数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近

第三章曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合1.问题提出：多组数据，由此预测函数的表达式。数据特点：〔1〕点数较多。〔2〕所给数据存在误差。解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。2.直线拟合的概念设直线方程为y=a+bx。那么残差为：，其中。残差是衡量拟合好坏的重要标志。可以用MATLAB软件绘制残差的概念。x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1);xi=0:0.01:7;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');y1=polyval(p,x);holdonfori=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)],'r');end可以绘制出如以下图形：三个准那么：〔1〕最小〔2〕最小〔3〕最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点，求一次多项式y=a+bx，使得总误差Q最小。其中。根据故有以下方程组〔正那么方程〕：例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式xi165123150123141yi187126172125148解：N=5，=702，=758，=99864，=108396。那么有方程组解得a=-60.9392，b=1.5138，那么一次多项式为y=-60.9392+1.5138b用MATLAB计算并画图如下：x=[165,123,150,123,141];y=[187,126,172,125,148];A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=x*y';B=rref(A);a=B(1,3);b=B(2,3);p=[b,a];%以上四行，可以用一行命令p=polyfit(x,y,1);替代。xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制如以下图形4.最小二乘法的多项式拟合问题：对于给定的数据点，求m次多项式〔m<<N〕，使得总误差Q最小。其中。根据故有正那么方程：当m=2时，有例2.求数据表的最小二乘法拟合的二次多项式函数xi-1-0.75-0.5-0.2500.250.50.751yi504025201821355666在MATLAB命令窗口输入：x=-1:0.25:1;y=[50,40,25,20,18,21,35,56,66];A(1,1)=length(x);A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(x.^2);A(1,4)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=sum(x.^3);A(2,4)=y*x';A(3,1)=sum(x.^2);A(3,2)=sum(x.^3);A(3,3)=sum(x.^4);A(3,4)=y*(x.^2)';B=rref(A);p=[B(3,4),B(2,4),B(1,4)];%以上五行可以用p=polyfit(x,y,2);替代xi=min(x)-0.1:0.01:max(x)+0.1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以绘制出如以下图形：例3.从三次多项式上找出21个点，然后对这21个点进行“过失处理”，得到新的21个点，根据新的21个点拟合一个新的3次多项式函数，然后和原函数进行比拟。解：在MATLAB命令窗口输入：p3=inline('2.*x.^3-3.*x.^2+4.*x-5');x=-10:10;y=p3(x);e=randn(1,length(x))*80;y=y+e;p=polyfit(x,y,3);xi=-10:0.01:10;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');holdonfplot(p3,[-10,10],'r');5.利用MATLAB的多项式拟合命令polyfit来实现多项式的插值例1.过随机6个数据点，构造5次多项式函数。解：在MATLAB命令窗口输入：x=1:6;y=round(10*randn(1,6));p=polyfit(x,y,length(x)-1);xi=1:0.01:6;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以得到以以下图形：6.利用最小二乘法解超定方程组例1．解以下超定方程组解：设超定方程的解为。方法一：点到4条直线的距离平方分别为：，，，设，根据，有：=0=0化简有：解得方法二：最小二乘法：点关于4条直线的残差平方和为：+根据，有：=0=0化简有：解得用MATLAB命令有：symsx0y0f1=4*(2*x0+4*y0-11)+2*3*(3*x0-5*y0-3)+2*(x0+2*y0-6)+2*2*(2*x0+y0-7)f2=8*(2*x0+4*y0-11)-2*5*(3*x0-5*y0-3)+4*(x0+2*y0-6)+2*(2*x0+y0-7)解得：f1=36*x0-6*y0-102f2f2=-6*x0+92*y0-96继续在MATLAB命令窗口输入：A=[36,-6,102;-6,92,96];B=rref(A)x0=B(1,3)y0=B(2,3)解得：x0=3.04029304029304y0=方法三：最小二乘法〔矩阵运算〕针对方程组的最小二乘近似解即为方程组的解于是，在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=inv(A'*A)*A'*b计算结果为：x=3.04029304029304方法四：用MATLAB左除命令“\”在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\b即可以得到答案x=3.04029304029304可以看出用MATLAB的左除“\”命令计算得到的答案与最小二乘法得到的答案是一致的。其实，MATLAB的左除“\”命令就是按照最小二乘法的原来来编写的。另外，可以用MATLAB的ezplot命令绘制四条直线的图形ezplot('2*x+4*y=11');holdonezplot('3*x-5*y=3');ezplot('x+2*y=6');ezplot('2*x+y=7');plot(2.99,1.30,'o');A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\bplot(x(1),x(2),'*');绘制图形如下：二．函数逼近问题，函数f(x)，求一个多项式函数在区间[a,b]上逼近f(x)。解决方法：函数的最正确平方逼近。令，使Q最小，那么有例1.求一次多项式在上逼近函数。解：构造直线为：，，那么有，解得：a=0.6644389，b=0.1147707在MATLAB命令窗口输入：xi=0:0.01:pi/2;yi=sin(xi);p=polyfit(xi,yi,1);pi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,xi,pi);可以绘制以以下图形：作业：〔1〕用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与以下数据表拟合。xi1925313841yi19.032.349.073.397.8解：方法一，最小二乘法；方法二，用解超定方程组的思路来解题。，根据，有：在MATLAB命令窗口输入：x=[19,25,31,38,44];y=[19,32.3,49,73.3,97.8];A=[5,sum(x.^2),sum(y);sum(x.^2),sum(x.^4),x.^2*y'];B=rref(A);p=[B(2,3),0,B(1,3)];xi=min(x):0.01:max(x);yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制图形如下：〔2〕数据表如下，试用二次多项式拟合。xi0123456yi15141414141516〔3〕求一个形如〔a，b为常数，a>0〕的经验公式，使它能和下表数据拟合。