新教材数学人教A版作业5-5-1第4课时二倍角的正弦余弦正切公式

第五章5.A组·素养自测一、选择题1．若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，则cosα等于(C)A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝1－2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).2．(2021·全国高考乙卷文科)cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]由题意，cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝cos2eq\f(π,12)－cos2(eq\f(π,2)－eq\f(π,12))＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).故选D.3．函数y＝eq\f(1－tan22x,1＋tan22x)的最小正周期是(B)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．π D．2π[解析]y＝eq\f(1－tan22x,1＋tan22x)＝eq\f(1－\f(sin22x,cos22x),1＋\f(sin22x,cos22x))＝cos22x－sin22x＝cos4x，所以最小正周期T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).4．sin2α＝－eq\f(1,3)，则cos2(α－eq\f(π,4))的值为(C)A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]cos2(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos2α－\f(π,2),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(1－\f(1,3),2)＝eq\f(1,3).5．若△ABC的内角A满足sin2A＝eq\f(2,3)，则sinA＋cosA等于(A)A．eq\f(\r(15),3) B．－eq\f(\r(15),3)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)[解析]∵sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2,3)，∴sinAcosA＝eq\f(1,3).∵在△ABC中，0<A<π，∴sinA>0，∴cosA>0，∴sinA＋cosA＝eq\r(sinA＋cosA2)＝eq\r(1＋\f(2,3))＝eq\r(\f(5,3))＝eq\f(\r(15),3).6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(C)A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(3π,8) D．eq\f(π,2)[解析]∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝－1，又α为锐角，∴2α＝eq\f(3π,4)，∴α＝eq\f(3π,8).二、填空题7．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，则cos2θ＝－eq\f(7,25).[解析]由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ＝eq\f(3,5)，得cos2θ＝2cos2θ－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2－1＝－eq\f(7,25).8．计算：taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12))＝－2eq\r(3).[解析]原式＝eq\f(tan2\f(π,12)－1,tan\f(π,12))＝eq\f(－2,tan\f(π,6))＝－2eq\r(3).9．若cos2θ＝－eq\f(3,4)，则sin4θ＋cos4θ＝eq\f(25,32).[解析]sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－eq\f(1,2)sin22θ，又cos2θ＝－eq\f(3,4)，∴sin22θ＝1－cos22θ＝eq\f(7,16).∴原式＝1－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)×eq\f(7,16)＝eq\f(25,32).三、解答题10．求下列各式的值：(1)eq\f(4－8sin2α,tan\f(π,4)＋α·sin2\f(π,4)－α)；(2)2eq\r(3)tan15°＋tan215°；(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.[解析](1)原式＝eq\f(41－2sin2α,\f(sin\f(π,4)＋α,cos\f(π,4)＋α)·cos2[\f(π,2)－\f(π,4)－α])＝eq\f(4cos2α,\f(sin\f(π,4)＋α,cos\f(π,4)＋α)·cos2\f(π,4)＋α)＝eq\f(4cos2α,sin\f(π,4)＋α·cos\f(π,4)＋α)＝eq\f(8cos2α,sin\f(π,2)＋2α)＝eq\f(8cos2α,cos2α)＝8.(2)原式＝eq\r(3)tan30°(1－tan215°)＋tan215°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)(1－tan215°)＋tan215°＝1.(3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70°＝eq\f(1,2)cos20°cos40°cos80°＝eq\f(2sin20°cos20°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin40°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin80°cos80°,8sin20°)＝eq\f(1,16)·eq\f(sin160°,sin20°)＝eq\f(1,16).方法二：令x＝sin10°sin50°sin70°，y＝cos10°cos50°cos70°，则xy＝sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°，＝eq\f(1,2)sin20°·eq\f(1,2)sin100°·eq\f(1,2)sin140°＝eq\f(1,8)sin20°sin80°sin40°＝eq\f(1,8)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(1,8)y.∵y≠0，∴x＝eq\f(1,8).从而有sin10°sin30°sin50°sin70°＝eq\f(1,16).11．已知α，β为锐角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解析](1)因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，所以cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(5),5)，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq\f(2,11).B组·素养提升一、选择题1．已知锐角α的终边经过点P(cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于(C)A．10° B．20°C．70° D．80°[解析]由三角函数的定义tanα＝eq\f(1＋sin50°,cos50°)＝eq\f(1＋cos40°,sin40°)＝eq\f(2cos220°,2sin20°cos20°)＝eq\f(cos20°,sin20°)＝eq\f(sin70°,cos70°)＝tan70°.所以α＝70°.2．(2021·山西晋中高三适应性考试)若sin(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(\r(3),3)，则sin(eq\f(π,6)＋2α)＝(D)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)[解析]由题意及诱导公式可得sin(eq\f(π,6)＋2α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,6)＋2α)]＝cos(eq\f(π,3)－2α)，又由余弦的倍角公式，可得cos(eq\f(π,3)－2α)＝1－2sin2(eq\f(π,6)－α)＝1－2×(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(1,3)，即sin(eq\f(π,6)＋2α)＝eq\f(1,3).3．(多选题)下列各式中，值为eq\f(\r(3),2)的是(BC)A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°[解析]A不符合，2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)；B符合，cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；C符合，1－2sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC.4．(多选题)已知函数f(x)＝eq\f(cos2x－1,sin2x)是奇函数，则有(BCD)A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称B．函数f(x)的图象关于点(eq\f(π,2)，0)对称C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)的最小正周期为π[解析]因为f(x)＝eq\f(cos2x－1,sin2x)＝eq\f(－2sin2x,2sinxcosx)＝－tanx(x≠eq\f(kπ,2)(k∈Z))，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点(eq\f(π,2)，0)对称，故选BCD.二、填空题5．若tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1,2)，则tan2α＋eq\f(1,cos2α)＝2.[解析]由tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1,2)，可求得tanα＝eq\f(1,3)，∴tan2α＋eq\f(1,cos2α)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＋eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＋eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(2tanα＋tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(\f(2,3)＋\f(1,9)＋1,1－\f(1,9))＝2.6．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则cos2θ＝－eq\f(1,8)；sinθ＝eq\f(3,4).[解析]∵θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴2θ∈[eq\f(π,2)，π]，∴cos2θ≤0.∴cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\r(1－\f(3\r(7),8)2)＝－eq\f(1,8).又∵cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝eq\f(1－cos2θ,2)＝eq\f(1－－\f(1,8),2)＝eq\f(9,16)，∴sinθ＝eq\f(3,4).7．(2020·湖南长沙高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，则cos(2θ＋eq\f(π,3))＝－1.[解析]由题意知cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(1,2)，sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(\r(3),2)，∴cos(2θ＋eq\f(π,3))＝cos2θcoseq\f(π,3)－sin2θ·sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝－1.三、解答题8．定义向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，若m与n共线，则有x1y2－x2y1＝0，已知向量m＝(cosα－eq\f(\r(2),3)，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－eq\f(π,2)，0]．(1)求sinα＋cosα的值；(2)求eq\f(sin2α,sinα－cosα)的值．[解析](1)∵m与n为共线向量，∴(cosα－eq\f(\r(2),3))×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3).(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝eq\f(2,9)，∴sin2α＝－eq\f(7,9).∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，∴(sinα－cosα)2＝2－(eq\f(\r(2),3))2＝eq\f(16,9).又∵α∈[－eq\f(π,2)，0]，∴sinα－cosα<0，sinα－cosα＝－eq\f(4,3).因此，eq\f(sin2α,sinα－cosα)＝eq\f(7,12).9．已知函数f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq