A：。A=I：2,则_43。

与的周长比是（)

A.1:2B.1:3C.1:4D.11√2

【答案】A

【分析】

根据位似图形的概念得到AABCSAABC，ΛC∕∕Λ1C,,进而得出ΔAOCsAA1OG,根据相似三角形的性

质解答即可.

【解析】

解：AABC与AABG位似，

.∙.ΔABC^ΔA4G,AC//A1C1,

.∙.ΔAOC^ΔAOC,,

,ACOA\

.∖ΔA8C与△AB∣G的周长比为1:2,

故选：A.

【点睛】

本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是

解题的关键.

4.（2021•广西百色・中考真题）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3,

则它们的周长比是1：3,面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相

等且互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有（）

A.①③B.①④C,③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根据有关性质，对命题逐个判断即可.

【解析】

解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题;

②若两个相似四边形的相似比是1：3,面积比是1：9,而不是1：6,为假命题；

③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；

④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；

故答案选C.

【点睛】

此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键.

5.（2020•四川成都•中考真题）如图，直线“〃2%,直线AC和。尸被4,%4所截，AB=5,BC=6,EF=4,

则r>E的长为（)

A.2B.3C.4D.—

3

【答案】D

【分析】

根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可.

【解析】

解：：直线h〃12〃b,

.ABDE

VAB=5,BC=6,EF=4,

.5DE

••一=.

64

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键.

o

6.(2020•贵州遵义中考真题)如图，Μ8。的顶点A在函数y=K(x>0)的图象上，ZAβO=90,过

X

AO边的三等分点M、N分别作X轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3,则k的值为()

【答案】D

【分析】

由AN=MW=OM,N0/PM//08得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系,

利用反比例函数系数的几何意义可得答案.

【解析】

解：AN=NM=OM,NQHPM/IOB,

ANQS_AMPXAMPS一人QB,

.SAAN0_(AN)_1

,・二飞巾二T

•.四边形MNQP的面积为3,

•q-1

,,σΔANQM

・∙SMMP=4,

一AMPSAOB,

,•∙*JqΔAOB—=9%

k=2SΔAoW=18.

故选D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键.

7.（2019•广西玉林・中考真题）如图，AB//EF//DC,AD/∕BC,E尸与AC交于点G,则是相似三角形

共有（）

A.3对B.5对C.6对D.8对

【答案】C

【分析】

根据相似三角形的判定即可判断.

【解析】

图中三角形有：ΔAEG,ΔADC,ACFG,NCBA,

'：AB//EF//DC,AD//BC

：.MEGsMDCsACFGsACfiA

共有6个组合分另I」为：,MEGSMDC,^AEG^∖CFG,ΔAEG^ACBA,ΛADC^ACFG,ΔADC^ACBA,

NCFGSXCBA

故选C.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

8.（2021•四川巴中.中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是

RPAP

线段48上一点（AP>BP）,若满足不=不，则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处

可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米，主

持人从舞台一侧进入，设他至少走X米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则X满足的方程是（）

AB

A.(20-x)2=20xB.√=20(20-x)

C.%(20-x)=202D.以上都不对

【答案】A

【分析】

RPAP

点P是AB的黄金分割点，且PB<∕¾,PB=X,则融=20-χ,则黑=芸，即可求解.

APAB

【解析】

解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，

且PB<∕¾,PB=x,则B4=20-χ,

.BPAP

"ΛP-AB'

.∙.(20-X)2=2QX,

故选：A.

【点睛】

本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.

9.(2021・山东济南・中考真题)如图，在中，ZABC=90o,ZC=30°,以点A为圆心，以AB的长为

半径作弧交AC于点。，连接80，再分别以点B,。为圆心，大于;劭的长为半径作弧，两弧交于点P,

作射线ΛP交BC于点E,连接OE,则下列结论中不思硼的是()

A.BE=DEB.OE垂直平分线段AC

C.D.BD2=BCBE

^ΔΛBC

【答案】C

【分析】

由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE,再根据，ZABC=90。，

ZC=30°得到MiD是等边三角形，由“三线合一”得AP平分ZBAC,则ZPAC=NC=30°,AE=CM且30°

角所对的直角边等于斜边的一半，故A8=AO=gAC,所以DE垂直平分线段AC,证明ΔEDC~AABC可

得M=*即可得到结论.

ABBC

【解析】

由题意可得：AD=AB,点P在线段BD的垂直平分线上

4)=AB,•・•点A在线段BD的垂直平分线上

∙∙∙AP为线段BD的垂直平分线

点E在AP上，∙∙∙BE=DE,故A正确；

NABC=90°,ZC=30°,

.∙.ΛBAC=60°S.AB=AD=-AC

2

AABD为等边三角形且AD=CD

.∙.AB=AD=BD,

.∙.AP平分NBAC

ZEAC=-ZBAC=30°,

2

.∙.AE=EC,

.∙.E。垂直平分AC,故B正确;

o

ZECD=ZACB=30fNEDC=ZABC=90。，

.∙.ΔEDCcoMBC,

.EDCDAB_1

"AB-BC-BC-√3,

••・鲍丝==工，故C错误；

s^ABC∖vɜ)3

ED=BE,AB=CD=BD

.BEBD

,,BD-BC,

..BD2=BC-BE,故D正确

故选C.

【点睛】

本题考查30。角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些

基础知识为解题关键.

10.（2021・四川绵阳•中考真题）如图，在A4CD中，AD=6,BC=5,AC2=AB（AB+BC）,^DAB_DCA,

若AD=3AP,点。是线段A8上的动点，则尸。的最小值是（）

A.也B.显C.正D.-

2225

【答案】A

【分析】

根据相似三角形的性质得到?=W，得到BE>=4,AB^BD=4,过B作于“，根据等腰三角

BDAD

形的性质得到根据勾股定理得到BH=JABJAH三"二7=，,当PQLAB时，PQ的值

最小，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解析】

解：ΔZMBΔT>C4,

ADCD

~BD~~ADf

65+8。

——=-----,

BD6

解得：BD=4（负值舍去），

,NDABΔDC4,

.AJ8_9_3

'~AB~~AD~6~2t

3

..AC=-AB9

AC2=ΛB(AB+BC),

=AB(AB+BC),

.∙.Λβ=4,

-.AB=BD=4,

过B作5〃_LA。于H,

:.AH=-AD=3,

2

:.BH=y∣AB2-AH2=√42-32=√7，

AD=3AP,AD=6,

.∙.AP=2,

当尸Q，AB时，PQ的值最小，

NAQP=ZAHB=90o,ZPAQ=ZBAH

:.^APQMBH,

APPQ

'~AB~~BH'

.2.fβ

"4币,

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似

三角形是解题的关键.

11.(2021.山东聊城•中考真题)如图，在直角坐标系中，点A,8的坐标为A(0,2),B(-1,0),将△ABO

绕点。按顺时针旋转得到△A/B/O,若ABLOB/,则点4的坐标为()

y

A（拽延）B.（延,述）C∙（立）D.（T%

55553355

【答案】A

【分析】

先求出AB,OA1,再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出。。和AC即可求解.

【解析】

解:如图所示，Y点A,8的坐标分别为A（0,2）,8（-1,0）,

ΛOB=I,OA=2,

•∙AB=>∕12+22=∖∣5'

YZAOB=90o,

o

ΛZA1OBι=90f

：.OA1LOBi9

又・・・A8J_OM

：.OA1//AB9

ΛZ1=Z2,

过4/点作A∕CJ>x轴，

・・・NAjCo=NAOB,

：.∕∖AOB^∕∖∖CO,

.A1O_OCA1C

^~AB~~OB~~AO,

TOA/=OA=2,

2OCA1C

,忑=T=〒，

ΛOC=∣√5,ΛlC=∣√5,

♦卡明

故选：A.

【点睛】

本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握

相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

12.（2021•内蒙古通辽•中考真题）如图，已知A£W3C,AB±BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点，

连接AE,将ZVLBE沿AE折叠，点B落在点Zr处，过点9作A。的垂线，分别交A£）,BC于M,N两点,

当8'为线段MN的三等分点时，8E的长为（）

A.—B.-y[^.C.—或二D.--∖∕2

222225

【答案】D

【分析】

因为点Zr为线段MN的三等分点，没有指明线段*M的占比情况，所以需要分两种情况讨论:

12

②B'M=-MN.然后由一线三垂直模型可证AMB"一B,NE,再根据相似三角形的

性质求得EN的值，最后由BE=BN-EN即可求得BE的长.

【解析】

当点B'为线段MN的三等分点时，需要分两种情况讨论：

①如图1,当夕M=；MN时,

AD//BC,ABLBC,MNLBC,

.∙.四边形ABMW为矩形，

ΛB'M=-MN=-AB=∖,B'N=-MN=-AB=2,BN=AM.

3333

由折叠的性质可得A'B=AB=3,ZAB'E=ZABC=90。.

在RjAB,Λ∕中，AM=AB2-B,M2=√32-l2=2√2.

VZAB'M+ZMAB'=90°,ZAB,M+AEB'N=90°,

：.NEB'N=NMAB',

：.出NESAMB,,

.ENβ'N即EN_20

♦・西=而’即^Γ^≡,解得ENF

βf=B∕V-E∕V=2√2--=—.

22

2

②如图2,当时，

9：AD//BC,AB±BC,MNlBC,

・•・四边形ABNM为矩形，

ΛB'M=-MN=~AB=2,B'N=-MN=-AB=],BN=AM.

3333

由折叠的性质可得Aβ'=AB=3,ZAB,E=ZABC=90°.

在WAB'M中，AM=y]AB'2-B'M2=√32-22=√5-

VZAB'M+ZMAB',ZAB'M+NEB'N=90°,

：.NEB'N=NMAB',

：.一B'NEs3AMB',

万EN丁B而'N’即¢ιrlEN解1得WEN=看2√5

，ββ=β^-EN=√5--=—.

55

综上所述，BE的长为述或±6.

25

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由9为线段MN的三等分点，分两种情况

讨论线段3'〃的占比情况，以及利用K型相似进行相关计算是解决此题的关键.

二、填空题

13.（2021•湖南湘潭•中考真题）如图，在ABC中，点D,E分别为边AB,Ae上的点，试添加一个条件:

,使得4）E与一ABC相似.（任意写出一个满足条件的即可）

【答案】f=AE

AC

【分析】

根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题.

【解析】

ΛΓ）ΛΓ

解：根据题意，添加条件前=就

ZA=ZA

ADE〜ABC

ADAE

故答案为:-----------

ABAC

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

14.（2021・上海长宁•一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之

比为.

【答案】5:4

【分析】

根据相似三角形的性质可直接得出结论.

【解析】

解：Y两个相似三角形的对应中线的比为5：4,

,其相似比为5：4,

.∙•这两个相似三角形的周长的比为5：4.

故答案为：5：4.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键.

15.（2021•黑龙江大庆•中考真题）已知;=5=[≠0,则士©=________

234yz

【答案】j

O

【分析】

设5=]=（=4,再将x，y，Z分别用Z的代数式表示，再代入约去k即可求解.

【解析】

解：设;=W=I…0,

234

贝∣Jx=2hy-3k,z-4k,

22222

ΛJ,X+XV（2k）+2k×3k4⅛+6⅛10⅛5

古攵--------------------=--------=----=-1

ʃz3kX4kUk2Uk26

故答案为：--.

O

【点睛】

本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键.

SlS

16.（2021•上海•中考真题）如图，已知d=则产=_________.

、BCDL3BCD

D

【答案】I2

【分析】

ΛΓ)1

先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出器=；，再根据AAOCSaCO8得出ODAD

~OB~^C~2

再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可

【解析】

解：作AE_LBcCFLBD

..SAAw_ɪ

,sBeJ2

.∙.ΔABD›f∏∆BCD等高，高均为AE

SWAz)∙AEΛŋ1

SBCD-BC.AEBC2

2

*：AD〃BC

：.∕∖AOD^∕∖COB

.ODADI

**OB^BC-2

∙.∙ABOC和C等高，高均为CF

ς∙—OB∙CFCAɔ

...SBoC=2=OB=2

SDOC-ODCF°。1

2

SBOC_2

S-BCD3

ʌ2

故答案为：~

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特

点是解题的关键

17.（2021・湖南郴州•中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中AA/∕BB∣//CG//QQ,且AB=BC=8.为

使其更稳固，在A,R间加绑一条安全绳（线段AR）,量得AE=O4m,则AR=m.

【答案】1.2

【分析】

根据平行线分线段成比例定理，可得AE=EF=FR,进而即可求解.

【解析】

解：•/AAi∕∕BBt∕∕CCl∕∕DDl,AB=BC=CD,

：.AE=EF=FDt,

,:ΛE=0.4m,

ADi=3AE=1.2m,

故答案是：12

【点睛】

本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键.

18.（2021•山东东营・中考真题）如图，正方形纸片488的边长为12,点尸是AO上一点，将一CDE沿C尸

折叠，点。落在点G处，连接。G并延长交AB于点R若AE=5,则GE的长为.

E

B

【答案】π

【分析】

因为折叠，则有。GLCF,从而可知Z∖AEf>S44DC,利用线段比求出。G的长，即可求出EG.

【解析】

如图，四边形ABCO是正方形，

.∙.Zl+Z2=90o,

因为折叠，∙∙∙OG,C尸，设垂足为H,

.∙.DH=HG,

.∙.Z2+Z3=90o,

:./1=/3,

.∙.∕∖AED^∕∖HDC,

AEDH

^ED^~DC'

22

AE=5,AD=DC=12,DE=y∣AD+AE=13>

5DH

=,

13----12

,∖DH=-

13f

..EG=ED-GD

=ED-IGH

_60

=13-2×—

13

49

=Tl

故答案为W.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到Z∖AMSC是

解题的关键.

19.（2021•湖北随州•中考真题）如图，在用一AfiC中，ZAcB=90。，。为45的中点，OZ）平分NAoC交AC

于点G,OD=OA,Bo分别与AC,OC交于点E,F,连接A£>,CD,则空的值为；若CE=CF,

则黑的值为

【分析】

（1）根据条件，证明AAOD从而推断NOGA=90,进一步通过角度等量，证明AAOGAABC,

代入推断即可.

（2）通过。4=0D=OC=O3,可知A,B,C,Z）四点共圆，通过角度转化，证明AODFZ∖C3F,代入推

断即可.

【解析】

解：（1）∙.∙NACB=9Qo,。为AB的中点

二OA=OC

又・・・0。平分NAOC

JZAOD=ZCOD

又•：OD=OD

，∕∖AOD^∕∖COD

：.AD=CD

：.ODlAC

・•・ZOGA=90

在一AOG与一ABC中

ZGAO=ZSAC,40GA=ZBCA=90

ʌAAOG∕∖ABC

OGAoI

~BC~~AB~2

OA=OD=OC=OB

ʌΛB,C,D四点共圆,如下图：

•：CE=CF

：./CEF=/CFE

又・・・ZCFE=ZBFO

：.ZCEF=ZBFO

;∕∖AOD=∕∖COD

：.AD=CD

:∙AD=CD

：.ZOBF=ZCBE

，ZBFO+ZOBF=ZCEF+ZCBE=90

即NBOC=90

YOB=OC

・•・BC=√∑0C=√2OA=y[2OD

・・・ZOGA=ZBCA=90

：,/ODB=/FBC

∙/NoFD=NCFB

・•・△”>F∕∖CBF

空=变=&

OFOD

故答案为：&

【点睛】

本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键.

二、解答题综合

一、解答题

1.（2017•重庆渝中•一模）已知：平行四边形ABCE>,E是54延长线上一点，CE与A。、BD交于G、F.

求证：CF=GFEF.

【答案】见解析

【分析】

根据平行四边形的性质得到A£>〃5C,AB//CD,得到△3FGS48/C,∆DFC^∕∖BFE,根据相似三角

形的性质列出比例式，计算即可.

【解析】

证明：：四边形ABCQ是平行四边形，

ΛAD//BC,AB//CD,

：.4DFGsABFC,ADFCSXBFE

.GFDFCFDF

"'CF~~BF,~EF~^BF,

.GFCF

"''CF~~EF,

^CF2=GFEF.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

2.(2021•浙江余杭・二模)如图，在AABC中，D、E分别是48,AC上的点，NAED=NB,4ABC用平分

线A5交。E于点G,交BC于点F.

(1)求证：Δ,AED^ΔAβC.

-AD23AG士

(z2x)设下二不，求丁的值.

ΛC3AF

ΔΓ29

【答案】(1)见解析；(2)煞=：.

AF3

【分析】

(1)根据两组对应角相等的两个三角形相似，可证明AAMSAABC

(2)根据相似三角形的性质NAEn=N8,结合已知条件A尸平分NA4C,判定△A。GSZ∖AC尸，在结合已

知条件普=。，可以进行计算.

AC3

【解析】

(1)•：∕AED=NB,ZBAC=ZDAEf

：.ΔAED^∆ABC;

(2)V∕∖AED^/XABC9

：.ZADE=ZACB9

TAP平分NBAC

：.ZDAG=ZCAF,

：.ΔΛDG<^ΔACF,

.AGAD2

•∙-=—.

AFAC3

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定.相似三角形的对应边成比例，解答本题，要找到两组对应角相等，

灵活运用是关键.

3.（2018・上海普陀•一模）如图所示，在A48C中，点。在边BC上，联结A。，/ADB=NCDE,DE交边

AC于点E,OE交区4延长线于点F,且AD2=QQDF.

（I）求证：&BFDsMAD；

（2）求证：BF∙DE=AB∙AD.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据已知条件证明△4。ES△以）/1,推出/DAE=NE依据NAO8=∕CDE,推出NFoB=NAOC,

即可得到结论；

RFAD

（2）根据推出:T；==,ZB=ZC,得到AB=AC,由此推出结论.

ACDE

【解析】

解：（1）∖ΛAD2=DE∙DF.

・ADDF

9,~DE~~AD'

又,.・ZADE=ZFDA,

：.∕∖ADE^AFDAf

；・NDAE=NF,

∙//ADB=NCDE,

：.ZFDB=ZADC9

：./\BFD^/\CAD；

(2)YXBFDSl∖CAD,

.BFDF

**AC^AD,

.,ADDF

•~DE~~AD1

.BFAD

∙'AC^DE,

•：4BFDSACAD,

：.NB=∕C,

：.AB=AC9

.BFAD

"~AB~~DE9

：.BF-DE=AB-AD.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题是解题的关键.

4.(2021・上海金山・二模)如图，已知在梯形ABCO中，ADHBC,对角线BO平分/48C点G在底边BC

上，联结DG交对角线AC于F,ZDGB=ZDAB.

(1)求证：四边形ABGO是菱形；

(2)联结EG,求证：BG∙EG=BC∙EF.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【分析】

(1)先证四边形A8G。是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；

AΓ)FF

(2)由“SA夕可证AA8E∕4GBE,可得EG=AE由相似三角形的性质可得力;=大，即可得结论.

BCAE

【解析】

证明：(1)YADIlBC,

：.ZDAB+ZABG=180o,ZDGB+ZADG=180°,

/DGB=/DAB,

/.NABG=NADG,

・・・四边形ABGD是平行四边形,

TBO平分NA8C,

/./ABD=NGBD,

•：ADlIBG,

：.ZADB=NABD=ZGBD1

：.AB=ADi

・・・四边形ABG。是菱形；

(2)如图，连接EG,

・・•四边形ABG。是菱形，

：.AB=BG=AD,ZABE=ZGBE9

在△人台七和^GBE中，

AB=BG

<ZABE=ZGBE,

BE=BE

：.∕∖ABE^∕∖GBE(SAS),

：,EG=AE,

*：ADHBC,

：.LADEsMBE,

.ADDE

^~BC~~BE9

*：DFUAB,

.DEEF

**^A£,

.ADEF

**BC^AE,

AD=BGfAE=EG,

.BGEF

..---------,

BCEG

,BG∙EG=BC∙EF.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这

些性质解决问题是本题的关键.

5.(2021.山东济南.中考真题)在qABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。在边BC上，BD=^BC,将线

段绕点。顺时针旋转至OE,记旋转角为α,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧制作等腰直角三角

形CEF.连接A尸.

(1)如图1,当α=18()。时一，请京军号号线段AF与线段BE的数量关系；

(2)当()o<α<18()。时，

①如图2,(1)中线段AF与线段8E的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,当B,E,F三点共线时，连接AE,判断四边形AECF的形状，并说明理由.

【答案】(1)BE=垃AF;⑵①BE=也AF成立,理由见解析；②平行四边形，理由见解析；

【分析】

FrAp

(1)如图1,证明ΛB〃砂，由平行线分线段成比例可得分=芸，由45。的余弦值可得BE=&4F;

ECBE

(2)①根据两边成比例，夹角相等，证明:ABCS.FEc,即可得空=空=0；

AFAC

②如图3,过A作4W∙L8C,连接腕，Ae,EF交于点N,根据已知条件证明即〃尸M,根据平行线分线段

成比例可得BE=2EF,根据锐角三角函数以及①的结论可得AF=EC,

根据三角形内角和以及ABCs,FEC可得ZAFE=NFEC,进而可得AF〃EC,即可证明四边形AECF是平

行四边形.

【解析】

(I)如图1,

图1

ZftAC=90o,AB=AC,

.∙.Zβ=ZC=45o,

-CEF是以七C为斜边等腰直角三角形，

.∖ZFEC=45o,/EFC=90°,

/.Zfi=ZFSC,

.∙.ABHEF,

.fc_AF

''~EC~~BE"

「_FC_√2

cosC==cosy4154ζθ=-9

EC2

,AF_亚

--=—,

BE2

即BE=应AF;

(2)①BE=√∑4F仍然成立，理由如下:

如图2,

图2

.NBAC=90°,AB=AC,

.-.ZABC=ZACB=45°,

.CE尸是以EC为斜边等腰直角三角形,

\?FCE45?,ZEFC=90°,

ZFCE=ZACB,

:.cosZFCE=cosZACB,

明尸CAC._o√2

ECBC2

,/FCE=ZACB,

:.Zl+ZACE=Z2+ZACE,

.∙.∕=∕2,

.∙.LFCAS^ECB,

AFAC√2

----=-----=----，

BEBC2

即3E=√∑ΛF;

②四边形AEC尸是平行四边形，理由如下：

如图3,过A作AM_L8C,连接Λ∕EACEF交于点N,

o

ZSAC=90,AB=AC9

.∖BM=MC=-BC,

2

DB=DE,

."EBD=/DEB,

ZEDC=IZEBDf

.CEF是以EC为斜边等腰直角三角形,

.\Z£FC=90°,

.B,E,尸三点共线，

BM=MC,

.∙.MF='BC=BM,

2

,∖ZFBC=ZBFMf

.∙.NFMC=2∕FBC,

.∙.ZFMC=ZEDCt

:.EDHFM,

.BEBD

,~EF~~DM9

BD=LBC,

3

：.DM=BM-BD=LBC-LBC=L

236

,BD2

一南一丁

BEBD2

.*.一==-，

EFDM1

..BE=2EF,

由①可知BE=6AF,

：.AF=√2EF,

.CEF是以EC为斜边等腰直角三角形，

EF=FC,EC=yfiEF，

:.AF=EC,

∙.∙ΛFCA^ΛECB,

.∙./EBC=NFAC,

ZBNC=ZANF9

.∙.ZAFN=180o-ZFAC