高中数学必修2课时素养评价9-3-1平面向量基本定理

课时素养评价五平面向量基本定理(15分钟30分)1.设e1,e2是平面内一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是 ()A.e1e2与e2e1B.2e1+3e2与4e16e2C.e1+2e2与2e1e2D.QUOTEe1+QUOTEe2与e1QUOTEe2【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底,选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.2.(2020·湖州高一检测)在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则 ()A.x=QUOTE,y=QUOTE B.x=QUOTE,y=QUOTEC.x=QUOTE,y=QUOTE D.x=QUOTE,y=QUOTE【解析】选A.因为=2,所以+=2+2,即3=2+,所以=QUOTE+QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE.3.(2020·长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTEQUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选C.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE.【补偿训练】如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+ D.QUOTE+QUOTE【解析】选D.根据题意得:=QUOTE(+),又=+,=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE+QUOTE.4.如图所示,在6×4的方格中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点),则·=________.

【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2,则|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,由题图可知,=3e1+2e2,=6e13e2,·=(3e1+2e2)·(6e13e2)=18QUOTE+3e1·e26QUOTE=12.答案:125.(2020·台州高一检测)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,=2,=2.(1)求CD的长;(2)求·的值.【解析】(1)因为=2,所以=QUOTE,所以==QUOTE,所以===QUOTE=QUOTE,即CD的长为QUOTE;(2)==QUOTE+QUOTE=QUOTE()+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以·=·=QUOTE+QUOTE·=QUOTE+QUOTE×2×3×QUOTE=QUOTE.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于 ()A.ab B.2(ba)C.2(ab) D.ba【解析】选B.如图,a=QUOTE(+),b=QUOTE(+),相减得ba=QUOTE(),所以=2(ba).2.如图,在平行四边形ABCD中,AE=QUOTEAB,CF=QUOTECD,G为EF的中点,则= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTEQUOTEC.QUOTEQUOTE D.QUOTEQUOTE【解析】选A.在平行四边形ABCD中,AE=QUOTEAB,CF=QUOTECD,G为EF的中点,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE.3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系式是 ()A.x+y2=0 B.2x+y1=0C.x+2y2=0 D.2x+y2=0【解析】选A.由=λ,得=λ(),即=(1+λ)λ.又2=x+y,所以QUOTE消去λ得x+y=2.【补偿训练】设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量=akb,=2a+b,=3ab,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于 ()A.2B.-2C.10D.10【解析】选A.=++=(akb)+(2ab)+(3ab)=2a(k+2)b.因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ使得=λ,即akb=λ[2a(k+2)b]=2λaλ(k+2)b.因为a,b为基底向量,所以QUOTE解得λ=QUOTE,k=2.4.(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组,其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是 ()A.与 B.与C.与 D.与【解析】选AC.对于A,与不共线;对于B,=,则与共线;对于C,与不共线;对于D,=,则与共线.由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平面的基底.【补偿训练】(2020·德州高一检测)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是 ()A.=aQUOTEb B.=QUOTEa+QUOTEbC.=QUOTEab D.=QUOTEa+QUOTEb【解析】选BC.因为点D为边BC的中点,所以=+=+QUOTE=a+QUOTEb,所以=aQUOTEb;因为点E为边CA的中点,所以=QUOTE=QUOTEa+QUOTEb;因为点F为边AB的中点,所以=+=QUOTE=QUOTEab;因为=+=a+b,所以=QUOTE=QUOTEaQUOTEb.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且=x,=y,则3x+y的最小值为________.

【解析】因为G是△ABC的重心,所以=QUOTE+QUOTE,又=x,=y,所以=QUOTE+QUOTE,因为M,G,N三点共线,所以QUOTE+QUOTE=1,所以3x+y=(3x+y)QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE.当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE时,等号成立,故3x+y的最小值为QUOTE.答案:QUOTE6.方格纸中向量a,b,c如图所示,若c=λa+μb,则λ+μ=________.

【解析】设水平向右,竖直向上的单位向量分别为e1,e2,则a=e1+3e2,b=3e1e2,c=5e1+5e2,又c=λa+μb,所以QUOTE所以QUOTE即λ+μ=3.答案:3三、解答题7.(10分)(2020·锦州高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.(1)试以a,b为基底表示,;(2)求证:A,G,C三点共线.【解析】(1)==QUOTEba,==QUOTEab;(2)因为D,G,F三点共线,所以与共线,所以存在实数λ,使得=λ,所以=+λ=b+λQUOTE=QUOTEλa+QUOTEb,因为B,G,E三点共线,所以与共线,所以存在实数μ,使得=μ,所以=+μ=a+QUOTE=QUOTEa+QUOTEμb,因为a,b不共线,所以QUOTE解得λ=μ=QUOTE,所以=QUOTE(a+b)=QUOTE=QUOTE,所以A,G,C三点共线.【补偿训练】如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=QUOTE,=a,=b.(1)用a,b表示,,,,;(2)求证:B,E,F三点共线.【解析】(1)如图所示,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到