2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题08 三角形综合篇（原卷版+解析）

专题07三角形的综合知识回顾知识回顾②分别以点M与点N为圆心，大于MN②①③②①三角形的中位线平行且等于第三边的一半。8.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。②等腰三角形的两底角相等。(简称“等边对等角”)③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。(简称底边上三线合一)9.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)③若一个三角形某一边上存在“三线合一”,则三角形是等腰三角形。10.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。④等腰三角形的面积等于(a为等腰三角形的边长)。11.等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等(两个角是60°)的三角形是等腰三角形。③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。12.直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。⑤直角三角形的勾股定理。13.勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是a,b,斜边14.勾股定理的逆定理：15.特殊三角形三边的比：16.两点间的距离公式：1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(2)若AB=4,求线段FC的长.2.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.图1图2AC上一动点(点P不与点A,D,C重合),过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q,连接DQ,设AP=x,△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S.(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.(1)如图1,点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE=DF,AE与CF的数量关系是,位置关系是(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF,EA与CF的延长线交于点M,则AE①(1)中的结论还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM,求∠EMD的度数；事事【性质应用】(1)如图②,D是△ABC的边BC上的一点，若BD=3,DC=4,则S△ABD:SADC=(2)如图③,在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S△(3)如图③,在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S(图①)(图③)6.在四边形ABCD中，O是边BC上的一点.若△OAB≌△OCD,则点O叫做该四边形的“等形点”.=5,BC=12,连接AC,求AC的长；(3)在四边形EFGH中，EH//FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”,求的值.7.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD=CE;(2)解决问题：如图2,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E说明理由.8.在△ABC中，AC=BC,点D在线段AB上，连接CD并延长至点E,使DE=CD,过点E作EF⊥AB,(1)如图1,若∠ACB=120°,请用等式表示AC与EF的数量关系：(2)如图2.若∠ACB=90°,完成以下问题：①当点D,点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,DF之②当点D,点F位于点A的同侧时，若DF=1,AD=3,请直接写出AC的长.图1A备用图(1)如图1,CB平分∠ACD,求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB的度数.图1图3(1)如图1,AD是等边△ABC的中线(2)如图2,在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP//BC,且AP=BC,过点P作直线I⊥BC,分别交AB、BC于点O、E,求四边形OECA的面积.(3)如图3,现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D,连接CD;②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线1于点P,连接AP、BP,得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.图2图311.如图，在△ABC中，∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B,C重合),连结AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连结DC,记∠BCD=a.(1)如图，当P与E重合时，求α的度数.(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β,12.综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB.求证∠ACD=∠ABC.独立思考：(1)请解答王老师提出的问题.实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图2,延长CA至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,H分别在BF、BC上，BG=CD,∠BGH=∠BCF.在图中找出与BH相等的线段，并证明.”问题解决：(3)数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题，请你解答.“如图3,在(2)的条件下，若∠BAC=90°,AB=4,AC=2,求BH的长.”(图1)13.如图1,在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,AB=4cm.点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动.过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC(或BC)相交于点E.设线段AD的长为a(cm),线段DE的长为h(cm).(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD,DE的长度进行测量，得出变量a(cm)01234变量h(cm)01210在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1;以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2.图2-1根据探究的结果，解答下列问题：②将图2-1,图2-2中描出的点顺次连接起来.③下列说法正确的是.(填“A”或“B”)A.变量h是以a为自变量的函数B.变量a是以h为自变量的函数(2)如图3,记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形(即阴影部分)的面积(cm²)为s.时，求a的值.图314.已知CD是△ABC的角平分线，点E,F分别在边AC,BC上，AD=m,BD=n,△ADE与△BDF的面积之和为S.(1)填空：当∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC时， ; ;的数量关系，并说明理由；时，请直接写出S的大小.1(1)如图1,在△ABC中，AB=AC.①BD,CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.②点D,E分别是边AC,AB的中点，连接BD,CE.求证：BD=CE.(从①②两题中选择一题加以证明)经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB=AC,D为边AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题：若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上，BD与CE还相等吗?请解决下面的问题：(2)如图2,在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并证明.探究：用数学的语言表达(3)如图3,在△ABC中，AB=AC=2,∠A=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,B重合),F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.专题07三角形的综合①②③如图②②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。②等边三角形三条边都存在“三线合一”②三个角都相等(两个角是60°)的三角形是等腰三角形。④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。是a,b,斜边是c,则c²=a²+b²。31.特殊三角形三边的比：32.两点间的距离公式：专题练习专题练习1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(2)若AB=4,求线段FC的长.【分析】(1)根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB,根据外角的性质可(2)根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长.【解答】(1)证明：∵∠ACB=90°,点M为边AB的中点，(2)解：∵AB=4,2.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.图2【分析】(1)观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的图2(2)根据正方形的面积=边长的平方列出代数式，把a=3代入求值即可.较长的直角边=2a+3,∴小正方形的边长=2a+3-a=a+3;(2)小正方形的面积=(a+3)²,当a=3时，面积=(3+3)²=36.DB,点P是边AC上一动点(点P不与点A,D,C重合),过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q,连接DQ,设AP=x,△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S.(1)求AC的长；(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.【分析】(1)根据勾股定理可求出BD,根据AD=BD进而求出AC,(2)分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ,由三角形面积之间的关系可得答案.【解答】解：(1)在Rt△BCD中，BC=4,CD=3,(2)当点P在点D的左侧时，即0<x<5,如图1,此时重叠部分的面积就是△PQD的PD=AD-AP=5-x,当点P在点D的右侧时，即5<x<8,如图2,答：S关于x的函数解析式为：当0<x<5是△ABC的角平分线.(1)如图1,点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,则AE与CF的数量关系是,位置关系是：(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.①(1)中的结论还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM,求∠EMD的度数；【分析】(1)证明△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,∠DAE=∠DCF,由直角三角形的性质证出∠EMC=90°,则可得出结论；(2)①同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,∠E=∠F,则可得出结论；②过点D作DG⊥AE于点G,DH⊥CF于点H,证明△DEG≌△DFH(AAS),由全等三角形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案；③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案.【解答】解：(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AD(2)①(1)中的结论还成立，理由：同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS),②过点D作DG⊥AE于点G,DH⊥CF于点H,例如：如图①,在△ABC和△A'B'C中，AD,A'D'分别是BC和BC边上的高线，且AD=A'D'、则△ABC和△A'B'C是等高三角形.【性质探究】则【性质应用】(2)如图③,在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,SABC=1,则SBEC=,S△CDE=;(3)如图③,在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:m,CD:(图②)(图②)(图③)【分析】(1)根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；(2)同(1)的方法即可求出答案；(3)同(1)的方法即可求出答案.【解答】解：(1)∵BD=3,DC=4,故答案为：3:4;6.在四边形ABCD中，O是边BC上的一点.若△OAB≌△OCD,则点O叫做该四边形的(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD求的值.【分析】(1)根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD,则∠OAB=∠C=90°,而O=∠OEF,再由平行线性质得OE=OH,从而推出OE=OH=OG,从而解决问题.【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，(2)作AH⊥BO于H,设OH=x,则BH=7-x,(3)如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”,7.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD(2)解决问题：如图2,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.即可得BD=CE:(2)根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE(SAS),即有AD=BE,∠ADC=∠BEC,从而可得∠BEC=∠ADC=135°,即知∠AEB=∠BEC-∠CED故AE=AD+DE=90°,由CD=CE,CM⊥DE,∠DCE=90°,可得DM故AE=AD+DE【解答】(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，(2)解：∠AEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∵△CDE是等腰直角三角形，8.在△ABC中，AC=BC,点D在线段AB上，连接CD并延长至点E,使DE=CD,过点E作EF⊥AB,交直线AB于点F.(2)如图2.若∠ACB=90°,完成以下问题：①当点D,点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,DF之间的数量关系，并说②当点D,点F位于点A的同侧时，若DF=1,AD=3,请直接写出AC的长.图1图2备用图【分析】(1)过点C作CG⊥AB于G,先证明△EDF≌△CDG,得到EF=CG,然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；(2)①过点C作CH⊥AB于H,与(1)同理，证明△EDF≌△CDH,然后证明△ACH②过点C作CG⊥AB于G,与(1)同理，得△EDF≌△CDG,然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.【解答】解：(1)过点C作CG⊥AB于G,如图1,(2)①过点C作CH⊥AB于H,如图2,与(1)同理，可证△EDF≌△CDH,∴△ACH是等腰直角三角形，②如图3,过点C作CG⊥AB于G,与(1)同理可证，△EDF≌△CDG,当点F在点A、D之间时，有与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，当点D在点A、F之间时，如图4:(1)如图1,CB平分∠ACD,求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB的度数.【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AC=DC,根据角平分线的定义得到∠DCB=(2)根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DEC,根据三角形内角和定理证明即可；(3)在AD上取点M,使AM=BC,连接BM,证明△AMB≌△CBD,得到BM=BD,∠ABM=∠CDB,根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案.【解答】(1)证明：∵△ABC≌△DEC,∴四边形ABDC为平行四边形，∴平行四边形ABDC为菱形；(2)解：∠ACE+∠EFC=180°,(3)解：如图3,在AD上取点M,使AM=BC,连接BM,则∠ADB=α+β,∴α+β=30°,即∠ADB=30°,图3(1)如图1,AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC,则∠APC的度数为(2)如图2,在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP//BC,且AP=BC,过点P作直线l⊥BC,分别交AB、BC于点O、E,求四边形OECA的面积.(3)如图3,现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D,连接CD;③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线1于点P,连接AP、BP,得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.图2图1图2【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=AC,∠BAC=60°,图3根据等腰三角形的三(2)连接PB,证明四边形PBCA为菱形，求出PB,解直角三角形求出BE、PE、OE,(3)过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F,根据线段垂直平分线的性质得到PA=PF,根据等边三角形的性质得到∠PAF=60°,进而求出∠BAP=15°,根据要求判断即可.【解答】解：(1)∵△ABC为等边三角形，故答案为：75°;∵AP//BC,AP=BC,∴四边形PBCA为平行四边形，∴平行四边形PBCA为菱形，(3)符合要求，理由如下：如图3,过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F,∴四边形FDCA为正方形，∴裁得的△ABP型部件符合要求.11.如图，在△ABC中，∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B,C重合),连结AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连结(1)如图，当P与E重合时，求α的度数.(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β,探究α与β的数量关系.【分析】(1)由∠B=40°,∠ACB=90°,得∠BAC=50°,根据AE平分∠BAC,P与E重合，即得∠ACD=∠ADC=65°,从而α=∠ACB-∠ACD=25°;(2)分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC=∠ACD=90°-α,根据∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD,即可得2α-β=50°;②当点P在线段CE上时，延长AD∠BAD可得90°-α=40°+α+β,2a+β=50°.【解答】解：(1)∵∠B=40°,∠ACB=90°,∵AE平分∠BAC,P与E重合，答：α的度数为25°;(2)①当点P在线段BE上时，如图：②如图2,当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F,如图：如图1,在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB.求证∠ACD=∠ABC.独立思考：(1)请解答王老师提出的问题.实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图2,延长CA至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,H分别在BF、BC上，BG=CD,∠BGH=∠BCF.