第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布规律

主要内容：

2.1

气体分子的速率分布律第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律

2.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律2.3玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布2.4能量按自由度均分定理2.1气体分子的速率分布律1.速度分布率和速率分布率有何区别？2.速率分布函数的意义是什么？3.什么是最概然速率？一、统计规律1.统计规律的概念(1).伽尔顿板实验(2).统计规律

在一定条件下，大量偶然事件存在一种必然的规律性，这种规律性称为统计规律。A.统计规律只能通过大量偶然事件的整体效果体现出来，对少数事件不适用。(3).统计规律的特点B.统计规律与系统所处的宏观条件有关。C.统计规律总是伴有“涨落”。2.统计规律的数学描述(1).概率：大量偶然事件中，出现某一结果的可能性所有结果的概率和等于1，即概率满足归一化条件。(2).物理量的统计平均值

一般说来，某次测量值与统计平均值之间存在的偏离，这种偏离就是涨落。

气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在频繁的碰撞，分子在各时刻分子速度的大小和方向完全是偶然的，无规律的。

然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速率分布却遵循一个确定的统计规律。即1859年提出的麦克斯韦速率分布定律。

条件：理想气体，平衡态（热动平衡）宏观：微观：各分子不停运动且频繁碰撞，对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确定规律。二、气体分子的速率分布律1.速率分布函数

设有一定量的气体，分子总数为N，在

~+d

区间内的分子数为dN，dN/N就是该区间内的分子数占总分子数的百分比，也是分子速率出现在

~+d

区间内的概率。与的函数有关，且跟d

成正比。——称为麦克斯韦速率分布函数式中：m是气体分子的质量,k是玻耳兹曼常数。1）当气体处在温度为T的平衡态时：其中表示在速率附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。

1

2f(

)

o2）在

1

~

2区间内的分子数占总分子数的比率。3）整个曲线下的面积,即这一关系式称为速率分布函数f(

)的归一化条件。即分子速率在0~

间的概率是1。几个常用特殊积分公式：二、麦克斯韦速率分布律从速度分布可以推导出速率分布：设有一定量的理想气体，分子总数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为

x,

y,z（1）dNvx代表x方向速度在

x~

x+d

x区间内的分子数，dNvx/N就是该区间内的分子数占总分子数的百分比，也是一个分子在此dvx出现的概率。粒子在不同的

x

附近区间dvx出现的概率不同，用分布函数g(vx)表示在单位vx区间粒子出现的概率：

平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝各个方向运动的概率相同，所以y,z方向速度分布应该有相同形式的分布函数：（2）由独立概率相乘原理，粒子出现在

x~

x+d

x,y~

y+d

y,z~

z+d

z的概率为：F就是速度分布函数（3）由于粒子在任何方向上运动的概率相等，所以F应该与速度的方向无关，应该是速度的大小的函数。所以，取-是因为速度为无穷大的粒子为0（4）由概率的归一性求得常数C：所以，麦克斯韦速度分布：转化成球坐标：麦克斯韦速度分布：（4）由速度分布到速率分布：即球坐标速度分布中与θ，φ无关，对θ，φ积分就可得到速率分布（5）确定α，由前面的压强公式和理想气体状态方程：所以：所以：速度分布率：

速率分布律：1.麦克斯韦速率分布函数f(

)的物理意义

f(

)表示：在速率

附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。或分子速率出现在

附近的单位速率区间内的概率

概率密度。

—在速率区间

~

+d

内的分子数占总分子数的百分比。或分子速率出现在

~+d

区间内的概率。由2.麦克斯韦速率分布曲线

(a)速率分布特征：速率可取0~

内的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速率的分子最多。

(b)曲线有一个最大值，对应的速率为—最可几(概然)速率f(

)

o

最可几(概然)速率的物理意义是：在温度T的平衡态下，速率在

p附近单位速率区间内的的分子数最多，或者说气体分子中速率分布在

p附近的概率最大。(c)曲线下面积的物理意义f(

)

oA.在

~

+d

区间内的分子数占总分子数的百分比：

+d

1

2f(

)

oB.在

1

~

2区间内的分子数占总分子数的百分比。of(

)

d

面积C.整个曲线下的面积,即这一关系式称为分布函数f(

)的归一化条件。即分子速率在0~

间的概率是1。三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值

1.最可几(概然)速率

p—与分布函数f(

)的极大值对应的速率。由极值条件df(

)/d

=0可以得到of(

)

将f(

)代入，完成积分，求得平均速率为2.平均速率

-----分子速率的统计平均值根据统计平均值的计算公式分子速率连续分布，所以3.方均根速率于是方均根速率为思考：1.如果温度T变化，麦克斯韦速率分布曲线如何变化？2.不同种类的气体处在同一平衡态下，其麦克斯韦速率分布曲线有何不同？f(

)

oT大T小m大m小

解

速率区间

~+d

内的分子数:dN=Nf(

)d

速率区间

1

~

2内的分子数:于是速率区间

1

~

2

内分子的平均速率为例

(1)求速率区间

1

~

2

内分子的平均速率。

(2)分子速率在

1

~

2区间内的概率。速率区间

1

~

2内分子速率之和:

dN(2)分子速率在

1

~

2区间内的概率。例(1)nf(

)d

的物理意义是什么？(n是分子的数密度)(2)写出速率不大于最可几速率

p的分子数占总分子数的百分比。nf(

)d—表示单位体积中，速率在

~+d

内的分子数。

解

(2)写出速率不大于最可几速率

p的分子数占总分子数的百分比：

=42.9%

0

~

p区间内的分子数：例假定N个粒子的速率分布函数为求(1)归一化常数C;(2)处在f(

)>的粒子数。C2o

of(

)解(1)由归一化条件:o

of()>C2

所以f(

)>的粒子数:C2(2)处在f(

)>

的粒子数:例：用麦克斯韦速度分布函数，求单位时间碰到单位面积容器壁上的分子数N及碰壁分子的速率分布函数。解：1）计算dt时间时间内碰到dA面积容器壁上速度在v附近dvxdvydvz区间的分子数。设z轴方向垂直于dA向外，则打到dA上的分子数为：n为分子数密度，F为麦克斯韦速度分布.除以dtdA，积分可得单位时间内碰撞到单位器壁面积上的分子数为：器壁上有一小孔，单位时间内由单位面积泄出的气体分子数量，称为小孔泄流流量。定义泄流速度：所以：2）碰壁分子速率分布函数：单位时间内打到单位面积上速率在v~v+dv之间的分子数：速度分布直角坐标转为球坐标:泄流出来的分子束的速率分布和容器中分子速率分布是不一样的！对θ，φ积分,就可以得到：泄流出来的分子束速率分布：四、统计规律性和涨落现象统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，是事物整体的本质和必然的联系，个别事物的特征和偶然联系退居次要地位。统计规律的另一个特点是永远伴随着涨落现象。任一给定局部范围内，所观测到的宏观量的实际数值与统计平均值直接的偏差。布朗运动；液体中的临界乳光现象：透明液体,在接近临界点时,变得浑浊不透明,呈现一片乳白色.

光在空气中的散射现象电子管、晶体管和光电管等电子仪器中的电流涨落现象引起的噪声。容器O中产生银、钍等金属分子射线，气体分子处于平衡态。逸出分子通过壁上狭窄小孔及后续准直狭缝后可形成一窄束分子射线。为容器中平衡态下气体分子的取样。2.用分子射线实验验证麦克斯韦速率分布律一、分子射线1934年，我国物理学家葛正权测定铋（Bi）蒸气分子的速率分布。二、葛正权实验铋分子由S3到达P’处所需要的时间为：在这段时间内，R所转过的角度为，而弧的长度为：最后得到分子速率：速率较大的分子沉积在离P较近的地方，速率较小的分子沉积在离P较远的地方。三、密勒-库什实验1)为了比较精确地测定克斯韦速率分布率，1955年密勒和库什利用温度为870K，压强为0.4256pa的铊蒸气源.2)蒸气源被封闭在一带有小孔的容器中.蒸气通过小孔泄漏出来而成为分子束.3)分子束通过一准直孔，经过一速度选择器后，打到一检测器上.1）分子安全穿过斜细槽的速度选择条件：

（2.28）其中为分子通过细槽的时间.提问：大于或者小于这个速度的分子能穿过细槽去吗？2）由于细槽有一定宽度，细槽对圆筒轴线的夹角有一范围.与此范围相对应的速度区间为细槽vdt3）由于通过细槽的原子核从蒸汽源逸出的射线中的原子以及蒸汽源内原子的速率分布不同。a.在蒸汽源内速率在区间内的原子数正比于：c.最后根据麦克斯韦速率分布律，通过细槽到达探测器的原子速率在区间的原子数应正比于：b.由于速率较大的原子有更多的机会溢出，在相应的速率区间的原子数还和成正比，因而应正比于：d.原子射线强度最大值出现在：1.玻耳兹曼分布律

上一节讨论了麦克斯韦速率分布律，更详细的分析还应考虑以下两点：(1)指出分子按速度是如何分布的，即指出速度分量分别在

x

x+d

x,

y

y+d

y,

z

z+d

z区间内的分子数或百分比是多少。2.3玻耳兹曼分布定律重力场中微粒按高度的分布(2)一般的情况下，如在外力场中的气体，分子的空间分布是不均匀的，因此还需指出分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在xx+dx,yy+dy,zz+dz区间内的分子数或百分比是多少。式中:E=Ek+Ep是分子的总能，C是比例系数，

在温度为T的平衡态下,气体分子处在坐标区间(xx+dx,yy+dy,zz+dz)和速度区间(

x

x+d

x,

y

y+d

y,

z

z+d

z)共同限定的状态区间内的分子数为

玻耳兹曼从理论上导出:这一结论称为玻耳兹曼分布律。称为玻耳兹曼因子。

设处于能态E1、E2(E1<E2)上的分子数分别为N1、N2，根据玻耳兹曼分布律，有

由于E2>

E1,所以N2<N1。即：通常温度下，处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说，按统计分布来看，分子总是优先占据能量较低的状态。这叫正常分布。

+

将上式对所有可能的速度积分，可得分子按位置的分布，即分布在区间(xx+dx,yy+dy,zz+dz)内的分子数:2.重力场中粒子按高度的分布+

令两边除以dV=dxdydz，并将Ep=mgz代入得压强：

上式称为等温气压公式。Po=nokT为z=0处的压强。在坐标区间(x+dx,y+dy,z+dz)内的分子数为n是高度为z处的分子数密度，n0是高度为z=0处的分子数密度，上式就是重力场中分子或粒子按高度分布的定律。1909年皮兰实验验证这一速度分布规律。2.4能量均分定理问题：1.什么是自由度?2.单原子分子,双原子分子和多原子分子的自由度数各为多少?3.什么是能量均分定理?4.气体的内能是什么?模型的改进：

1）推导压强公式：理想气体分子-----质点2）讨论能量问题：考虑分子内部结构----质点组平动转动分子内原子间振动3）分子热运动：4）大量分子系统：各种运动形式的能量分布、平均总能量遵循统计规律.1.自由度数：描述物体在空间的位置时，需要引入的独立的坐标的数目，用i表示

2.质点（气体单原子分子）确定它在空间的位置需3个独立坐标，故有3个平动自由度

i=3一、气体分子的自由度

自由度数目

平动

转动

振动3.刚体1）确定质心在空间的位置需3个独立坐标，故有3个平动自由度t=32）确定过质心的转动轴（中的两个）3）刚体绕该轴的转动的角度r=3总共最多6个自由度i=64.刚性双原子气体分子两原子之间成哑铃似的结构1)确定它的质心-----3个平动自由度，2)确定连线-----2个转动自由度；

i=55.非刚性双原子气体分子相似为弹簧哑铃似的结构

1）确定质心---3个平动自由度，

2）确定连线---2个转动自由度；

3）确定沿连线的振动---1个振动自由度，

i=6非刚性双原子分子*C6.多原子气体分子(原子数n3)刚性:i=6(3个平动自由度,3个转动自由度);非刚性：i=3n,其中3个是平动的,3个是转动的,其余3n-6是振动的。气体分子自由度小结i=3(单原子)5(刚性双原子)6(非刚性双原子)6(刚性多原子(n3))3n

(非刚性多原子(n3))特别是对刚性气体分子，自由度为i=3(单原子)5(刚性双原子)6(刚性多原子(n3))气体分子的自由度：二、能量按自由度均分定理1.分子的平均平动动能按自由度均分分子的平均平动动能

可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个自由度上的，或者说每个平动自由度具有相等的平均动能，都为

.2.能量按自由度均分定理分子的总自由度：i=t+r+s

理想气体的能量按自由度均分，每个自由度上的平均动能都相等，都为.分子的平均总能量：由于一个振动自由度总对应于一个振动势能与振动动能,故分子不仅有的振动动能,还应有的振动势能.分子的平均总动能：三.理想气体的内能1.气体的内能

所有气体分子的动能、振动势能以及分子间相互作用势能的总和.2.理想气体的内能

理想气体分子间无相互作用,所以理想气体的内能是所有分子的动能和振动势能的总和。

1摩尔理想气体的内能为如果是刚性理想气体，则M千克理想气体的内能为如果是刚性理想气体，则单原子气体分子刚性双原子气体非刚性双原子气体刚性多原子气体例容器内有co2和o2两种混合气体，混合气体的热力学温度T=290K,总的内能E=9.64×105J,总质量M=5.4kg，求两种气体的质量。解

设co2的质量为M1，o2的质量为M2，则

M1+M2=M总的内能：解得：

M1=2.2kg,M2=3.2kg。视为刚性分子。例如图所示，容器两边是同种气体，左边的压强、温度、体积分别是p1、T1、V，右边的压强、温度、体积分别是p2、T2、V；抽去中间的隔板，让两边的气体混合(设混合过程中气体与外界无能量交换)，求平衡时的压强和温度。解

因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：又

p1V=v1RT1,p2V=v2RT2P1T1

VP2T2

V......p(2V)=(v1+v2)RT解得：例：体积为20.0升的瓶子以速率v=200m/s匀速运动，瓶子中充有质量为100g的氦气。设瓶子突然停止，且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动的动能，瓶子与外界没有热量交换。求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？解：气体分子定向运动的动能内能的增量氦气分子是单原子分子，i=3,Mmol=4g由理想气体状态方程氦气分子平均动能的增加四.理想气体的热容热容：温度升高（或降低）1度物体吸收（或放出）的热量叫物体的热容。2.摩尔热容：1mol物质温度升高（或降低）1度物体吸收（或放出）的热量叫物体的摩尔热容。3.摩尔定容热容：1mol的理想气体，在体积不变的条件下吸收热量dQ，温度升高