第三章 平稳时间序列预测

本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.

平稳时间序列模型预测设平稳时间序列是一个ARMA(p,q)过程，即本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值，我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值进行预测，记为，称为时间序列的第步预测值。2最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值与真值的均方误差达到最小，即设预测值与真值的均方误差我们的工作就是寻找，使上式达到最小。3序列预测线性预测函数预测方差最小原则序列分解预测误差预测值条件无偏均方误差最小预测

设随机序列，满足，则如果随机变量使得

达到最小值，则如果随机变量使得达到最小值，则7因为可以看作为当前样本和历史样本的函数，根据上述结论，我们得到，当时，使得达到最小。对于ARMA模型，下列等式成立：8ARMA模型的预测方差和预测区间

如果ARMA模型满足平稳性和可逆性，则有所以，预测误差为9由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是当前样本和历史样本已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长有关，而与预测起始点t无关。当预测步长的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。10进一步地，在正态分布假定下，有由此可以得到预测值的95%的置信区间为或者

11对AR模型的预测首先考虑AR(1)模型当时，即当前时刻为t的一步预测为当，当前时刻为t的步预测12对于AR(p)模型当时，当前时刻为t的一步预测为当，当前时刻为t的步预测13例1

设平稳时间序列来自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信区间。解：14可以计算模型的格林函数为所以的95%的置信区间为（－1.076，3.236）

的95%的置信区间为

（－2.296，3.952）15例2

已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月)2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。16求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为17计算模型的格林函数为四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）18预测方差的计算计算Green函数:根据递推公式方差置信区间步预测销售额的95%置信区间为：

估计结果预测时期95％置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952MA模型的预测对于MA(q)模型我们有当预测步长，可以分解为当预测步长，可以分解为21MA(q)模型预测方差为22例3

已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人）

2002年—2004年的常住人口数量及1步预测数量见表23年份人口数量预测人口数量200220032004104108105110100109例3.15解：随机扰动项的计算例3.15解：估计值的计算例3.15解：预测方差的计算27预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）例3已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万人）：最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109解:年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109解：置信区间的计算预测年份95％置信区间预测人数

2005（99，119）109.22006（83，109）962007（87，115）100.82008（86，114）1002009（86，114）10095%置信区间的计算：估计结果：ARMA(p,q)序列预测ARMA(p,q)序列场合:预测例4已知ARMA(1,1)模型为：且x100=0.3,ε100=0.01，预测未来3期序列值的95％的置信区间。x100=0.3,ε100=0.01计算Green函数：预测方差：解:置信区间的计算时期95％置信区间预测值101（0.136，0.332）0.234102（0.087，0.287）0.1872103（－0.049，0.251）0.1497695%置信区间：估计结果：修正预测定义所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值

方法在新的信息量比较大时——把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型；

在新的信息量很小时——不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。修正预测原理旧信息基础上的序列分解假设新获得一个观察值Xt+1，则序列重新分解为修正预测原理在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为假设新获得一个观察值Xt+1，则Xt+l的修正预测值为其中是Xt+1的一步预测误差。修正预测误差为修正预测原理预测方差为

即一期修正后第步预测方差就等于修正前第步预测方差。它比修正前的同期预测方差减少了，提高了预测精度。一般情况假设获得k个新的观察值，则的修正预测值为修正预测误差为预测方差为例2续已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型(单位：万元/每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元。（1）请确定该超市第二季度每月销售额的95％的置信区间。（2）假如一个月后知道4月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值。预测时期95％置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12100五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952例2续：假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值计算四月份的一步预测误差计算修正预测值月份预测值新获得观察值修正预测值497.12100597.432697.5952例2续:计算修正方差：步预测销售额的95%置信区间为：修正预测预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）ARMA模型的预测关于ARMA模型有

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例4

已知ARMA(1,1)模型为且，预测未来3期序列值的95%的置信区间。47首先计算未来3期预测值计算模型的格林函数为48计算预测方差计算得到未来3期序列值的95%的置信区间49预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）预测值的适时修正

对于平稳时间序列的预测，实际就是利用已有的当前信息和历史信息对于序列未来某个时期进行预测。预测的步长值越大，预测精度越差。随着时间的向前推移，在原有时间序列观测值的基础上，我们会不断获得新的观测值。显然，如果把新的观测值加入历史数据，就能够提高对的预测精度。所谓预测值的修正就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值。50例2续

假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。因为根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下：51修正预测方差为步预测销售额的95%的置信区间52预测时期修正前95%的置信区间修正后95%的置信区间四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）序列分解预测误差预测值序列预测线性预测函数预测方差最小原则误差分析估计误差期望方差AR(p)序列的预测预测值预测方差95％置信区间AR(p)序列的预测一.基于AR模型的预测以平稳的AR(2)过程为例：其中为零均值白噪音过程

……58ARMA模型的预测在t时刻，预测的值：

=在t时刻，预测的值：

同理：…结论59例3.14已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型（单位：万元/每月）今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元请确定该超市第二季度每月销售额的95％的置信区间例3.14解：预测值计算四月份五月份六月份例3.14解：预测方差的计算GREEN函数方差例3.14解：置信区间公式估计结果预测时期95％置信区间四月份（85.36，108.88）

五月份（83.72，111.15）

六月份（81.84，113.35）

例2.5:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图

MA(q)序列的预测预测值预测方差例3.15已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万）：最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109例3.15解：随机扰动项的计算例3.15解：估计值的计算例3.15解：预测方差的计算例3.15解：置信区间的计算预测年份95％置信区间2005（99，119）

2006（83，109）

2007（87，115）

2008（86，114）

2009（86，114）

ARMA(p,q)序列预测预测值预测方差例3.16已知模型为：且

预测未来3期序列值的95％的置信区间。例3.16解：估计值的计算例3.16解：预测方差的计算Green函数方差例3.16解