LSL最小二乘格型算-刘智

LSL最小二乘格型算法2009112829刘智LSL(leastsquareoflattice)自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。这个准那么根据输入数据的长期统计特性寻求最正确滤波。然而，我们通常的仅是一组数据，因而只能对长期统计特性进行估计或近似。LMS算法、格形梯度算法都是这样。能否直接根据一组数据寻求最正确呢？最小二乘算法就可解决这个问题。leastsquareoflattice采用递推的方法实现最小二乘，一个递推算法的完成，终止条件是估计的误差或误差信号能否满足某一条件，LSL算法的关键是基于预测误差滤波器的格型结构，即由M阶〔前向、后向〕预测误差递推计算M+1阶〔前向、后向〕预测误差

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+——LS前向线性预测滤波器对于LS前向预测滤波器由线性系统理论预测向量研究目的：求最小二乘意义下的最正确解和最正确前向预测向量.将上式用矩阵方程表示为

Yule-Walker方程式由Y-W方程求得最加权系数，以及最小前向预测误差

LSL算法原理:LS格型算法是变阶型算法，即由第M阶滤波器参数计算M+1阶滤波器参数。通常说来，移动环境是时变的，向量必须周期性地更新或自适应，每次更新计算的权值向量通常相对上一次计算的权值向量只有很小的变化，而且，由于估计最优解所需的数据受到噪声的污染，需要对权向量的上一个解进行更新，以平滑对最优响应的估计，减小噪声的影响。算法原理：基于以上原因，通常使用自适应算法周期性地更新权向量。迭代算法中，第n步迭代时：当前权向量w(n)增加一个向量，形成新的权向量，w(n+1)来近似优化解(回忆)最小二乘准那么最小二乘自适应滤波是以误差的平方和最小作为最正确准那么的误差准那么定义：其中是误差信号的平方和，是j时刻的误差信号，是j时刻的期望信号，Xj是j时刻的输入信号构成的信号，W表示滤波器的权系数构成的向量。通过选择W,使得取得最小值。有n个信号输入量{x(1),x(2),…,x(n)}，对其中任何一个输入信号量x(i)采用M个权的FIR滤波器对信号序列进行滤波，期望信号为d(i)。LSL目的就是以较少的运算复杂度，在快速收敛的情况下，给出最优解，以寻找某时刻的最优权值。算法分析如下图

滤波器输出的估计预测误差为：当在n时刻组成M维向量时那么有(M是权的个数)：权向量信号向量x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T。表示输入信号n时刻及其之前时刻直到n一M+1时刻的输入量。误差信号向量e(n)=[e(1),e(2),…,e(n)]T。期望信号向量d(n)=[d(1),d(2),…,d(n)]T。输入信号向量构成维矩阵之所以组成矩阵，是因为每个输入量都采用M个权的滤波器。其最小二乘估计为：

回忆：很多自适应方法使用基于梯度的方法寻找可以到达最小均方误差的权矢量。均方误差性能曲面的梯度定义为：最优权重矢量处梯度为零：递推算法过程最小二乘格型算法LSL是采用递推的方法实现最小二乘。输入向量x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T，n个输入信号组成的数据向量。相应的权向量为，前向预测估计为的最正确解和最正确前向预测向量分别为：递推算法过程递推算法过程:通过对x(n)的平移，其基向量全部是被延时的向量，现时向量不在其中，M阶前向预测滤波器就是根据的M个基向量来计算现时数据向量x(n)的估计递推算法过程当用表示输入数据矩阵张成的空间的投影矩阵时那么由投影定理那么n时刻前向预测误差向量(正交投影矩阵)前向预测误差，其中为求得现时刻的标量所引入的单位现时向量：递推算法过程同理，在最小二乘意义下，对后向预测滤波器有最正确解最正确估计：递推算法过程其中：递推算法过程用表示输入数据矩阵张成的空间的投影矩阵，那么由那么n时刻后向预测误差向量和后向预测误差分别为：递推算法过程n时刻后向预测误差向量和后向预测误差分别为：那么前后向预测误差能量分别为前后向预测滤波器参数更新由标量更新公式

代入前后向预测滤波器参数更新由以上四个式子，把调整因子带入可以得出：

LSL滤波器递推算法过程取

,由标量更新公式(3.4.56)：

前向能量

更新为取

,由标量更新公式(3.4.56)后向能量更新为：

其中偏相关系数:递推终止条件与总结可以选择递推终止的条件有两个：①和②和。选择其一即可,例如当或满足以下条件时迭代停止，设置迭代次数即可，或者使前向或后项误差能量小于某个值例如：while(sf<50){…}orwhile(iteration<300){…}递推终止条件与总结总结：按以下顾序计算。假设格型滤波器共M级，初始化，对n=1，2…计算对m=0,1,…,M-1计算

………….①递推终止条件与总结

………②………③相对LMS算法LSL具有较快的收敛速度，而LMS要加快收敛速度，将付出增大噪声的代价，LSL运算量要远小于LMS和RLS。………④