函数中构造法的应用专题 高三数学二轮复习

专题六函数与导数玩转小题第25讲函数中构造法的应用

考点梳理考情回顾高考预测构造函数比

较大小2021新高考Ⅱ卷

第7题1.构造函数比较大小：重点考查构造函

数，利用函数的单调性比较大小.2.同构函数比较大小：重点根据数与式

的结构同构构造，利用函数的性质或放

缩等方法比较大小.根据数与式

的结构，同

构函数比较

大小2022新高考Ⅰ卷

第7题

A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.b＜a＜cD.c＜a＜bB2.（2020·全国甲卷）若2

x

－2

y

＜3－

x

－3－

y

，则（

A

）A.ln（y－x＋1）＞0B.ln（y－x＋1）＜0C.ln｜x－y｜＞0D.ln｜x－y｜＜03.（2020·全国乙卷）若2

a

＋log2

a

＝4

b

＋2log4

b

，则（

B

）A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2AB

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜bC

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞bB

（2）

（2022·佛山一模）设函数

f

（

x

）的导数是f'（

x

），且

f

（

x

）·f'

（

x

）＞

x

恒成立，则下列结论正确的是（

D

）A.f（1）＜f（－1）B.f（1）＞f（－1）C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜D[对点训练]1.（2023·苏州模拟）已知函数

f

（

x

）及其导数f'（

x

）的定义域均为

R，f'（

x

）在R上单调递增，f'（1＋

x

）为奇函数.若2

a

＝3，4

b

＝5，3

c

＝4，则下列结论正确的是（

C

）A.f（a）＜f（b）＜f（c）B.f（b）＜f（a）＜f（c）C.f（b）＜f（c）＜f（a）D.f（c）＜f（b）＜f（a）C123456789101112131415161718192021222324

A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜a＜cD.c＜b＜aA

A.c＞b＞aB.c＞a＞bC.a＞b＞cD.a＞c＞bB

（2）

（2022·常州模拟）已知函数

f

（

x

）为奇函数，且当

x

＞0时，f'

（

x

）sin

x

＋

f

（

x

）cos

x

＞0，则下列结论正确的是（

D

）A.f＜－f＜－fB.－f＜f＜－fC.－f＜－f＜fD.－f＜f＜－fD

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.a＜c＜bA

A.f＞fB.f＜fC.f＜fD.f＜fB

A.a＜c＜bB.b＜a＜cC.c＜b＜aD.c＜a＜bD

A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞aC

[对点训练]5.设

a

＝sin（cos2），

b

＝cos（cos2），

c

＝ln（cos1），则

a

，

b

，

c

的大小关系为（

D

）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜bD

热点2

同构函数问题[典例设计]例4（1）

若0＜

x

1＜

x

2＜1，则下列不等式正确的是（

C

）A.－＞lnx2－lnx1B.－＞lnx2－lnx1C.x2＞x1D.x2＜x1C（2）

（2023·南通一模）若过点

P

（

t

，0）可以作曲线

y

＝（1－

x

）e

x

的两条切线，切点分别为

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2），则

y

1

y

2的取值

范围是（

D

）A.（0，4e－3）B.（－∞，0）∪（0，4e－3）C.（－∞，4e－2）D.（－∞，0）∪（0，4e－2）D

3）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减.又

g

（－3）＝4e－2，

g

（1）＝0，且当

t

→－∞时，

g

（

t

）→0，当

t

→＋∞时，

g

（

t

）→－∞，

所以

g

（

t

）∈（－∞，0）∪（0，4e－2），即

y

1

y

2的取值范围是（－

∞，0）∪（0，4e－2）.故选D.

A.a＞b＋1B.a＜b＋1C.a＜b－1D.a＞b－1B

7.（多选）（2023·重庆一模）已知

m

，

n

是关于

x

的方程｜log

ax

｜＝

k

（

a

＞0，且

a

≠1）的两个根，且

m

＜

n

＜2

m

，则下列结论正确的是

（

ACD

）A.2＜m＋n＜B.logn（m＋1）－1＜mm＋1－mnC.nm＋1＜（m＋1）nD.（m＋4）n＋1＜（n＋1）m＋4ACD[典例设计]例5（1）

已知

a

＜0，不等式

xa

＋1·e

x

＋

a

ln

x

≥0对任意的实数

x

＞1恒

成立，则实数

a

的最小值为（

D

）A.－B.－2eC.－D.－eD

[对点训练]8.（多选）（2022·渭南模拟）设实数λ＞0，对任意的

x

＞1，不等式λeλ

x

≥ln

x

恒成立，则λ的取值可能是（

ACD

）A.eB.C.D.ACD

1

[典例设计]例6已知实数

a

，

b

满足

a

＝log23＋log86，6

a

＋8

a

＝10

b

，则下列判断

正确的是（

C

）A.a＞2＞bB.b＞2＞aC.a＞b＞2D.b＞a＞2C

[对点训练]10.已知

a

ln2＝2ln

a

，

b

ln3＝3ln

b

，

c

ln5＝5ln

c

，且

a

，

b

，

c

∈（0，

e），则

a

，

b

，

c

的大小关系为（

A

）A.c＜a＜bB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜aA总结提炼

（1）

同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.同构式的应用（1）

在方程中的应用：如果方程f（a）＝0和f（b）＝

0呈现同构特征，那么a，b可视为方程f（x）＝0的两个

根.（2）

在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构

特征，那么可将相同的结构构造为一个函数，进而可利

用函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.总结提炼

（1）

同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.同构法构造

函数的策略（1）

指对各一边，参数是关键.（2）

常用“母函数”：f（x）＝xex，f（x）＝ex±x；

寻找“亲戚函数”是关键.（3）

随机应变凑同构，凑常数、x、参数.（4）

复合函数（“亲戚函数”）比大小，利用单调性

求参数范围.（2）

同构思路可表示为：若

F

（

x

）≥0能等价变形为

f