《17.2 勾股定理的逆定理》课件（2课时）

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第1课时勾股定理的逆定理学习目标1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形;②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形就是直角三角形.

我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断是否为直角三角形呢？1.直角三角形有哪些性质？(1)有一个角是直角；(2)两锐角互余；(3)勾股定理；(4)直角三角形30°角的性质.问题引入

据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）相传，大禹治水时也用这类似的方法确定直角.合作探究活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用

如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.实验操作：

下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？

①

2.5，6，6.5；

②4，7.5，8.5．

动手画一画

（1）这二组数都满足吗？（2）它们都是直角三角形吗？

（3）提出你的猜想：

命题2如果三角形的三边长a、b、c满足

a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.命题2与上节命题1的题设和结论有何关系?由上面的几个例子你有什么发现？命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论

题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足

a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.

如果直角三角形的两直角边分别为a、b

，斜边为c满足a2+b2=c2.勾股定理的逆命题互逆命题△ABC≌△

△A′B′C′

？证明结论∠C是直角

△ABC是直角三角形

A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′=900△ABC是直角三角形.则ACaBbc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．ACBabca2+b2=c2直角三角形特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角.一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如:1.勾股定理及其逆定理,2.两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.答：任何命题都有逆命题，因为命题不管真假；但并不是所有的定理都有逆定理，因定理的逆命题不一定是真命题.(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．例1说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.

成立逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.

不成立一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．例2下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15;(2)a=13b=14c=15;(4)a:b:c=3:4:5;(3)a=1b=2c=;分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.

例2下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15;解：（1）因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠A是直角.(2)a=13b=14c=15;解：（2）因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(4)a:b:c=3:4:5;解：（4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为（3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.解：

例2下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(3)a=1b=2c=;奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等解题小结：勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.常见勾股数：勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？内容是：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.作用：把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据.课堂小结

经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？

题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第2课时勾股定理的逆定理的应用学习目标1.应用勾股定理的逆定理解决实际问题.2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．1.勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a,b,c满足

,那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c23.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25.则

=90º.∠B2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上的高为()B复习引入

引例判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直角三角形，其中a=,b=1,c=.小明的解法是：请问小明的解法对吗？如对，请说明其依据是什么？如不对，错在哪里？写出正确的解答过程.合作探究活动：探究用勾股定理逆定理应用举例答：不对，错在没有分清最长边.

正确解答如下：判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小边的平方和是否等于最长边的平方和.不能简单地看某两边的平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判.勾股定理逆定理使用“误区”勾股定理及其逆定理使用方法解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的.知识要点

例1已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ADBC341312连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.提示

例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ADBC341312连接AC.解:

例2如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，若该船只的速度为12.8海里/小时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定可得出△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求出PD的值，然后再利用勾股定理便可求出CD的长.东北PABCQD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形。设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD即6×8=10BD，解得BD=24/5在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/小时，∴需要6.4÷12.8=0.5小时=30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.解题反思：找出CD是为该船只进入我领海的最短路线，也就是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南北方向和东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC三边的数量关系可判定△ABC是直角三角形，于