(完整word版)现代控制理论(东大)第二章习题0922

第二章知识点状态空间表达式的建立：物理机理直接建立；高阶微分方程转化；传递函数建立组合系统的状态空间表达式：并联；串联；反馈线性变换：变换矩阵的计算离散时间系统的状态空间表达式2.0建立下图所示系统的状态空间表达式，其中为小车质量，为相应的弹簧系数，为相应小车的位移，为外力。（这里忽略摩擦阻尼）确定输入变量和输出变量。输入变量：输出变量：位移2）将小车弹簧系统分为2个子系统，根据牛顿第二定律（）分别写出微分方程。首先对小车进行分析，得到如下微分方程(1)同理，对小车进行分析，可有(2)根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量。选取系统的状态变量为将子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，得系统的状态方程为系统的输出方程为最后写成矩阵形式，状态空间表达式可写为：2.1有电路图如图所示，设输入为，输出为，试自选状态变量并列写出其状态变量表达式。解：系统如图图确定了输入输出变量，根据电路定律列写微分方程设两端电压为，两端的电压为，则(1)(2)根据微分方程的阶次选择状态变量设状态变量为，，由式(1)和(2)得：状态空间表达式为：即:□2.2建立图所示系统的状态空间表达式,其中，，为重物质量，为弹簧系数，为阻尼，为外力，设，分别为，的位移量。图解：确定输入量和输出量令输入为输入量，，的位移量，为输出量，根据牛顿定律列写微分方程分别对重物，进行受力分析后，得到如下微分方程根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量选取状态变量，，，。连同代入上面两个式子，经整理得状态方程为：输出方程为：写成矩阵形式为：2.4如图所示的水槽系统。设水槽1的横截面积为，水位为；水槽2的横截面积为，水位为；设、、为各水管的阻抗时，推导以水位、作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入是单位时间的流入量，、为输出，是单位时间由水槽的流出量。图水槽系统解：确定了单位时间的流入量为输入，单位时间由水槽的流出量、为输出量，在水槽1，考虑时间增量内水量的进出。单位时间的流入量是输入和有两个水槽的水位差决定的水量，流出量是。（类似电压，电阻，电流的意义）设水位的增量为，则水量的增量是，则单位时间内的水量增量为同样，得到水槽2单位时间内的水位增量有如下关系。，设，则，，因此可有下列微分方程输出方程为设，，将上述微分方程组写成矩阵形式如下□化对角(约当)标准型的步骤求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量令做变换2.14试将下列状态方程化为对角标准形。1)解：=1\*GB3①求特征值=2\*GB3②求特征向量、对于：(对应的特征向量满足)，故有、对于：同理有=3\*GB3③构造，（令）求,得到对角形的状态方程为 2)=1\*GB3①求特征值=2\*GB3②求特征向量、对于有：(，求解3阶方程组易得)、对于有：、对于有：=3\*GB3③构造，（令）求。=4\*GB3④求，故为所求。□2.15试将下列状态方程化为约当标准形。解：=1\*GB3①求特征值：=2\*GB3②求特征向量、对于有：、对于有：由，有由，有=3\*GB3③构造，（令）求。=4\*GB3④求，。所求的约当标准形为2.16已知系统的状态空间表达式为求其对应的传递函数。解，，，（线性代数知识，设A=所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵为则A-1=A＊=）□2.8已知系统的微分方程1)；2)；3)。试列写出它们的状态空间表达式。解1)此题微分方程右边不含有输入函数导数，利用有高阶微分方程转化状态空间表达式的公式直接写出，令，，，则有 状态空间表达式为：2)已知系统的微分方程（），利用由传递函数建立状态空间表达式的方法。首先对微分方程取零初始条件下的拉氏变换，得到系统的传递函数后，再由传递函数求取状态空间表达式。本题利用直接法。对微分方程取拉氏变换得见