新疆玛纳斯县第一中学高三上学期期中备考Ⅱ数学（理）试卷

20202021学年上学期高三期中备考卷理科数学2注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，故选A．2．若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，故选D．3．在数列中，，，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以是公差为2等差数列，因为，，所以，解得，故选C．4．已知函数（为自然对数的底数），若，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，，∴，又在上是单调递减函数，故，故选D．5．已知，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为或，所以是的充分不必要条件，故选A．6．设函数，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，，则，当时，，，有或，则，综上可知：的取值范围是或，故选B．7．函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故B不正确；当时，，，由，得；由，得，所以在上递减，在上递增，结合图像分析，A、C不正确，故选D．8．若非零向量、满足且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设与的夹角为，由已知得，，则，∵，∴，，解得，故选C．9．在长方体中，．若，分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在长方体中，各面都是矩形，所以，，两两垂直，又，平面，平面，所以平面，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，所以，则为平面的一个法向量，又，分别为线段，的中点，所以，，则，设直线与平面所成角为，则，故选C．10．在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，解得，又，由正弦定理可得，由余弦定理，解得，，故选D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与双曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，焦距，圆，即，所以圆是以为圆心，半径为的圆．，可得是直角三角形，且是圆的直径，所以，即，解得，因为，所以，所以，所以，故选A．12．已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵函数，∴，当时，，取最小值；当时，，单调递增；当时，，单调递减，∵是偶函数，且在上单调递增，∴等价，整理得，解得或，∴使得成立的的取值范围是，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线过点，则的最小值为________．【答案】【解析】因为直线过点，所以，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故答案为．14．已知，则________．【答案】【解析】∵，∴，又，∴，本题正确结果．15．已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】当时，令，得，即，该方程至多两个根；当时，令，得，该方程至多两个根．由于函数恰有个不同的零点，则函数在区间和上均有两个零点．由题意知，直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：由图象可知，，解得；函数在区间上也有两个零点，令，解得，，由题意可得，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为．16．将集合且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表：则该数表中，从小到大第个数为_________．【答案】【解析】用表示，下表的规律为：，，，…∵，则第行的第个数，∴，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由及正弦定理得，∵，∴，∵是锐角三角形，∴．（2）∵，面积为，∴，即．①∵，∴由余弦定理得，即．②由②变形得．③将①代入③得，故．18．（12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题设．连结，为等腰直角三角形，所以，且．又为等腰三角形，故，，从而，所以为直角三角形，．又，所以平面．（2）解法一：取中点，连结，，由（1）知，，得，，为二面角的平面角．由，，，得平面，所以．又，故，所以二面角的余弦值为．解法二：以为坐标原点，射线、分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则，，．的中点，，，，∴，．故，，等于二面角的平面角，，所以二面角的余弦值为．19．（12分）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立．（1）若甲、乙两人各射击次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件，．方法二：设“两人都没命中目标”为事件，，“至少有一人命中目标”为事件，．（2）的取值情况可能为，，，，；；；．的分布列为ξ0123P以．20．（12分）己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，．（1）求椭圆的方程；（2）设点，当的面积为时，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，，则，∴，∴椭圆的方程为．（2）设，，联立，得，∴，解得，，，∴，又点到直线的距离为，∵，解得，∴．21．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，关于的不等式恒成立．【答案】（1）单调递减区间为，函数的单增区间为；（2）证明见解析．【解析】（1），由，得，又，所以，所以的单调递减区间为，函数的单增区间为．（2）令，所以，因为，所以，令，得，所以当，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数，故函数的最大值为，令，因为，又因为在是减函数，所以当时，，即对于任意正数总有，所以关于的不等式恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线（为参数，且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，．（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点A，与相交于点B，求最大值．【答案】（1）和；（2）．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立，解得或，所以与交点的直角坐标为和．（2）曲线的极坐标方程为，其中，因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最