2021新高考数学新课程一轮复习课时作业第七章第2讲空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积组基础关1．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为()A．90B．92C．96D．88答案C解析解法一：如图1，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，所以所求几何体的体积V＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝eq\f(1,2)×8×6×3＝72，四棱锥D－MNEF的体积为V2＝eq\f(1,3)S梯形MNEF·DN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.解法二：把原几何体补成一个直三棱柱，如图2，使AA′＝BB′＝CC′＝8，故所求几何体的体积V＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)·S△ABC·AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为()A.eq\f(1,2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．2答案B解析设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又圆锥的表面积为π，∴πr(r＋3r)＝π，解得r＝eq\f(1,2)，母线长l＝eq\f(3,2)，故圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(2).3．(2019·安徽皖中入学摸底考试)将半径为3，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为()A.eq\f(\r(2)π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(4π,3)D．2π答案A解析设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝eq\f(2π,3)×3，∴r＝1，h＝eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，设内切球的半径为R，则eq\f(R,2\r(2)－R)＝eq\f(1,3)，∴R＝eq\f(\r(2),2)，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3)，故选A.4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－A．由E点的位置而定B．由F点的位置而定C．由E，F点共同确定D．为定值答案D解析三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值5．(2019·河南信阳期中联考)我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，即三棱柱ABC－A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”(四棱锥B－A1ACC1)体积最大时，“堑堵”(三棱柱ABC－A1B1CA.eq\r(2)＋1B.eq\r(3)＋1C.eq\f(2\r(2)＋3,2)D.eq\f(\r(3)＋3,2)答案C解析设AC＝x(x>0)，根据题意，BC＝eq\r(1－x2)，则四棱锥B－A1ACC1的体积V＝eq\f(1,3)xeq\r(1－x2)，令t＝x2(1－x2)，t′＝2x－4x3＝0，x＝eq\f(\r(2),2)，故x＝eq\f(\r(2),2)时，四棱锥B－A1ACC1体积最大，故此时三棱柱ABC－A1B1C1的表面积S＝x＋eq\r(1－x2)＋1＋2×eq\f(1,2)×xeq\r(1－x2)＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋1＋eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(2)＋3,2).故选C.6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．答案144π解析设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO－ABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，VO－ABC最大，为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2·R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π·62＝144π.7．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，该几何体的体积为________，答案6eq\r(6)解析过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°则V＝VA1B1C1－A2B2C＋VC－ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.在△ABC中，AB＝eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，AC＝2eq\r(3)，则S△ABC＝eq\r(6).8．(2020·驻马店摸底)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值为________．答案eq\f(1,2)解析因为O为BD1的中点，所以VO－ABD＝VA－OBD＝VA－ODD1，又因为四边形ADD1A1是平行四边形所以VA－ODD1＝VO－ADD1＝eq\f(1,2)VO－ADD1A1，所以VO－ABD＝eq\f(1,2)VO－ADD1A1，即V1＝eq\f(1,2)V2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,2).9．我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biēnào)．若三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，且该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．答案eq\f(8,3)解析根据题意，三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，如图所示，可得∠PAB＝∠PAC＝∠ABC＝∠PBC＝90°.易知PC为外接球的直径，设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则R2＝eq\f(24π,4π)＝6，则BC＝eq\r(2\r(6)2－2\r(2)2)＝4，则该鳖臑的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×2＝eq\f(8,3).10．(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．答案3eq\r(3)eq\f(4π,81)解析该三棱锥侧面的斜高为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\r(3)))2＋12)＝eq\f(2\r(3),3)，则S侧＝3×eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)＝2eq\r(3)，S底＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)，所以三棱锥的表面积S表＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝eq\f(1,3)S表·r＝eq\f(1,3)S底·1，所以3eq\r(3)r＝eq\r(3)，所以r＝eq\f(1,3)，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,81).组能力关1．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD.eq\r(6)π答案D解析设PA＝PB＝PC＝2a，EF＝a，FC＝eq\r(3)，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝eq\f(a2＋3－a2－2a2,2a\r(3－a2)).在△AEC中，cos∠AEC＝eq\f(a2＋3－a2－4,2a\r(3－a2)).∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a2＝1，∴a＝eq\f(\r(2),2)，故PA＝PB＝PC＝eq\r(2).又AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直径2R＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.故选D.2．(2019·河北省五校联考)如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(\r(3)－1π,3)C.eq\f(5－2\r(3)π,3) D.eq\f(5－\r(3)π,3)答案C解析小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球．小球运动到左侧与圆锥相切时，其轴截面如图所示．由题意，知∠OAB＝30°，OB＝1，则OA＝2.∴AC＝1.∵AD＝2，∴AN＝AD·cos30°＝eq\r(3).∴CN＝AN－AC＝eq\r(3)－1.∴小球滚动形成的圆柱的高h＝10＋eq\r(3)－1－2＝7＋eq\r(3).∴小球滚动形成的几何体的体积V＝π×12×(7＋eq\r(3))＋eq\f(4,3)π×13＝eq\f(25＋3\r(3)π,3)，∵V容器＝π×12×10＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(30＋\r(3)π,3)，∴V空＝V容器－V＝eq\f(5－2\r(3)π,3).故选C.3．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是()A．①B．②C．③D．④答案A解析∵几何体T是由阴影旋转得到的，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为x1，切线对应的横坐标为x2.f(x)＝x2，f′(x)＝2x，∴k＝f′(1)＝2，切线为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，∴xeq\o\al(2,1)＝y，x2＝eq\f(y＋1,2).横截面面积S＝πxeq\o\al(2,2)－πxeq\o\al(2,1)＝πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y＋12,4)－y))＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,2)))2.图①中的圆锥高为1，底面半径为eq\f(1,2)，可以看成由直线y＝2x＋1绕y轴旋转得到的，横截面的面积为S＝πx2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,2)))2.所以几何体T和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A.4．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为eq\f(4π,3)的球体与棱柱的所有面均相切，则正三棱柱的底面边长为________，这个三棱柱的表面积为________.答案2eq\r(3)18eq\r(3)解析由已知得eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π,3)，所以R＝1，所以三棱柱的高h＝2R＝2.设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝1，解得a＝2eq\r(3)，所以该三棱柱的表面积为3a·2R＋2×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3).5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．答案40eq\r(2)π解析因为母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，所以母线SA，SB所成角的正弦值为eq\f(\r(15),8)，因为△SAB的面积为5eq\r(15)，设母线长为l，所以eq\f(1,2)×l2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以l2＝80，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面圆的半径为lcoseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)l，因此，圆锥的侧面积为πrl＝eq\f(\r(2),2)πl2＝40eq\r(2)π.6．如图所示