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第七章万有引力§1万有引力定律

地球表面附近的自由落体和绕地球运动的月亮，它们运动的原因是同一个：万有引力m1m2F12r12如果物体不能视为质点，则1.万有引力常数G的测定

G=6.673×10-11m3/kg2·s2

卡文迪许扭秤实验2、重力加速度g卡文迪许是第一个“称地球重量”的人。3、万有引力定律的普适性§2有心力

如果运动质点所受的力的作用线始终通过一个定点，则质点所受力称有心力，此定点称力心。如万有引力，库仑力等。将原点取在力心，对原点的力矩对原点的角动量守恒，J=常矢量位矢r将始终在同一个垂直于J的平面内，所以有心力作用下的质点运动可视为二维运动。

一、极坐标中的运动方程极点极轴径向横向rθ极坐标在极坐标中，随着质点位置的不同，该点所在处的径向和横向是不同的。

1、极坐标中的位矢

2、极坐标中的速度和速率

3、极坐标中的加速度径向加速度包括径向速度随时间的变化和“向心加速度”。横向加速度包括r与角加速度的乘积和科里奥力加速度。

4、运动方程取极坐标系，原点在力心，按径向和横向列出运动方程：

5、有心力作用下的基本方程把横向方程写成两边同乘dr并积分第一项是平动动能，第二项是转动动能，第三项是势能，合起来为质点的机械能，此式表明机械能守恒。

于是得到两个基本方程：

二、行星运动规律设太阳质量M，行星质量m，极坐标系中的椭圆方程正是有心力作用下的质点运动轨迹是椭圆。p

1、开普勒运动中的隆格–楞次矢量BrθvB指向椭圆长轴方向。2、运动轨迹BrθrθabF´FMm质点运动轨道是圆锥曲线，0<ε<1，为椭圆轨道，ε=1，为抛物线轨道，ε>1，为双曲线轨道，ε=0，为圆轨道。3、有效势能和轨道特征用能量曲线直观表示轨道特征。第一项是动能，将第二、三项视为势能：有效势能中第一项大于零，为离心势能，对应一斥力作用。由图可见，r很小时，第一项为主，r很大时，第二项为主。§3开普勒定律

一、第一定律行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。

二、第二定律（面积定律）对任一个行星，它的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

三、第三定律（周期定律）行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方与周期T的平方成正比，例：估算太阳的质量。如果中心物体不视为固定或伴星与主星相比质量不能忽略，

四、行星运动的能量

考虑圆轨道，总能量为常数。总能量为负数。此结果也适用椭圆轨道，只要用a代替r，椭圆轨道时的总能量只与半长轴有关。例：从第一宇宙速度求第二宇宙速度。现向系统提供能量，使其速度增加到v2，动能为原来两倍。总能量为零时方可逃逸。§4引力场一、球壳的引力场

这是所选的圆环dM对位于P点的质点m的作用力。二、球体的引力场

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