6.3.3平面向量加减运算的坐标表示3题型分类

平面向量加、减运算的坐标表示3题型分类一、平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2).3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.（一）平面向量加法运算的坐标表示平面向量坐标运算的技巧(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）．(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．题型1：平面向量加法运算的坐标表示11．（2023下·贵州·高二统考学业考试）已知向量，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将坐标代入中计算结果.【详解】解：因为，，所以.故选：A12．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：D.13．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标【详解】.故选：B.14．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）平行四边形中，，，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，代入坐标即可求得.【详解】根据向量加法的平行四边形法则故选：C15．（2023下·浙江宁波·高一统考期末）已知向量，，点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，求出，再列出方程，即可得解.【详解】设点，又因为，，所以，即，所以，解得所以点的坐标为.故选：C.（二）平面向量减法运算的坐标表示已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）题型2：平面向量减法运算的坐标表示21．（2024上·北京·高二统考学业考试）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】,.故选：C.22．（2023·高一课时练习）若，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的坐标运算即可求得.【详解】因为，所以，所以．故选：C23．（2023·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）（2）（3）（4）利用平面向量加法与减法的坐标运算可得出向量、的坐标．【详解】（1）解：因为，，则，.（2）解：因为，，则，.（3）解：因为，，则，.（4）解：因为，，则，.24．（2023上·安徽淮北·高二校考开学考试）已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据向量减法的坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案.【详解】，所以，故选：D.25．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用向量坐标的减法公式，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故选：D（三）平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用31．（2024上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解..【详解】因为，，，所以，所以，解得，所以.故选：A.32．（2023下·江苏南京·高一统考期中）已知一个物体在三个力，的作用下，处于静止状态，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知，设，代入求解即可.【详解】已知一个物体在三个力，的作用下，处于静止状态，设，则，即，解得，所以.故选：A33．（2023·广西·统考一模）设向量，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得结果.【详解】因为，即，所以，，解得，，因此，.故选：C.34．（2023下·高一单元测试）已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算即可列式子求解.【详解】方法一：设，则，,又,所以所以即,因为点P在第四象限，所以解得故所求实数λ的取值范围是方法二：,所以因为点P在第四象限，所以解得故选：C35．（2023下·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（

）A．2 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用向量的坐标运算和模的计算即可求解.【详解】解析：根据题意，向量，则，则．若，则有，两边平方得到，再平方得到，解得．故选：．一、单选题1．（2023下·北京朝阳·高一统考期末）已知，，若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可.【详解】因为，所以是线段的中点，所以点的坐标为，即，故点的坐标为.故选:A.2．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.【详解】由P，Q分别为的边，的中点，，得，点为坐标原点，，因此，所以点C的坐标为.故选：A3．（2023下·安徽合肥·高一统考期中）已知四边形是平行四边形，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案.【详解】因为四边形是平行四边形，故,故选：A4．（2023下·甘肃定西·高一校考阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据及即可求解.【详解】，所以.故选：A.5．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）已知向量，，则（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用坐标求出模作答.【详解】向量，，则，所以.故选：B6．（2023上·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.【详解】设第四个顶点为，当是对角线时，则有，当是对角线时，则有，当是对角线时，则有，故选：A7．（2023下·浙江·高二学业考试）已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】,所以,所以,故选：B8．（2023·湖南·高二统考学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解.【详解】解：设，因为，所以，所以.故选：D.9．（2023下·北京·高一北京市十一学校校考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为，所以,因此，，故选：.10．（2023下·山东菏泽·高一统考期中）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐标运算即得.【详解】因为向量，，所以.故选：B.11．（2023·四川·统考模拟预测）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.【详解】∵D为边的中点，，∴.故选：B.12．（2023下·北京海淀·高一海淀实验中学校考期中）如图，已知向量，，，，的起点相同，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】假设图形中小正方形的边长为1，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，则可以写出每个向量的坐标，然后可判断出答案.【详解】假设图形中小正方形的边长为1，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，则，，，，，所以，因为，所以，故选：C13．（2023·高一课时练习）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是（

）A．(1，0) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(－1，1)【答案】C【分析】先由已知条件求出的坐标，再设D(x，y)，表示出的坐标，从而可求出D点坐标【详解】∵与是相反向量，∴＝－.又＝(1，1)，∴＝(－1，－1).设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1).从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1).故选：C.14．（2023上·吉林·高三统考期末）已知向量，，则下列结论错误的是（

）A． B．与可以作为一组基底C． D．与方向相反【答案】B【分析】由条件可得，然后逐一判断即可.【详解】因为，，所以；所以，，A、C正确；与不可以作为一组基底，B错误；，所以与方向相反，D正确；故选：B二、多选题15．（2023·高一课时练习）(多选)下列各式不正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】ACD【分析】由向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．【详解】对于A，若，，则，错误；对于B，若，，则，正确；对于C，若，，则，错误；对于D，若，，则，错误.故选：ACD.16．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）已知，，下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案.【详解】解：因为，，所以，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB.三、填空题17．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）已知向量，，则．【答案】【分析】由平面向量的模长公式求解即可.【详解】因为向量，，则，.故答案为：.18．（2023·高一课时练习）设，，，若，则．【答案】【分析】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.【详解】由题设，所以，即，故.故答案为：19．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知在中，，，，为中点，则的坐标为．【答案】【分析】先求，，再用，表示，根据向量的坐标运算求出答案即可．【详解】，，，，.因为为中点，所以故答案为：．20．（2023上·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）已知在平行四边形中，对角线与相交于点则【答案】【分析】根据平面向量的坐标运算可求，再由平行四边形的性质可求.【详解】因为所以.所以.故答案为:.四、解答题21．（2023·全国·高一专题练习）已知向量、的坐标分别是、，求，的坐标.【答案】，【解析】由向量加法和减法的坐标运算可求得结果.【详解】，，，.【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.22．（2023下·高一课时练习）如图，已知两点A(－4，0)，B(0，3)．（1）求向量的模，并指出||与||的关系．（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．【答案】（1）＝5，＝5，；（2）x＝－4，y＝0．【分析】（1）根据平面向量模的定义计算．（2）根据向量的坐标表示求解．【详解】解：（1）所求向量的模就是线段AB的长度．∵AB＝＝5，∴＝5，＝5，故．（2）∵，∴A，C重合，∴x＝－4，y＝0．23．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，