高考二轮复习数学试题（新高考新教材）专题突破练4利用导数研究函数的单调性极值与最值

专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.若函数f(x)=(xa)33x+b的极大值是M,极小值是m,则Mm的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.若函数f(x)=x2ax+lnx在区间(1,e)内单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞) B.(∞,3]C.[3,e2+1] D.[e2+1,3]3.已知函数f(x)=3xex,则下列关于函数f(x)的说法正确的是A.在区间(∞,+∞)内单调递增B.在区间(∞,1)内单调递减C.有极大值3e,D.有极小值3e,4.已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=xalnx(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(∞,0)∪(0,e) B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e) D.(∞,0)∪(1,e)5.(2022·新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9,则(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b6.已知P是曲线y=sinx(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x2y6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4 B.π2 C.2π7.已知曲线y=sinxex+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为A.y=x1 B.y=xC.y=x+1 D.y=x+2二、多项选择题8.已知函数f(x)=x33lnx1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.已知函数f(x)=2x+2,-2≤x≤1,lnx-1,1<x≤e,若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1<x2),A.3 B.1 C.0 D.210.(2022·新高考Ⅱ,9)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3,0对称,A.f(x)在0,B.f(x)在-πC.直线x=7π6是曲线y=f(xD.直线y=32x是曲线y=f(x)三、填空题11.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

12.试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sinx-a13.(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,.

四、解答题14.已知函数f(x)=ax2+bx+(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(∞,m](m>0)内的最小值.15.已知函数f(x)=aexx1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.已知f(x)=a2lnx12ax2(a2a)x(a≠0)(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值1.C解析因为f(x)=(xa)33x+b,所以f'(x)=3(xa)23,令f'(x)=3(xa)23=0,得x=a1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a1)=13(a1)+b=23a+b,极小值m=f(a+1)=13(a+1)+b=23a+b,因此Mm=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2xa+1x≥0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+1x在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+1x(1<x<e),则g'(x)=21x2=2x2-1x2=(2x+1)(2x-1)x2>0,所以3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1-x)ex.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数f4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=xalnx(a≠0)相切于点P(x0,x0alnx0)(x0>0).由题意得,f'(x)=1ax,则以P为切点的切线方程为yx0+alnx0=1ax0(xx0),因为该切线过原点,所以x0+alnx0=1ax0(x0),因此lnx0=1,即x0=e,所以k=1ae>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(∞,0)∪(0,e).故选5.C解析令a1=xex,b1=x1-x,c1=则lna1lnb1=lnxexlnx1-x=x+lnx[lnxln(1x)]=x+ln(1令y1=x+ln(1x),x∈(0,0.1],则当x∈(0,0.1]时,y1'=111-x于是函数y1=x+ln(1x)在区间(0,0.1]内单调递减.于是y1<0,∴lna1lnb1<0,∴b1>a1.令y2=a1c1=xex+ln(1x),x∈(0,0.1],则y2'=xex+ex11令k(x)=(1+x)(1x)ex1,则当x∈(0,0.1]时,k'(x)=(1x22x)ex>0,∴k(x)在区间(0,0.1]内单调递增.∴k(x)>k(0)=0.∴在区间(0,0.1]内,y2'>0,∴y2=xex+ln(1x)在区间(0,0.1]内单调递增.∴y2>0,∴a1>c1.∴在区间(0,0.1]内,b1>a1>c1.故当x=0.1时,有b>a>c.6.C解析如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x2y6=0平行,对函数y=sinx求导得y'=cosx,令y'=12,可得cosx=12,由于0≤x≤π,所以x=2π37.C解析由题得y'=cosx设切点为(x0,y0)(x0≥0),则y'|x=x0=cosx0-sinx0ex0,令f(x)=excosx+sinx(x≥0),则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+2sinx+π4,当0≤x<1时,f'(x)>0,当x≥1时,ex≥e,2sinx+π4≥2,f'(x)>0,所以∀x≥0,f'(x)>0,所以f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则f(x)≥f(0)=0,所以方程ex0=cosx0sinx0只有一个实根x0=0,所以y0=sin0e0+1=1,故切点为(0,1),8.BC解析函数f(x)=x33lnx1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x23x=3x(令f'(x)=3x(x31)=0,得x=1,列表得x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y0=0(x1),即y=0,故B正确,故选BC.9.BC解析画出函数f(x)的图象,如图,因为f(x)=m的两根为x1,x2(x1<x2),所以x1=m-22,x2=em+1,m∈(1,0],从而(x2x1)·f(x2)=em+1m-22m=me令g(x)=xex+112x2+x,x∈(1,0],则g'(x)=(x+1)ex+1x+1因为x∈(1,0],所以x+1>0,ex+1>e0=1,x+1>0,所以g'(x)>0,从而g(x)在区间(1,0]内单调递增.又g(0)=0,g(1)=52,所以g(x)∈52,0,即(x2x1)·f(x2)的取值范围是52,0,故选BC.10.AD解析由题意得,f2π3=sin4π3+φ=0,所以4π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=4π3+kπ,又0<φ<π,所以k=2,φ=2π故f(x)=sin2x+2π3.选项A,当x∈0,5π12时,2x+2π3∈2π3,3π2,所以f(x)在区间0,5π12选项B,当x∈π12,11π12时,2x+2π3由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+2π3=3π2,可得极值点为x=选项C,当x=7π6时,2x+2π3=3π,f7π6=0,所以直线x=7π6不是曲线y=f(x)选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos2x+2π3=1,得cos2x+2π3=12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)的图象在点0,32处的切线斜率为y'|x=0=2cos2π3=1,切线方程为故选AD.11.(∞,4)∪(0,+∞)解析由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.设切点为(x0,(x0+a)ex0),则切线方程为y(x0+a)ex0=(1+x0+a)ex0又切线过原点,∴(x0+a)ex0=x0(1+x0+a)ex0,整理得x0∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,∴x02+ax0a=0有2个不同实数解,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<故a的取值范围是(∞,4)∪(0,+∞).12.(2,2)(答案不唯一)解析f(x)=sinx-aex的定义域为R,f'(x)=cosx-sinx+aex,由于函数f(x)=sinx-aex有极值,所以f'(x)=cosx-sinx+aex有变号零点,因此由cosxsinx+a=13.y=xey=xe解析当x>0时,y=lnx,点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为ylnx1=1x1(x若该切线经过原点,则lnx11=0,解得x1=e,此时切线方程为y=xe当x<0时,y=ln(x),点(x2,ln(x2))(x2<0)上的切线为yln(x2)=1x2(xx2若该切线经过原点,则ln(x2)1=0,解得x2=e,此时切线方程为y=xe14.解(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,因为ex>0,所以f'(x)≥0的解集与ax2+(2ab)x+bc≥0的解集相同,且同为[0,1].所以a>0,所以f(x)=a(x2+x+1)ex(a>0),f'因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3e所以f(1)=3ae=3e,解得a=所以f(x)=x2+x+1ex,f'所以f(1)=1e-1=e,f'(1)=-所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ye=2e(x+1),即y=2exe.(2)由(1)知函数f(x)在区间(∞,0)内单调递减,在区间(0,1)内单调递增,且f(0)=1e0所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(∞,m]内的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(∞,m]内的最小值为f(m)=m2综上所述,f(x)在区间(∞,m]内的最小值为115.解(1)f'(x)=aex1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(∞,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=lna.当x<lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(∞,+∞)内单调递减;当a>0时,f(x)在区间(∞,lna)内单调递减,在区间(lna,+∞)内单调递增.(2)因为曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,aex1),(x2,x22),显然x1由于y1'=aex,y2'=2x,所以aex1=2x2=因此2x2x12x22=aex1-x22=2x2x22,所以2x1x2x22=2由于a>0,故x2>0,从而x2=2x12>0,因此x1>1.此时a=2x2ex1=设F(x)=4(x-1)ex(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a又F'(x)=4(2-x)ex,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)内单调递增而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(所以F(x)的值域为0,4e2,故a=4e16.解(1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=lnx12x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=1xx=令f'(x)>0,即1x2>0,得0<x<1,所以f(x)在区间(0,1)内单调递增;令f'(x)<0,即1x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意,函数f(x)=a2lnx12ax2(a2a)x(a≠0)的定义域为(0,+∞且f'(x)=a2xax(a2a)=当a<0时,a>0.①若1<a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x1)>0,得x>1或0<x<a;令f'(x)<0,即(x+a)(x1)<0,得a<x<1.所以函数f(x)在区间(1,+∞),(0,a)内单调递增,在区间(a,1)内单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.②若a=1,可得f'(x)=(x-