第三章-晶格振动

1第三章晶格振动2本章内容3.1

简谐近似3.2

一维晶格振动3.3晶体的热力学函数3.4

晶格热容的量子理论3.5

晶格的热传导3学习的意义与目的回顾：组成晶体的原子被认为是固定在格点位置(平衡位置)静止不动的！（理想化模型）

认识：有限温度(T≠0K)下，组成晶体的原子或离子围绕平衡位置作微小振动。“晶格振动”有限温度下，组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以格点为平衡位置作热振动，这种运动称为晶格振动4晶格振动使晶体势场偏离严格的周期性；

对Bloch电子有散射作用，从而影响与电子有关的运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；晶体的比热，热膨胀和热导等热学性质直接依赖于晶格振动；晶体的光吸收和光发射等光学性质与晶格振动有关电子-电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的相互作用，形成所谓库柏对，产生超导性。晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分！54·晶格振动的出现及发展历程①

起源于晶体热学性质的研究杜隆—柏替经验规律把热容量和原子振动联系起来!得到：摩尔热容量为3Nk=3R问题：与低温热容量相矛盾—T↓,Cv↓②Einstein发展普朗克量子假说—量子热容量理论得到:热容量与原子振动的具体频率有关晶格中各个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系—晶格中存在着角频率为ω的平面波63.1简谐近似晶格振动是典型的小振动

问题！—经典力学观点力学体系自平衡位置发生微小偏移

→该力学体系的运动属于小振动处理小振动问题的理论方法和主要结果学习晶格振动的理论基础晶格振动的经典理论绝热近似简谐近似原子在平衡位置附近作微小振动布拉伐格矢是平衡位置7绝热近似：固体是有大量的原子组成→复杂的多体问题！原子与原子原子与电子电子与电子∵晶体中电子和正原子实的质量相差很大：∴正原子实的运动速度<<电子快速运动的电子能很快地适应正原子实的位置变化—正原子实固定在它的瞬间位置近似认为正原子实不动→绝热近似→正电子实和原子运动分开绝热近似下:多种粒子的多体问题

多电子问题简化为8简谐近似:已知：晶胞包含N个原子，平衡位置为；偏离平衡位置的位移矢量为∴原子的瞬时位矢::晶体中相距的两个原子间的相互作用势能则晶体的总势能函数可表示为：展开成泰勒级数：9第一项V0=平衡晶格势能=0∴第二项省去二阶以上的高阶项，得到：简谐近似

—体系的势能函数只保留至二次项，称为简谐近似※简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!10※对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项

---

特别是3次和4次项的作用

→这称为非谐项或非谐作用–V非谐

※

具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用的简谐项的微扰!简正振动模式：在简谐近似下,由N个原子构成的晶体的晶格振动,可等效成3N个独立的谐振子的振动.每个谐振子的振动模式称为简正振动模式简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动,它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式.原子的振动：格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.113.2一维晶格的振动晶格具有周期性—晶格的振动模具有波的形式（格波）一、一维单原子链1·模型与运动方程单原子链看作是一个最简单的晶格!①

计算相邻原子间作用力(a)N

个质量为m的原子组成一维布拉伐格子；设：(b)平衡时相邻原子距离为a(晶胞体积为a或晶格常数为a)；(c)原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移表示为:12一维单原子链(a)平衡位置(b)瞬时位置和位移a+μn+1-μnμn-1(b)an(n+1)(n+2)(n-1)(n-2)(a)只考虑最近邻原子间的相互作用！原子链的相互作用能一般可表示为：表示对平衡距离的偏离β表示恢复力系数

=弹性系数13②考察第n个原子的运动方程，它受到左右两个近邻原子对它的作用力：an(n+1)(n+2)(n-1)(n-2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)？左（n-1)原子：14左（n-1)原子受到的力：右（n+1)原子：受到的力:∴第n个原子的运动方程：注意：原子链中有N个原子，则有N个这种形式的方程an(n+1)(n+2)(n-1)(n+2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)152·边界条件→波恩—卡曼（Born-VonKarman）条件∵一个有限链两端的原子和内部原子有所不同∴有不同形式的运动方程方程的解很复杂！结果：选择波恩—卡曼（Born-VonKarman）条件用连接体内原子相同的弹簧将链两端的原子连在一起！一维链的B-K边界条件作用：并未改变运动方程的解，只是原胞标数由n增加N，满足16对于一维原子链，边界条件的数学表达式：3·格波解与色散关系验证方程:有下列“格波”形式的解：A:振幅,ω:波的角频率,λ:波长,q=2π/λ:波数代入得到：17ω

与q的关系称为色散关系!振动频谱/振动谱184.讨论：①格波解naq—位相因子物理意义：相邻原子的振动位相差为q(n+1)a–qna=aqaq

改变一个2π的整数倍,两个原子的振动位移相等!一维单原子链的布里渊区q的取值限制在简约布里渊区19格波

—

在晶体中传播的振幅为A,频率为ω的行波，是晶体中原子的一种集体运动形式。nn+1n+2n-2n-1格波20②

波恩—卡曼（Born-VonKarman）条件知∴

被限制在第一布里渊区里的q

可取N个不同的值!又∵每个q

对应着一个格波∴

对应着N

个独立的格波，或有N个独立的振动模式21③

色散关系的几个重要性质根据色散关系式∴得到一维单原子晶格的色散关系曲线:ωq一维单原子链的ω-q函数关系

由图知，频率ω的范围为:0<

ω

≤2(β/m)1/2只有这些频率的格波能在晶格中传播，其它频率的格波被强烈衰减!应用:可把一维单原子晶格看成低通滤波器!22a)长波极限

（q→0）情况:

在q→0的长波近似下，色散关系式中q=2π/λ弹性波（声波）的色散关系:形式相同!弹性波相速度：C:弹性模量ρ:连续介质密度23一维单原子晶格格波：密度：弹性模量：格波的相速度：∴V弹=V格即：在长波极限下，一维单原子晶格格波可看成弹性波（声波），晶格可看成连续介质!24b）短波极限（q=π/a)情况随着q↑,色散曲线开始偏离直线向下弯;当q→π/a

时，色散曲线变的平坦；当q=π/a时,(布里渊区边界)对应着最大频率ωmax.ωωmq色散关系直线代表弹性波色散关系251·模型与运动方程双原子链可以看作是一个最简单的复式晶格!设:①

每个原胞中含2个不同的原子P

和Q，质量分别为m

,M

;②原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移表示为:③平衡时相邻原子距离为a（晶胞体积为a或晶格常数为a)；2a一维双原子链模型Mm二、一维双原子链26考虑：最近邻原子间的相互作用一维双原子链原子的运动方程：2·格波解和色散关系①设有下列形式的格波解：27把上式化成以

A,B

为未知数的线性齐次方程有解条件：一维双原子链的色散关系！！！28②注意：由格波解：得知：相邻原胞P

原子（或者Q原子）之间的位相差为2aq∴2aq

改变2π的整数倍，原子的振动不变!q的取值范围为：π<2aq≤+π∴-π/2a<q≤π/2a

一维双原子链的布里渊区！！29由边界条件(伯恩-卡曼)得到：根据q的取值范围∴

-N/2<h≤N/2,即共有N

个不同的值对于N个q值中的每一个q，存在两个解总共得到2N个格波解与体系中有2N个自由度一致30③讨论色散关系(a)当q→±π/2a（短波极限情况）一维双原子链晶格色散关系由M>m可知，没有格波！！31之间的频率范围称为频率隙应用：把一维双原子晶格叫带通滤波器？一维双原子链晶格色散关系32(b)当q→0时（长波极限情况）<<1简化★

声学波?“-”33与一维单原子晶格的色散关系相似！∴

q→0

极限下，可看成弹性波→声学波34振幅：代入声学支长波极限下声学支和光学支的原子位移nn+1n+2n-2n-1声学波示意图35∴长声学波中相邻原子振动方向相同，振幅和位相无差别，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动—它代表原胞质心的运动！36★当q→0时光学波∵

由于这个频率处于光谱的红外区∴这支格波称为光学波典型值37ω+(q)随着q变化很小ω+(q)>ω-(q)q→0,ω

≠0

光学波的突出特点振幅：把q=0,ω=(2β/μ)1/2

代入:38声学支光学支长波极限下声学支和光学支的原子位移∴长光学波代表同一原胞中两个原子振动方向相反，原胞中不同原子作相对振动，质量大的振幅小，质量小的振幅大—质心保持不变的振动！长光学波代表原胞中两个原子的相对振动！光学波示意图39长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式。

长声学支格波的特征是:原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数。

任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。40un=Ae-i(ωt-naq)

且u1=

un+1得到q=2пL/Na将q限制在第一布里渊区中,-п/a<q<п/aL为整数,取值在-N/2<L<N/2的范围内,只能取N个不同的值,因此每一支格波都含有N个独立的振动模式,共有2N个独立振动模式。对于三维晶格:有N个原胞,每个原胞有P个原子,每个原子有3个自由度,则总的自由度为3PN独立振动模式.其中3N支为声学波,其余（3p-3）N支为光学波。声学波描述原胞之间的相对运动,光学波描述原胞内各个原子的相对运动。41三、声子在简谐近似下，只考虑最近邻原子的相互作用，晶格振动也是一种波。可以仿照光子的定义，将固定频率ω和波数q的点阵振动波对应于一种粒子：声子我们称这种晶格振动的“量子”为声子，其能量为声子不仅是一个能量子，它还具有“动量”这是因为波矢q代表格波传播的方向，引入声子概念后就成为了声子的波矢。方向代表声子运动方向。hq称做声子的“准动量”声子不是真实的粒