三年级上奥数教材教学资料

第一讲、图形中的变化规律在这一讲内容中，我们主要向同学们介绍如何观察图形的变化规律。观察图形的变化，可以从图形的形状、位置、方向、颜色、数量、大小等方面入手，从中找出规律。例1顺序观察给出图形的变化，按照这种变化规律，在空格中填上应有的图形。分析与解本题目所给出的八个图，其形状都是箭。所以可以肯定空格处的图形也是箭；在方向上，每一行图从左至右都顺时针旋转90°为下一个图形的方向。依照这样的规律，第三行第三个图中的箭头应朝上；图形的数量变化反映在箭尾处，在同一行中，每旋转90°箭尾上的“羽毛”将减少一对，依照这个规律，空格中的箭，其尾部的“羽毛”没有了，成了光秃秃的一支箭。如图2。例2依照下面图3中所给图形的变化规律，在空格中填图。分析与解我们按花盆、花茎、花叶、花朵四部分逐步观察。（1）花盆花盆的形状每一行都是由三种形状组成，所以第三行中所缺的形状便是应填的图案中的花盆的形状；花盆的颜色在同一行中都是由黑、白、画有斜线的三类组成，图中已有白、画有斜线的二色，所以应填的花盆为黑色。见图4中的（1）。（2）花茎花茎的形状为鱼钩状。每一行中花茎的方向都是由两个向右的和一个向左的组成，第三行中已有一个向右的和一个向左的，所以应填的花茎的方向为向右的。见图4中的（2）。（3）花叶先观察花叶的数量，每一行中都是有两个有花叶、一个没有花叶，第三行中已有一个没有花叶、一个有花叶，所以所填图案的花叶应有两个。再观察花叶的方向，每一行中花叶的方向有两种，即向上和右平展，所以所填图案的花叶的方向为向右平展。见图4中的（3）。2（4）花朵前面两行中每一行的花朵分别为圆、正方形和心形三种形状，所以第三行中所填图案的花朵应为圆形。见图4中的（4）。经过对图形四部分的分析，空格中应填的图形应为图4中的（4）。例3按规律填图。分析与解先找出第一行中图形的变化规律，然后再依照此规律，在空白处填画所缺的图形。从图5的第一行可以看到：当左边的图形变化成右边的图形时，图形外部的圆变为图形的下半部，且圆变成半圆，白色变成画有斜线的。也就是说，在变化过程中，原来图形的外部有形状、位置、颜色这三个方面的变化，所以，第二行左边图形的外部的正方形应变为空白处所填图形的下半部，为半个正方形，且画有斜线。3再看第一行中原图形的内部，正方形的大小没有变化，位置发生了变化，变成斜放着的正方形；颜色也发生了变化，原来的正方形是画有斜线的，现在变成了白色。根据这些变化规律，第二行左边图形内部的正方形应变为空白处所填图形的上半部，为白色正着放的正方形。根据上面的分析，空白处所填图形如图6。例4按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？分析与解先看图中不变的部分。在整个变化过程中，图形中大小两个正方形没有变化，因此可以肯定空白处的图形一定是大小两个正方形，位置是一里一外。变化的部分可以分为两部分：（1）图形中的直线段部分，其变化规律是每次顺时针旋转90°\u65292X因此空白处图中的直线段应是图8的形状。4（2）图中的阴影部分，是在小正方形的对角线的左右两边交替出现的，因此空白处图中的阴影部分应在小正方形对角线的右边。根据上面的分析，可画出空白处的图形，如图9所示。例5在下面图形中找出一个与众不同的。分析与解很容易从图中看出，（1）、（3）、（4）的形状相同，只是位置和颜色不同。（1）

（3）而且三角形与圆的颜色互换了一下。1

（4）

5颜色没有发生变化。（2）和（5）是一组图形，图形的形状相同，位置和颜色发生了变化。2

（5）而且大小两个长方形的颜色互换了。根据上面的分析，（2）与（5）配对，（1）与（3）配对，因此与众不同的图形是图10中的（4），如图11。例6下图中，哪个图形与众不同？分析与解这五辆汽车的车窗一致，车轮一致，车底一致，差别在车头与车身上。从车头看，（1）与（3）相同，由两条直线段组成；（4）与（5）相同，由一条曲线段构成。只有（2）与众不同。从车身看，（1）与（2）相同，由两条直线段和一条曲线段构成；（4）与（5）相同，由三条直线段构成。只有（3）由一条直线段和一条曲线段构成。6从车头、车身这些特征比较出来的图形，理由不足以说服人，我们把车头、车身综合起来考虑，发现（1）由四条直线段和一条曲线段组成，而（2）、（3）、（4）、（5）由三条直线段和一条曲线段组成。因此，与众不同的汽车是图12中的（1）。练习一1．观察下图13中所给出图形的变化规律，然后在空白处填画上所缺的图形。2．观察图14中所给出图形的变化规律，然后在空白处填画上所缺的图形。3．在题目后面给出的四个图形中，哪一个图形填在空白处能符合图形的变化规律（图15）？74．在图16中，按变化规律填图。5．在下图中，找出与众不同的图形。二、分析数之间的规律在上一讲的内容里，我们向同学们介绍了如何观察与分析图形之间的变化规律，在这一讲中，主要介绍如何分析数之间的变化规律。例1观察分析下面各列数的变化规律，然后填空。（1）5，9，13，17，（）；（2）10，12，16，22，（）；（3）1，4，9，16，（）；（4）2，4，8，16，（）；8（5）4，5，7，11，19，（）。分析与解分析一列数的变化规律，一般是顺序对这列数中相邻的几个数进行相同的四则运算，根据计算结果进行比较，从中找到规律。（1）依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是4，所以应填21；（2）依次用后一个数减去相邻的前一个数，它们的差依次为：2，4，6，那么下一个差便应该是8，所以应填30；（3）由于1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，所以下一个数应为5×5，填25；（4）因为2＝2，4＝2×2，8＝2×2×2，16＝2×2×2×2，因此下一个数应为5个2相乘，填32。也可以这样分析：从第二个数开始，每个数都是相邻前面数的2倍，所以空白处填16×2＝32。（5）由于5－4＝1，7－5＝2，11－7＝4，19－11＝8，观察1，2，4，8这列数，一个数的2倍便是它后面的数，所以8后面应是16，而19＋16＝35，所以应填35。对于一列数的变化规律的分析，经常是对这列数进行某种运算，然后依次将运算结果写下来，组成新的一列数，转而考察新的这列数的变化规律，从而得出原来那列数的变化规律。例2观察下面各数列的变化规律，然后进行填空：（1）7，14，10，12，14，9，19，5，______，______；9（2）7，8，10，______，22，38；（3）5，14，41，122，______；（4）1，2，3，5，8，13，21，______；（5）1，2，2，4，8，32，______。分析与解（1）表面上看这列数规律不明显，那是因为我们的眼光只局限于“相邻的两个数”之间，仅对这两个数依次进行计算、比较结果。现在我们隔着看，将这列数分成两列数，即7，10，14，19，______；14，12，9，5______。第一列数7，10，14，19，它们相邻两数之差依次为3，4，5，所以下一个数应为：19＋6＝25；而第二列数14，12，9，5，相邻两个数的差（大数减小数）依次为2，3，4，所以第二列数中下一个数应为：5－5＝0。因此，两个空格中的数依次为25、0；（2）“空项”出现在一列数的中间比出现在这列数的最后分析规律要困难一些，因为这列数在“空项”处断开，则我们分析这列数的变化规律时，往往也在此断开，不易往下进行。解这类题的步骤一般是将“空项”两边的几个数的规律先各自找出来，然后再在“空项”处试验填数，看看此数填进去后，能否使前后两边数的规律统一起来。10在这列数中，前面三个数中相邻的两数之差为1，2，后面的两数之差为16，如果插进去一个数，将会又产生两个差，即1，2，______，______，16，不难看出这两个空分别填4，8，就使差所构成的这列数1，2，4，8，16规律统一，而10＋4＝14，14＋8＝22，所以应填14；（3）观察相邻两数，发现5×3－1＝14，14×3－1＝41，41×3－1＝122，也就是说前一个数的3倍比后一个数多1。所以应填365；（4）前面两个数之和等于相邻后面的数，如1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21，所以应填34；（5）前面两个数之积等于相邻后面的数，如1×2＝2，2×2＝4，2×4＝8，4×8＝32，所以应填256。例3观察下面各题中数的变化规律，然后填出各题中所缺的数：（1）26 7 11 444（）1 435

5

6 4

11（2）2 6 1 3310 2 54（）3 11 114 6分析与解（1）填这种题中所缺的数，要注意联系行与行、列与列之间数的规律。观察这三行数，发现第三行的2倍正好等于第一行与第二行的和。因此，空格处填5×2－7＝3；（2）观察这四列数之间数的规律，发现第一列，第三列，第四列数的和等于第二列。因此，空格处应填4＋3＋1＝8。例4在下列各图中填出所缺的数：（1）如图1：（2）如图2：（3）如图3：12（4）如图4：分析与解（1）作这种题一般先看一个图形中各数之间的关系，然后再看其他图形中的数是否也有这个关系，最后使几个图形中的关系统一，便找到了规律。注意到圆中上面两个数的和等于下面两个数的积，因此第一个空白处应填（13＋8）÷3＝7，第二个空白处应填7×2－5＝9；（2）用外边三个三角形内的数去凑中心三角形内的数，实际上，外边三个三角形内的数的积等于中心三角形内的数的2倍，因此，空白处应填4×3×6÷2＝36；（3）注意图中“拖拉机”的后轮（圆）与“拖拉机”之间有空隙，所以用其他三个数进行运算，设法使结果等于“后轮”中的数。规律是：两个三角形中的数之差（大数减小数）与正方形中的数相乘，结果应等于圆内的数。所以空白处应填（5－4）×3＝3；（4）设法用三个小圆内的数进行运算，使结果等于大圆的数。规律是：三个小圆内数的和等于大圆内数的一半。所以空白处应填（5＋6＋9）×2＝40。13通过对上面四个例题的分析，可以总结出下面几点：1．对一列数变化规律的分析，一般的思考步骤是：顺序对这列数中相邻的几个数进行同样的某种四则运算，将它们的运算结果依次写下来组成新的一列数（通常这列数的变化规律是比较明显的），通过对这列数变化规律的分析，从而了解原来那列数的变化规律。2．有时要将一列数分成两列数，分别考察它们各自的变化规律。3．对于几列数组成一组数变化规律的分析，需要同学们灵活地思考，规律没有一成不变的，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就换另一种方法接着分析。4．对于找到的规律，那么它应该适合这列数中的所有数，不能只适用于前面几个数，而不适合于这列数中的其他数。5．对于那些分布于某些图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的入手点。练习二1．观察下面各列数的变化规律，然后进行填空：（1）64，48，40，36，34，______；（2）4，7，9，11，14，15，19，______；（3）11，12，15，______，27，36；14（4）15，20，12，25，9，30，______，35，3，______；（5）3，8，15，24，35，______。2．下面各列数中都有一个与众不同的数，请找出来：（1）3，5，7，11，15，19，23；（2）6，12，3，27，21，10，15，30；（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24；（4）2，3，5，8，12，16，23，30；（5）2，4，8，12，16，32。3．观察下面各题中数的变化规律，然后填出各题中所缺的数：（1）643111421（2）746269（）49184865__

154．填出下面各题中所缺的数：（1）如图5：（2）如图6：（3）如图7：（4）如图8：

16（5）如图9：

三、填空格（一）这星期的《数学园地》轮到小华出题了，她刚把算式（见下式，其中的空格表示需要填的数字）写出来，爱动脑筋的小明就跑了过来，想了想笑着说：“我能猜出空格中的数字表示什么！”这时，教数学的李老师走了过来，同学们都向李老师围拢过来，请李老师给他们讲一讲这种有空格的题应该怎样填。李老师说：“同学们先坐下，这种题叫做填空格，填空格是有一定方法的：第一步：审题和解其他数学题一样，填空格也要审题，即通过对题目的分析，找出算式中数量之间的关系与特征，它们是确定各个空格应填什么数字的主要依据。第二步：选择突破口在审题的基础上，认真思考找出算式中容易填出的或关键性的空格，作为解题的突破口。这一步骤是填空格的关键。第三步：确定各空格所填数字从突破口开始，依据算式的已知条件，逐个填出各个空格中的数字。17有了以上三个步骤，我们才能正确迅速地填出算式。”同学们，你们知道空格中的数字是什么吗？现在我们一起来分析，把空格中的数字填出来。例1在右面算式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解（1）审题这是一个加法算式，两个加数均是三位数，两个加数与和的十位数字均已给出。（2）选择解题突破口由算式中十位上的三个数字8、5、4可以分析出，个位向十位进了1，十位向百位进了1。根据这个关系，我们可以先从第二个加数的个位空格开始填。（3）确定各个空格中应填的数字①填个位因为个位上数字相加的和必须向十位上进1，而1与9相加才能向十位进1，所以第二个加数的个位只能填9，而和的个位应填0。此时的算式为：②填千位因为和是一个四位数，所以百位上的数字相加之后必须向千位进1，因此这个算式中和的千位数字应为1。18③填百位百位上的两个数字之和，加上由十位进上的1，和应该是19。所以百位上的两个空格只能都填9。这样，所有的空格就都填出来了。此题的答案是：例2在右面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解我们仍按前面所说的三个步骤进行分析。（1）审题这是一个两位数加三位数，和为四位数的加法算式。在算式中，个位上已经给出了两个数字，并且个位上的数字相加后向十位进了1，百位上数字之和又向千位进了1。（2）选择解题突破口由上面的分析，显然选择个位上的空格作为突破口。（3）确定各空格中的数字①填个位因为＋3＝12，所以个位上的空格应填9。19②填千位千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此只能是1。③填百位第二个加数的百位上的数字最大是9，而和是四位数，因此算式中十位上数字之和必须向百位进1，所以第二个加数的百位上填9，和的百位上填0。④填十位由于算式中个位上数字之和向十位进了1，十位上的数字相加后又向百位进1，所以第二个加数的十位上的空格，可以填8或9。此题有两个解：例3在右面减法算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解（1）审题这是道三位数减三位数差为三位数的减法题。在算式中，个位与十位上分别给出了两个数字，而且个位要向十位借1，十位又要向百位借1。（2）选择解题突破口根据前面的分析，选择被减数的个位作为解题的突破口，然后按照从低位向高位的顺序依次填写。（3）确定各空格中的数字20①填个位在算式中可以看到，减数的个位数字是7，差的个位数字是4，我们知道，在减法中有下面的关系：差＋减数＝被减数而4＋7＝11，所以被减数的个位应填1，并且向被减数的十位上借了1，这样算式就变成了下面的形式：②填十位算式中被减数十位上的数字被个位借去1，因此剩5，而差的十位数字为9，所以被减数的十位不够减，向百位借了1，即15－□＝9，可以看出空格中应填6。这样算式变成了下面的形式：③填百位由上面的算式可以看到，因差的百位不能为0，被减数的百位剩4，所以减数的百位必须小于4，即可以是1、2、3，这样差的百位数字也就确定了。此题有以下三个解：例4在右面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。21分析与解（1）审题这是一道加减法混合运算的填空格题，我们把加法、减法分开考虑，这样可以使问题简单化。（2）选择解题突破口在加法部分，因为十位上有两个数字已经给出，所以十位数字就成为我们解题的突破口。（3）确定各空格中的数字加法部分（如右式）：①填十位由右面算式可以看出，第二个加数与和的十位上均是9，所以个位上的数字之和一定向十位进了1，十位上的数字之和也向百位进了1。所以算式中十位上应是□＋9＋1＝19，故第一个加数的十位填9。②填个位由于个位上1＋□的和向十位进1，所以□中只能填9，则和的个位就为0。③填百位和千位由于第一个加数是两位数，第二个加数是三位数，而和是四位数，所以百位上数字相加后必须向千位进1，这样第二个加数的百位应填9，和的千位应填1，和的百位应填0。这样加法部分就变成：22减法部分（如下式）：①填个位由于被减数的个位是0，差的个位是5，而10-5＝5，所以减数的个位应该填5。这样减法部分的算式变成：②填十位、百位由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位必须填9，同时十位相减时必须向百位借1，这样减数与差的十位也只能是9。这样减法部分的算式变为：此题的答案是：23练习三1．在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立：2．在下面减法算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立：3．在下列算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立：

24四、填空格（二）在上一讲中，我们向大家介绍了加法与减法竖式中有若干个空格，可以根据算式中几个已知数字之间的关系与特征，对算式进行有步骤的分析，从而逐步填出空格的方法。这种填空格的方法，对于有空格的乘法与除法算式，也可以进行类似的分析与填写。例1在右面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解（1）审题这是一个乘法算式，被乘数是三位数，个位上数字是9，乘数是一位数，积是一个四位数，积的千位数字为3，积的百位数字为0，积的个位数字为1。（2）选择解题突破口因为乘数是一位数，当乘数知道以后，根据乘法法则，竖式中其他的空格就可以依次填出，因此乘数是关键，把它作为解题的突破口。（3）确定各空格中的数字由于乘积的个位数字为1，所以可以确定出乘数为9。又因为积的前两位为30，所以被乘数的最高位（即百位）为3，于是被乘数的十位与乘数9相乘后应向百位进3，这样被乘数的十位应填3。得到此题的解为：25例2在右面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解（1）审题这是一个乘法算式，被乘数是三位数，百位上数字是3，个位上数字是7；乘数是一位数，积是一个四位数，积的千位数字为2，积的十位数字为9。（2）选择解题突破口因为乘数是一位数，当乘数知道以后，根据乘法法则，竖式中其他的空格就可以依次填出，因此乘数是关键，把它作为解题的突破口。（3）确定各空格中的数字由于乘积的个位也是空格，所以不能从乘积的个位与被乘数的个位来分析乘数是什么数，从算式中可以看到被乘数与乘积的最高位都是已知数，因此我们从乘积的最高位进行分析。乘积的最高两位是2□，被乘数的最高位是3，于是：3×□＋□＝2□（被乘数百位）（乘数）（进位）（乘积的最高两位）这样我们可以确定出乘数的取值范围，即乘数可能是6，7，8，9，下面我们进行试验，逐个分析。①如果乘数是6，根据乘法法则，得出积的个位应填2，并向十位进4；这样乘数6与被乘数的十位相乘的积应为5（加上进上的4后为9），这样被乘数的十位就无数可填，这说明乘数不可能为6。26②如果乘数是7，这样乘积的个位应填9，并向十位进4，为使乘积的十位为9，被乘数的十位数字与乘数7相乘后积的个位应为5，这样被乘数的十位应填5。接着分析乘积的百位，乘积的百位应填4，这样得到一个解，算式变成：③如果乘数填8，乘积的个位应填6，并向十位进5。为使乘积的十位为9，被乘数的十位能填3或8。当被乘数的十位填3时，积的百位填6，得到一个解，算式变成：当被乘数的十位填8时，算式变成下面的形式：因为积的千位数字为3，所以上面的算式不是本题的解。④如果乘数是9，算式变成下面的形式：因为乘积的千位数字为3，所以上面的算式不是本题的解。27此题有下面两个解：通过前面的例题可以看出，填乘法算式与填加法算式的分析方法相同。只是在确定各空格中的数字时，有时需要根据已知条件分析出关键数字的范围，然后采用试验法一一讨论。在估计要填数字的范围时，直接影响试验的次数。如果范围过大，会增加试验的次数；如果范围过小，有可能漏掉符合题意的解。同学们在解题过程中，对已给出数字的特征及相互之间的关系，应进行细致的分析。例3在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解（1）审题这是一个除数是一位数并且有余数的除法算式。（2）选择解题突破口因为除数是一位数，当除数知道后，竖式中其他空格可依次填出，因此，除数是关键，把它作为解题突破口。（3）确定各空格中的数字由于余数为7，根据余数要比除数小这个原则，可以确定除数为8或9，现在逐一试验。①如果除数为8，见右式：28观察算式可知：商的个位与除数8相乘应得3□，所以商的个位应填4。为了使余数得7，则算式中第二行的两空格应依次填3与9，这样被除数的个位也应填9（见下式）。继续观察算式，被除数的百位上为4，被除数的前两位减去第一行后又余3，可以求出商的十位数字为5，这样其他空格也就填出来了。见下面的算式：29②如果除数填9，那么商的个位应填4，算式中第二行空格依次填4与3，被除数的个位也填3。见下面算式：因被除数的百位为4，除数是9，所以商的十位数字为4或5。若商的十位填4，则第一行空格内应依次填3与6，被除数十位填0，符合要求。若商的十位数字为5，则第一行空格内应依次填4与5，被除数十位填9，也符合要求。此题有三个解：从这个例题中可以看到，当除数和商确定之后，被除数与算式中其他空格都可确定，因此，在除法算式中，一般选择除数与商作为解题的突破口。30例4在下面算式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解（1）审题这是一个四位数除以一个一位数，商是三位数，而且商的十位数字为7。（2）选择解题突破口由于商的十位数字已经给出，而且商的十位数字与除数相乘的积为2□，由此可确定出除数的取值范围为3、4。（3）确定空格中的数字①若除数为3：因为算式中余数为0，所以除数3与商的个位相乘的积不可能等于□，因此，除数不可能为3。②若除数为4：为了叙述方便，我们先在算式中的一些空格中填入字母，并将可以直接确定的空格填上数，如下式：31字依次为3与0。根据除数×\u21830X=被除数，可以确定出被除数为：575×4=2300或675×4=2700于是得到此题的两个解为：练习四

算式中第一行两个数可相应填出。1.在下面乘法算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立：2.在下面除法算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立：

32五、数字谜（一）数字谜与我们前面学习的填竖式一样，也是一种锻炼我们思维的体操，它对于我们学习数学、提高分析问题的能力是非常有益的。数字谜的分析思考方法和填竖式的分析思考方法基本相同，即审题、选择解题突破口、确定各汉字或字母所代表的数字这三个步骤。在第三个步骤中也需要根据已知数字的关系与特征，确定要填数字的大致范围，然后进行适当的试验，确定各汉字或字母所代表的数字。例1下边加法算式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时，算式成立？33分析与解在这个加法算式中，加数个位上的数字均相同，并且它们和的个位为0，所以选择个位作为解题的突破口。（1）填个位在算式的个位上克+克+克+克的个位为0，所以克的取值为0或5。如果克=0，那么在算式的十位上匹+匹+匹的个位也是0，这样匹只能取0，而不同的汉字应代表不同的数字，所以克=5。此时算式中和的个位向十位进2（见下式）。（2）填十位在上面算式的十位上，匹+匹+匹的个位应是8，而只有6＋6＋6=18，所以匹=6，并且十位上数字之和向百位进2。（3）填百位在算式的百位上，林+林的个位应为8，而4＋4=8，9＋9＋=18，所以林取4或9。如果林=4，百位相加后向千位进1，这样奥=1。如果林=9，百位相加后向千位进2，这样奥=0，但是一个数的首位数字不能为0，于是林≠9。因此，得到本题的一个解为：34例2下面算式中的每个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时算式成立？分析与解这是一个三位数减三位数差为两位数的减法竖式。十位数字不够减，需向百位借1，这样好比学大1，这就成为解题的突破口。（1）如果个位不向十位借1，那么由十位可求出生的值为9，而个位上9-5=4，5与4相邻，且5比4大1。得到一个解为：（2）如果个位向十位借1，那么由十位可求出生=8，而18不能拆成两个相邻自然数的和，因此，这种情况不可能。于是，此题只有唯一解：例3下面算式中的每一个字母代表一个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。当它们各代表什么数字时，算式成立？35分析与解在这个加法算式中，个位与十位上都有相同的字母，所以我们选择个位与十位作为解题的突破口。（1）个位与十位因为在算式的个位上Y+N＋N所得的和的个位是Y，这说明N为0或5。如果N=5，则个位上Y＋N＋N的和必向十位进1，这样十位上T＋E＋E＋1的和的个位就不可能为T，因为E＋E+1的和不可能为10，也就是E＋E的和不可能为9。因此N为0。十位上T＋E＋E的和的个位为T，E为0或5，由于N已经为0，所以E取5。此时，算式变成下面的形式：（2）万位由算式可以看出，千位肯定向万位进了1，所以F与S是两个相邻的数，并且S比F大1。（3）千位因为百位肯定向千位进了位，而百位上是三个数字相加，所以百位向千位进1或2，而千位又要向万位进1，所以千位上的字母O可能为8或9。若字母O为8，为了保证千位向万位进1，则百位必须向千位进2，这样I=0与N=0重复了。所以O≠8，O=9。这时百位上也不能向千位进1，否则千位上9＋1=10，I取0与N=0矛盾，所以百位向千位进2。9＋2=11，I取1。这时算式变为：36（4）百位因为百位必须向千位进2，并且百位上R＋T＋T＋1，其中R最大取8（因为O=9），所以T≥6，也就是说T可能取6，7，8。下面进行试验：①若T=6，算式变为：还剩下2，3，4，7，8这五个数字，而百位上R＋6＋6＋1=20＋X，不论R取上面五个数字中的哪一个，所得到的X的值都不在另外四个数字中，所以T≠6。②若T=7，此时算式为：这时还剩下2，3，4，6，8这五个数字，而百位上R＋7＋7＋1=20＋X，R=8，X=3满足此式，这时还剩下2，4，6这三个数字。这样S与F就无法可取（因为2，4，6没有两个相邻），所以T≠7。③若T=8，此时算式为：37这时还剩下2，3，4，6，7这五个数字，百位上R＋8＋8＋1=20＋X，当R=6时，X=3，当R=7时，X=4。若R=6，X=3，这时还剩下2，4，7，没有相邻的数，所以求不出F与S的值，因此R≠6，X≠3，则R=7，X=4。这时还剩下2，3，6三个数字，由于F与S相邻，且S比F大1，所以F=2，S=3，因而Y=6。此题的解为：例4下面算式中的每个字母都代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。当它们各代表什么数字时，算式成立？分析与解这是一个五位数减四位数差为四位数的减法竖式，所以被减数的万位数字是关键。（1）填万位因被减数的万位是C，而减数与差都没有万位数字，所以C=1。于是算式变成：38（2）填个位由算式可以看出，个位上只有减数的个位D没有确定，其余都是1，而1-0=1，所以D=0。这样算式变成：（3）填千位从算式中可以看出，百位肯定没有向千位借1，否则9-A不可能等于A。这样10-A=A，即10=A＋A，所以A=5。这时算式变为：（4）填十位在算式十位上B-1=5，所以B=6。于是百位上E-6=1，所以E=7。此题的解为：同学们通过上面例题的分析不难看出：找到合适的解题突破口是解数字谜题的关键。在确定各数位上的数字时，我们对汉字或字母所表示的数进行了估算，如例3中对T的估算为：T可能取6，7，8。通过估算可以缩小汉字或字母的取值范围，减少试验的次数，提高解题的速度。然后对汉字或字母可能取值的每种情况，逐一枚举试验，淘汰不是解答的值，最后得到所要的解答。39在解许多数字谜的过程中，都需要对汉字或字母进行类似的分析，分析的是否合理、全面，这需要同学们在不断的解题过程中逐步积累经验，提高分析判断问题的能力。这也正是向同学们介绍数字谜题的一个目的。练习五1.下面各题中的字母都代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。问它们各代表什么数字时，算式成立？2.下面各题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。问它们各代表什么数字时，算式成立？40六、数字谜（二）在上一讲里，我们学习了加法和减法算式的数字谜，这一讲我们来学习乘法和除法算式的数字谜。这些题目的分析思考方法与加减法算式的分析思考方法相同，请同学们看下面的例子。例1下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各代表什么数字时，算式成立？分析与解通过观察，我们能很快发现：乘积与被乘数同为六位数，各数位上数字的顺序也有一定的特征，请同学们自己观察。正因为乘积与被乘数的位数相同，那么被乘数的最高位上的数春与乘数夏的范围就被限制了，这正是我们解答此题的突破口。夏的范围由算式中显然可以看出：夏≠1。同时还可以看出：夏≠7，8，9。这是因为如果夏取7，8，9中任一值，那么春就取1，乘积将超过六位数。春的范围因为夏的范围是2，3，4，5，6，要保证乘积是六位数，春可以取1，2，3，4。因为夏在算式中出现三次，所以我们对夏的取值进行试验。41（1）夏=2，此时算式为：因为乘数是2，所以算式中各位上运算结果的进位不超过1，这样被乘数百位上的冬只能取1或6。①若冬=1，因为乘积的个位是冬，所以季无值可取，因此冬≠1；②若冬=6，此时从算式的个位看，季只能取3或8，而季作为乘积万位上的数，取3和8都是不可能的，所以冬≠6。因此，夏≠2。（2）夏=3，此时算式变为：此时，春只能取1，2。①若春=1，则四=4，季=0，冬=0，出现重复，所以春≠1。②若春=2，则乘积中的季只能为9，0，1。季取9，则乘积的个位冬=7，被乘数千位上的秋只能取0，乘积的首位数字四=6，得到一个解：42季取0，则乘积个位上的冬=0，出现重复，所以季≠0；季取1，则乘积中个位上的冬=3，与夏=3重复，所以季≠1。（3）夏=4，此时算式为：此时春只能取1，2。①若春=1，则四=5，冬=8，季=7，秋=2，得到另一个解：②若春=2，则四=9，这样十位要向百位进3，那么被乘数百位上的冬与4相乘的积的个位就为1，则冬无值可取，所以春≠2。（4）若夏=5，此时算式为：此时，春只能取1，乘积个位上的冬必为0，那么百位上冬与5相乘的积再加上十位的进位不可能等于5，因此夏≠5。43（5）若夏=6，此时算式为：此时，春只能为1，则四=9，这样被乘数的十位9与6相乘后向百位进5，被乘数的百位冬与6相乘的积的个位就应为1，因此冬无值可取，故夏≠6。此题有两个解：例2下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们各代表什么数时，算式成立？盼盼盼盼盼盼÷\u24402X=香港已经回归分析与解这是一个除法算式，我们可以利用乘法与除法是互为逆运算的关系，将原来的式子改写成：香港已经回归×\u24402X=盼盼盼盼盼盼因为横式中数字之间的关系不如竖式明显，所以还可以进一步改写成：44这样就变成我们比较熟悉的形式了。在这个算式中，因为乘积的六位数字均相同，并且算式中被乘数的个位与乘数是相同的两个字母，所以我们由此进行分析。因为归×归的个位不能与归相同，所以归只能取2，3，4，7，8，9。下面进行试验：（1）归=2，则盼=4，这时算式为：因为乘积与乘数已定，所以被乘数可以通过积÷\u20056X数得到：444444÷2=222222，则香=港=已=经=回=2，出现重复，所以归≠2。（2）归=3，则盼=9，乘积为999999，因为999999÷3=333333，所以有香=港=已=经=回=3，出现重复，所以归≠3。（3）归=4，则盼=6，乘积为666666，因为666666÷4有余数，所以归≠4。（4）归=7，则盼=9，乘积为999999，因为999999÷7=142857，所以香=1，港=4，已=2，经=8，回=5，得到一个解：999999÷7=142857（5）归=8，则盼=4，乘积为444444，因为444444÷8有余数，所以归≠8。（6）归=9，则盼=1，乘积为111111，这显然是不可能的，因此归≠9。45此题的解为：

999999÷7=142857说明：从例2的分析与解答过程中我们可以看到，灵活地利用乘法与除法是互为逆运算的关系，有时可以很巧妙地解题。例3下面算式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。当算式中各字母分别代表什么数字时，算式成立？分析与解这是一个被乘数是四位数，乘数是9，积也是一个四位数的乘法竖式；而且乘积各位上的数字的排列顺序，恰恰与被乘数各位上的数字的排列顺序相反。因为乘数是9，而乘积与被乘数同是四位数，所以被乘数的千位数字A便成为解题的突破口。（1）确定A的值由上面的分析可知，A=1，这时算式变成下面的形式：（2）确定D的值在竖式的个位上，已有两个数字9与1，只剩下一个字母D，而D×9的个位应是1，只有9×9=81，所以D=9。这时算式变成下面的形式：46（3）确定B的取值因为算式中乘积的百位不能向千位进位，否则乘积就为五位数，所以B＜2，而A=1，所以B=0。此时算式变为：（4）确定C的取值由算式可以看到，C×9的个位应取2，而只有8×9=72，所以C=8。此题的解为：即当A=1，B=0，C=8，D=9时，算式成立。说明：在解有关数字谜的问题时，应该注意以下几点：1.要注意算式中各汉字、字母或其他符号都只能取0至9中的某一个数字。2.要认真分析已给算式的特征以及题目给出的各种数量关系，并能根据这些特征、数量关系去正确选择解决问题的突破口。3.突破口的选择，往往是从确定的一个数（比如加数、和、乘数、被乘数、积、某一部分积、商或某一个余数）的个位、首位或其他数位上的数字入手。474.试验法在数字谜题的分析解答过程中是必不可少的一种方法。在试验过程中，应先进行估算和分析，以缩小所求数字的取值范围，从而减少试验次数，加快解题的速度，并在其中积累一些经验，逐步养成良好的分析思考的习惯。练习六1.下面各题中的每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，以下各算式都成立？（3）春夏秋冬四季÷\u26149X=四季春夏秋冬2.下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么；奥+林+匹+克+学+校+招+生=____。3.下面算式中的每一个字母代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。问它们各代表什么数字时，算式成立？484.一个六位数ABCDEF，各位上的数字均不相等，它乘以3、乘以5分别是：这个六位数是____。七、三阶幻方在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。49一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。这里我们主要学习三阶幻方。例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。分析与解先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷350=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。因为a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，所以45+3×e=60所以3×e=60-45e=5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。（4）四个角上的数a，c，g，i的特点先从a开始讨论：a是奇数还是偶数。51如果a为奇数，因为a＋i=10，所以i也是奇数。因为a＋d＋g=15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况：①当d、g都是奇数时，因为d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中e，i都是奇数，所以f，h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a，d，e，f，g，h，i这七个奇数，而1～9这九个数中只有五个奇数，矛盾。说明d，g不可能为奇数。②当d，g为偶数时，因为d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因为i为奇数，所以f，h，c只能是偶数，这样就有c，d，f，g，h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d，g都是偶数也不行。所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a+i=10知，i也是偶数。用同样的方法可以得到c，g也只能是偶数。也就是说，图1中四个角上的数都应填偶数。（5）试验填数排出幻方因为e=5，a，c，g，i是偶数，所以a的范围有2，4，6，8四个数，根据幻和等于15进行试验：当a=2时，i=8，c可填4，6。若c=4，则有g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若c=6，则有g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，这样填出两个三阶幻方。当a=4，6，8时，请同学们自己用上面的方法进行试验填数，作为练习。用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个，如图3所示。52说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而得到其余七个图形。因此，我们把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。例2如下图的3×3的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。现在另有一个3×3的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。分析与解所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而9＋11=20，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。53例3请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。分析与解根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为24÷3=8。那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。1+15=162+14=163+13=164+12=165+11=166+10=167+9=16按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24（如图7）。例4在图8中的A，B，C，D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。分析与解从第一行和对角线可得，A＋7＋D=A＋10＋67＋D=16D=9这样幻和=9＋15＋6=30从第一行中可求出54A=30-（7＋9）=14；从第二行中可求出B=30-（10＋15）=5；从第三行中可求出C=30-（11+6）=13。例5在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。分析与解为了叙述方便，我们将其余格内的数用字母表示，如图10。因为幻和为36，所以可求出中心数为：36÷3=12，即C=12。从第二行中可求出D=36-（6＋12）＝18；从对角线中可求出E＝36-（5＋12）=19；从第一列中可求出A=36-（6＋19）=11；从第一行中可求出B=36-（11＋5）=20；从第二列中可求出F=36-（20+12）＝4；55从第三列中可求出G=36-（5＋18）=13。得到的三阶幻方如图11。从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。练习七1.用1～9这九个数字补全图12中的幻方，并求出幻和。2.用3～11这九个数补全图13中的幻方，并求出幻和。3.在图14的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于30。56每一竖行、两条对角线中三个数的和都相等。

的圆内，使每一横行、5.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上三个数的和都等于45。6.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。八、逻辑推理在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。57所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。例1在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？分析与解题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。注意：像上面的例题，从众多的条件中抽取关键的条件，往往是进行分析和推理的突破口。例2某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄。58小刘说：“我22岁，比小陈小2岁，比小李大1岁。”小陈说：“我不是年龄最小的，小李和我差3岁，小李是25岁。”小李说：“我比小刘年岁小，小刘23岁，小陈比小刘大3岁。”这三位青年工人在他们每人说的三句话中，都有一句是错的。请你帮助赵主任分析出他们三人各是多少岁？分析与解本题类似于例1，首先应找到解决问题的突破口。但本题又不完全同于例1，并不知道哪句话真，哪句话假。所以解决本题的首要目标是先确定一句话是真还是假。经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的。一句话是小刘说的第一句话：“我22岁”，另一句话是小李说的第二句话：“小刘23岁”。这两句话不能都真，必有一句是假的。为了确定这两句话的真假性。可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口。先假设小刘说的第一句话“我22岁”为真，那么小李说的第二句话“小刘23岁”就为假，因此小李的另外两句话就应该是真话，从“小陈比小刘大3岁”就推出小陈是25岁；又从“我比小刘年岁小”推出小李小于22岁。可是这样一来，小陈说的三句话中，“小李和我差3岁”和“小李25岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要求（“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的）相矛盾。因此，小刘说的“我22岁”这句话是假的。59由于小刘说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的。因此，小李说的第三句话“小陈比小刘大3岁”就是假的，所以，小李说的第二句话“小刘23岁”就是真的。于是就可以推出：小李22岁，小陈25岁，小刘23岁。注意：这道题我们采用的解题方法是：先假设，然后根据已知条件，进行正确的推理。如果推出矛盾，则说明假设不合理，由此得到与假设相反的结果。如果由假设出发，没有推出矛盾的结果，则说明假设合理。这种方法就叫假设法，是我们解题中常用的一种方法，希望同学们能够掌握。例3四个人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样都有，四种花色的张数互不相同。红桃和方块共5张，红桃与黑桃共6张，有两张将牌（主牌）。试问这副牌以什么花色的牌为主牌？分析与解这副牌的主牌不外乎就是红桃、黑桃、方块、草花这四种花色中的一种。（1）假设红桃为主牌，那么红桃为2张，方块有3张，黑桃有4张，因为共有13张牌，所以草花有4张，这样，黑桃与草花的张数相同。与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，因此，红桃不是主牌。（2）假设方块为主牌，那么方块为2张，红桃有3张，黑桃也有3张，与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，因此，方块不是主牌。（3）假设草花为主牌，那么草花有2张，并且推得红桃+黑桃+方块共有11张牌，而已知“红桃和方块共5张”，“红桃与黑桃共6张”，即得红桃+方块+红桃+黑桃共6011张牌。由此得到红桃的张数应为0。与已知条件“四种花色样都有”相矛盾。说明草花不是主牌。由以上推理得知：黑桃必为主牌。即黑桃有2张，可求出红桃有4张，方块有1张，那么草花有6张。注意：本题所用的方法，是把所有不满足要求的都排除掉，剩下的就是满足要求的。这种解决问题的方法在数学中也是常见的，有时人们把它叫做筛法。在解决例3的过程中还用到了前面提到的假设法。例4有三个盒子，甲盒装了两个1克的砝码，乙盒装了两个2克的砝码，丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了。你知道这是为什么吗？分析与解解决本题的关键是确定打开哪只盒子。（1）若打开的是标有“两个1克砝码”的盒子。取出一个砝码放在天平上称一下，它可能是1克的，也可能是2克的。①若是1克的砝码，那么甲盒的真实内容为“一个1克砝码、一个2克砝码”，那么乙盒的真实内容为“两个1克砝码”，两盒的真实内容为“两个2克砝码”。②若是2克的砝码，那么甲盒的真实内容为“两个2克砝码”或“一个1克砝码、一个2克砝码”，无法对其真实内容作出准确的判断。61（2）若打开的是标有“两个2克砝码”的盒子。放到天平上称过以后，它可能是1克的，也可能是2克的。①若是1克的砝码，那么乙盒的真实内容为“两个1克砝码”或“一个1克砝码、一个2克砝码”，无法对其真实内容作出准确的判断。②若是2克的砝码，那么乙盒的真实内容为“一个1克砝码、一个2克砝码”，那么甲盒的真实内容为“两个2克砝码”，丙盒的真实内容为“两个1克砝码”。根据上面两种情况的分析，可以确定打开的既不是标有“两个1克砝码”的盒子，也不是标有“两个2克砝码”的盒子，因为它们都不能完全确定这三个盒子的真实内容。因此，打开的应是标有“一个1克砝码、一个2克砝码”的盒子。若打开的是标有“一个1克砝码、一个2克砝码”的盒子，那么取出一个，称过后可能是1克砝码，也可能是2克砝码。①若是1克砝码，那么丙盒的真实内容为“两个1克砝码”，乙盒的真实内容为“一个1克砝码、一个2克砝码”，甲盒的真实内容为“两个2克砝码”。②若是2克砝码，那么丙盒的真实内容为“两个2克砝码”，甲盒的真实内容为“一个1克砝码、一个2克砝码”，乙盒的真实内容为“两个1克砝码”。因此，小明打开的是标有“一个1克砝码、一个2克砝码”的盒子。说明：在我们解逻辑推理题时，假设法和筛法是两种常用的方法，而且这两种方法有时是结合起来使用。62练习八1.小王、小张和小李原来是邻居，后来当了医生、教师和战士。只知道：小李比战士年纪大，小王和教师不同岁，教师比小张年龄小。请同学们想一想：谁是医生，谁是教师，谁是战士？2.一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”乙说：“我没有做案，是丙偷的。”丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”丁说：“乙说的是事实。”经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？3.某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。63经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？4.有一个正方体，每个面分别写有汉字数、学、奥、林、匹、克。有三名同学从不同角度观察的结果如图1所示。问这个正方体的每一个汉字的对面各是什么字？5.数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？九、二进制同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留心一下，在我们的日常生活中，不仅使用十进制，还使用其他许多进制呢！你不信？我举一些例子。两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……。64怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。1.什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制数是11；4写成二进制数便是100，那么5呢？应该是101。同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：表165二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下面表2中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。表2当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。2.十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1997时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1也就是说：1997中含有一个1000，九个100，九个10与七个1。在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数664；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数100000应该表示十进制数32，…。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，我们约定：用（）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。例1把（10110）2改写成十进制数。解（10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1=16＋4+2=（22）10例2把（1110101）2改写成十进制数。分析：因为位数太多，我们先从低位写起。解（1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64=1+4+16+32＋64＝（117）1067从上面两道例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的2倍。一个二进制数的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。再看一题。例3将（110100111）2改写成十进制数。分析：还是由低位写起。解（110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256=1+2＋4+32+128+256＝（423）10下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。例4把（60）10改写成二进制数。解（60）10=32＋28=32+16+12=32＋16＋8＋468=32+16+8＋4+0×2＋0×1=（111100）2说明：从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。例5把（45）10改写成二进制数。分析：（45）10不足64，所以它对应的二进制数的最高位是32，即45=32＋13，剩下的13不足16，则向下一位考虑。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的5中包含一个4，即45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位数是1，又不足2，所以对应的二进位数又空一位。解（45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1=（101101）2练一练：（1）将（31）10改写成二进制数；（2）将（78）10改写成二进制数。下面我们再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。例如要将（71）10写成二进制数，参见下式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商1769除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即（71）10=（1000111）2例6用除二倒取余法将（38）10写成二进制数。解∵∴（38）10＝（100110）2例7用两种方法将（107）10改写成二进制数。解方法一（107）10=64+43=64＋32+11=64＋32＋0×16+8+3=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+170＝（1101011）2方法二∵∴（107）10=（1101011）2

练习九1.把下面的二进制数改写成十进制数。①（10001）2；②（11000）2；③（101110）2；④（111101）2；⑤（1101001）2；⑥（11011010）2。2.把下面的十进制数改写成二进制数。①（19）10；②（26）10；③（54）10；④（81）10；⑤（123）10；⑥（180）10。3.现有1克、2克、4克、8克的砝码各一枚，在天平上能称出多少种不同重量的物体？想一想这是为什么？与二进制有关吗？71十、二进制数的四则运算同学们一定记得，刚上一年级学习加法运算时有加法口诀到了学习乘法的时候，又有“九九乘法口诀表”。背诵“九九表”对每个小同学来说都是一件十分辛苦而费时的事，所以当时大家都希望“九九表”能够简单一些吧？由于我们使用的是十进制，所以它的四则运算法则不可能太简单。现在我们学习了二进制数，而二进制数中只有两个独立的符号“0”与“1”，所以二进制数的四则运算法则就简便多了！加法法则：0＋0=0；0＋1=1；1＋0=1；1+1=10。乘法法则：0×0=0；0×1=0；1×0=0；1×1=1。上面列出的八条二进制运算法则可以归纳成八个字：“格式照旧，满二进一。”利用这一规则，可以很容易地实现二进制数的四则运算。只是对于减法，当需要向上一位借数时，必须把上一位的1看成下一位的（2）10。下面是一些例子，右边列的是十进制下的对照：加法运算：72（100）2+（110）2＝（1010）21＋1=10，本位记0，并向高位进1（即“满二进一”）4＋6=10减法运算：（1100）2-（1001）2=（11）2被减数不够减，向高位借1当2，2-1得1。12-9=3乘法运算：（101）2×\u65288X110）2＝（11110）2

735×6＝30除法运算：（11100）2÷\u65288X100）2=（111）228÷4＝7我们通过上面的四个例子向大家讲述了二进制数的四则运算法则的运用。下面再看一些例题。74例1（10110）2＋（1101）2=（100011）2验算：验算是用和减去其中一个加数，它们的差应该等于另一个加数。例2（111101）2-（101110）2＝（1111）2验算：验算时如同十进制数中一样，用差与减数相加，其和应该等于被减数。例3（10110）2×\u65288X101）2=（1101110）2

75验算：验算时，是用乘积除以被乘数（乘数），其商应该等于乘数（被乘数）。例4（1001110）2÷\u65288X110）2=（1101）2验算：验算时，用商乘以除数，乘积应该等于被除数；也可以用被除数除以商，看这时的商是否等于除数。76例5（111101）2÷\u65288X10001）2=（11）2……（1010）2验算：当两个二进制数相除有余数时（余数也必须小于被除数），验算仍然与十进制数时一样，可以用商和除数相乘，再加上余数，结果应该得被除数。练一练：（1）（1011）2＋（10010）2（2）（100101）2-（11100）2（3）（11001）2×\u65288X111）2（4）（100011）2÷\u65288X111）2（5）（100010）2÷\u65288X1001）2（6）（10101）2＋（1011）277（7）（101100）2-（10110）2（8）（11010）2×\u65288X1011）2（9）（1000001）2÷\u65288X1101）2（10）（1111）2×\u65288X111）2通过以上的例题和练习，同学们可以清楚地看到：①二进制数的四则运算法则较十进制数的四则运算法则少得多。这样，它的四则运算就很简单也容易掌握（注意出错往往在减法中的借位时发生）；②由于在二进制中只有两个独立的符号“1”与“0”，这就很容易根据通电和断电，或电位的高与低来分别表示“1”与“0”，从而表示一个二进制数并进行计算，根据这两个原因（当然还有其他原因），使得大多数电子计算机广泛采用二进位制，至于一个数在计算机内部是怎样表示以及计算的，这将在同学们今后的学习中学到，在这里我们只是初步地了解一下。[附]练一练答案：（1）（11101）2；（2）（1001）2；（3）（10101111）2；（4）（101）2；（5）（11）2…（111）2；（6）（100000）2；（7）（10110）2；（8）（100011110）2；（9）（101）2；（10）（1101001）2。78其中第10题在连加时进位特别要注意，有三次进位是进2。竖式如下：练习十1.计算二进制数的加法并进行验算。①11000＋10001；②1001001＋101110。2.计算二进制数的减法并进行验算。①11000-10001；②1001001-10110。3.计算二进制数的乘法并验算。①1001×101；②1101×110。4.计算二进制数的除法并验算。①101101÷1001；

79②10110100÷101101。5.计算二进制数的乘、除法并验算。①11110×1011；②10001101÷1101。十一、火柴棍中的数学与游戏火柴差不多家家都有。要说火柴与火的关系，每个同学都知道，而用火柴棍来做数学与游戏，训练同学们的思维，增长智慧，却不是每个同学所熟悉的了。这一讲就让我们共同了解火柴棍中的数学与游戏，去探索变化无穷的数学世界，了解数学的奇妙，同时使大家在有趣的数学与游戏中变得更聪明。例1下面是由火柴棍组成的四个数字和三个运算符号：（1）移动一根火柴，使下列等式成立。（2）添一根或去一根火柴，使等式成立。80（3）移动每个式子中的一根或两根火柴，使下列每个算式成为一个等式。分析与解思考由火柴棍组成的算式谜的变化时，应注意以下两点：一是在考虑使等式成立的数时，不要忽略数字只限于1、2、4、7，这就缩小了数的思考范围。二是要掌握这些由火柴棍组成的数字。运算符号因火柴的移、去、添而引起的变化规律。动一根火柴的变化规律一般为：移要做到保持算式中火柴总根数不变，如，变“2”为“4”（或相反，以下相同），变“+”为“7”，变“1”为“-”，变“7”为“×\u8221X变“＋”为“-”等。去要减少一根火柴。如，变“4”为“+”，变“7”为“1”，变“+”为“-”，变“=”为“-”，变“2”为“7”，去“-”，去“1”等。添要增加一根火柴，与“去”正好相反。如，变“1”为“7”等，还可以在数之间加“-”，在数前、数后加“1”等。“去”与“添”相结合，就成为“移”。81（1）①移动“1”，把“-”变为“+”。②把“=”右边的“2”变为“4”。③把“＋”变为“-”，使“7”变为“2”。④把“=”左边的“2”变为“4”。⑤把“