2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题28 相似三角形篇（原卷版+解析）

专题28相似三角形考点一：比例①基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若a:b=c:d,则bc=ad。⑤等比性质：若,则如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。②如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行③平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三AA1.(2023·镇江)《九章算术》中记载，战国时期的纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜衡杆OC=1:2,过C作CD//OB交1、3,则B点的纵坐标为()A.43.(2023·临沂)如图，在△ABC中，B4.(2023·丽水)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是()6.(2023·哈尔滨)如图，AB//CD,AC,BD第6题相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为()若那么B8.(2023·凉山州)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE//BC,,DE=6cm,A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm10.(2023·上海)如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=90°,D为AB第10题11.(2023·宜宾)如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF=1.相似图形的概念：把形状相同的图形称为相似图形。2.相似三角形的概念：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比。12.(2023·兰州)已知△ABC∽△DEF,13.(2023·贺州)如图，在△ABC中，DE//BC,DE=2,BB则则B15.(2023·绍兴)将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,16.(2023·连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是()A.54B.36C.27知识回顾知识回顾1.相似三角形的判定：①平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。三组对应边的比相等的两个三角形相似。③两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。有两组角(三组角)对应相等的两个三角形相似。微专题微专题第17题第18题18.(2023·徐州)如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为()则下列等式中不成立的是()第19题交AC于点E,连接BE、CD相交于点F,第20题相交于点G,过点E作EH//CD,交BF于点H,则线段GH的长度是()21.(2023·衢州)西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过点C,记人站立的位置为点B,量出BG长，即可算得物高EG.令BG=x(m),EG=y(m),若a=30cm,b=60cm,AB=1.6m,则y关于x的函数表达式为22.(2023·贵阳)如图，在△ABCACB的周长比是()第22题第23题第24题A.1:√2B.1:2C.1:323.(2023·包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为()A.1:4B.4:1C.1:224.(2023·海南)如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF:A.325.(2023·金华)如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A,B的对应点分别为A',B′,A'EB与BC相交于点G,B′A′的延长线过点C.若口第26题26.(2023·遂宁)如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是()A.①③B.①②③C.②③D.①②④27.(2023·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AC边上的一点，过点D作DF//AB,交BC于点F,作∠BAC的平分线交DF于点E,连接BE.若△ABE的面积是2,则的值第27题第28题28.(2023·阜新)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE,BD与CE相交于点F,若△DEF的面积是3,则△BCF的面积是29.(2023·娄底)如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ,点D为边BC上的动点(与B、C不重合),将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D'③当BD=CD时，△ADD’的面积取得最小值.其中正确的结论有(填结论对应的应号).30.(2023·东营)如图，已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,点M,N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°,连接MN、OM.以下四个结论正确的是()③当MN最小时A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④31.(2023·黑龙江)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F是CD上一点，OE⊥OFBC于点E,连接AE,BF交于点P,连接OP.则下列中正确的结论是()第31题第32题A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③32.(2023·绥化)如图，在矩形ABCD中，P段CP的延长线于点E,交边AD于点M,且使得∠ABE=∠CBP,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y,其中2<x≤5.则下列结论中，正确的个数为()(2)当AP=4时，△ABP∽△DPC;33.(2023·连云港)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，③GE=√6DF;④OC=2√2OF;⑤其中正确的是()NN第33题第34题34.(2023·鞍山)如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE,BD交于点H,DF⊥CE于点F,FM平分∠DFE,分别交AD,BD于点M,G,延长MF交BC于点N,连接BF,下列结论：①tan∠CDF=②SAEBH:SADHF=3:4;③MG:GF:FN=5:3:2;④△BEF∽△HCD.其中正确的是 .(填序号即可).35.(2023·德州)如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m,则石坝的高度为()A.2.7mB.3.6mC.2.8mD.2.1m36.(2023·十堰)如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA:OC=OB:OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为()A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm37.(2023·杭州)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上，AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB=m.第37题第38题38.(2023·温州)如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB,此时各叶片影子在点M右侧成线段CD,测得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2:3,则点O,M之间的距离等于米.转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米.考点四：位似如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。2.位似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。微专题微专题39.(2023·百色)已知△ABC与△A'BC是位似图形，位似比是1:3,则△ABC与△A'B'C的面积比是()A.1:3B.1:640.(2023·梧州)如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B’C′D′,已知若四边形ABCD的面积是2,则四边形A’B'C′D′的面积是()第40题第41题A.4B.6C.1641.(2023·威海)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为()3342.(2023·重庆)如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的周长之比是()第42题第43题A.1:2B.1:4C.1:343.(2023·重庆)如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是()A.4B.644.(2023·黔西南州)如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点0.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周若AB':AB=2:1,则四边形A'BCD的外接圆的周长为46.(2023·成都)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA:AD=2:3,则△ABC专题28相似三角形考点一：比例①基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若a:b=c:d,则bc若四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比②如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么③平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。微专题微专题1.(2023·镇江)《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆.衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码【分析】根据比例的性质解决此题.故答案为：1.2.过C作CD//OB交AB于点D,C、D两点纵坐标分别为1、3,则B点的纵坐标为()A.4【分析】根据CD//OB得出根据AC:OC=1:2,得出根据C、D两点纵坐标分别为1、3,得出OB=6,即可得出答案.【解答】解：∵CD//OB,∵C、D两点纵坐标分别为1、3,AA∴B点的纵坐标为6,故选：C.若AC=6,则EC=()o.【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可.4.(2023·丽水)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是()【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT//AE交BC于点T.证明AB=3AD,设AD=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=3b,求出a+b,可得结论.【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT//AE交BC于点T.∴FM=FN,设AD=DC=a,则AB=3a,6.(2023·哈尔滨)如图，AB//CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为()【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解.【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.DE=6cm,则BC的长为()A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm得到△ADE∽△ABC,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.9.(2023·鞍山)如图，AB//CD,AD,BC相交于点E,若AE:DE=1:2,AB=2.5,则CD的长为【分析】由平行线的性质求出∠B=∠C,∠A=∠D,其对应角相等得△EAB∽△EDC,再由相似三角形的性质求出线段CD即可.【解答】解：∵AB//CD,又∵AB=2.5,∴CD=5.故答案为：5.10.(2023·上海)如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=90°,D则【分析】利用平行线截线段成比例解答.【解答】解：∵D为AB中点，当DE//BC时，△ADE∽△ABC,则11.(2023·宜宾)如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF=【分析】由∠1=∠2,∠A=∠A,得出△AEF∽△ABC,再由相似三角形的性质即可得出EF的长度.【解答】解：∵∠1=∠2,∠A=∠A,4.相似图形的概念：把形状相同的图形称为相似图形。5.相似三角形的概念：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。6.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比。12.(2023·兰州)已知△ABC∽△DEF,若BC=2,则EF=()A.4B.6C.8BC=2,故选：A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解：∵DE//BC,则则B然后根据BC=6,EF=4,即可得到15.(2023·绍兴)将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是()【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意.【解答】解：如右图1所示，设DF=x,CE=y;故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB,设FC=m,FD=n,∴FD=10,故选项C不符合题意；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7;16.(2023·连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是()A.54B.36【分析】(1)方法一：设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算.【解答】解：方法一：设2对应的边是x,3对应的边是y,∴△DEF的周长是27;方式二：∵△ABC∽△DEF,考点三：相似三角形的判定：2.相似三角形的判定：①平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。②对应边判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似。③两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。有两组角(三组角)对应相等的两个三角形相似。微专题微专题17.(2023·邵阳)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可.故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或-(答案不唯一).18.(2023·徐州)如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为()【分析】证明△ABE∽△CDE,求得AE;CE,再根据三角形的面积关系求得结果，【解答】解：∵CD//AB,CC19.(2023·东营)如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE//BC交AC于点E,连接BE、CD相交于点F,则下列等式中不成立的是()【分析】由DE//BC根据平行线分线段成比例定理得由△EDF∽△BCF根据相似三角形的对应边成比例得可判断A正确；可判断B正确；,,【解答】解：∵DE//BC,可判断C错误；可判断D正确.故A正确；∵’20.(2023·攀枝花)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E、F分别为BC、CD的【分析】根据矩形的性质得出DC=AB=6,BC=AD=4,∠C=90°,求出求出FH=BH,根据勾股定理求出BF,求出根据三角形的中位线求出EH,根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG,根据相似三角形的性质得出再求出答案即可.∵∵,,21.(2023·衢州)西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过点C,记人站立的位置=60cm,AB=1.6m,则y关于x的函数表达式为()【分析】根据题意和图形，可以得到AF=BG=xm,EF=EG-FG,FG=ym,然后根据相似三角形的性质，可以得到y与x的函数关系式.【解答】解：由图2可得，AF=BG=xm,EF=EG-FG,FG=AB=1.6m,EG=ym,22.(2023·贵阳)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的周长比是()A.1:√2B.1:2C.1:3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题.23.(2023·包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为()A.1:4B.4:1C.1:2【分析】利用网格图，勾股定理求得AB,CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出∠BAF=∠HCD,进而得到∠BAC=∠DCA,则AB//CD,再利用相似三角形的判定与性质解答即可.【解答】解：如图所示，在Rt△ABF中，在Rt△CDH中，24.(2023·海南)如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线A.3【分析】过点D作DH⊥AB于点H,则四边形DHFE为平行四边形，可得HF=DE,DH=EF=√7;设BF=x,则CE=2x,可得AH=3x,利用勾股定理列出方程，解方程即可求解.【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H,如图，∵四边形ABCD是菱形，∴四边形DHFE为平行四边形，AD=AB=4x,在Rt△ADH中，解得：x=±1(负数不合题意，舍去),即菱形ABCD的边长是4,25.(2023·金华)如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A,B的对应点分别为A',B′,A′E与BC相交于点G,B′A′的延【分析】连接FG,CA',过点G作GT⊥AD于点T.设AB=x,AD=y.设BF=2k,由翻折的性质可知y.BF=FB′=2k,理求出GT,可得结论.【解答】解：连接FG,CA′,过点G作GT⊥AD于点T.设AB=x,AD=y.由翻折的性质可知AB=A'B,推出GF=CG=3,BC=8,在Rt△CBF,勾股得CB'=26.(2023·遂宁)如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是()【分析】由四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE(SAS),即得∠BAG=∠BCE,即可证明∠POC=90°,可判断①正确；取AC的中点K,可得AK=CK=OK=BK,即可得∠BOA=∠BCA,从而△OBP∽△CAP,判断②正确，由∠AOC=∠ADC=90°,可得A、O、C、D四点共圆，而AD=CD,故∠AOD=∠DOC=45°,判断④正确，不能证明OB平分∠CBG,即可得答案.【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，取AC的中点K,如图：27.(2023·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AC边上的一点，过点D作DF//AB,交BC于点F,作∠BAC的平分线交DF于点E,连接