福建省莆田市东沙中学高二数学理下学期期末试卷含解析

福建省莆田市东沙中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】设点，由结合两点间的距离公式得出点P的轨迹方程，将问题转化为双曲线C与点P的轨迹有4个公共点，并将双曲线C的方程与动点P的轨迹方程联立，由得出b的取值范围，可得出答案。【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.3.设F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积是(

)A．1

B．

C．2

D．参考答案：A略4.如图，已知AB是半径为5的圆O的弦，过点A，B的切线交于点P，若AB=6，则PA等于(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：连接OP，交AB于C，求出OC，OP，利用勾股定理求出PA．解答： 解：连接OP，交AB于C，则∵过点A，B的切线交于点P，∴OB⊥BP，OP⊥AB，∵AB=6，OB=5，∴OC=4，∵OB2=OC?OP，∴25=4OP，∴OP=，∴CP=，∴PA==，故选：C．点评：本题考查圆的切线的性质，考查勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．5.已知和点满足,若存在实数使得成立,则=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是（

）A.

B.0

C.

D.1参考答案：C7.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4，P（x，y）在双曲线上，M（，），则|PM|+|PF2|的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．2﹣2 D．3参考答案：D【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x=c，解得y，可得|AB|，由等腰直角三角形的性质和双曲线的基本量的关系，解得a，b，c，可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y=±x，令x=c，解得y=±，可得|AB|=，若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4，即有=4，2c=2，c2=a2+b2，解得a=1，b=2，c=，即有双曲线的方程为x2﹣=1，由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|，|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+2=+2=7，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值7；若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a，|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣2=﹣2=3，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值3．综上可得，所求最小值为3．故选：D．8.从正方形的四个顶点及中心这5个点中，任取2个点，则这两个点的距离不小于该正方形边长的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：C9.是定义在上的增函数,则不等式的解集是A．

B.

C.

D.参考答案：D略10.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为__________．参考答案：解：设双曲线为，则渐近线为，代入，∴，∵，∴．12.已知直线（，则直线一定通过定点

参考答案：略13.设等比数列的前项和为，若=，则实数=

参考答案：-114. 参考答案：略15.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.参考答案：【分析】先计算出总的方法数，然后在每类选科人中各选一人，利用分步计算原理计算得方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】∵该班有50名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵15人选修课程,另外35人选修课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有:故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查分步乘法计数原理，属于基础题.16.=．参考答案：2π【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f（x）=的几何意义，计算即可．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．【点评】此题考查利用定积分的几何意义，求解定积分的值，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．17.抛物线的焦点坐标为

.参考答案：(2,0)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.下面的程序功能为将八进制数转化为十进制数，（1）在图中横线处①、②处填上适当的语句，使程序完整。（2）若程序运行的结果为2009，求a-7n的值。（3）试将程序改写成直到型结构。

参考答案：解析：(1)

(2)a=3731

n=4

a-7n=3703

(3)略19.(本小题满分12分)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，.(1)求的值；

(2)设，求a+c的值.参考答案：解：(1)由，得，

……2分由b2=ac及正弦定理得，sin2B=sinAsinC，

……3分于是.

……6分(2)由，得，由，可得ca=2，b2=2，……8分由余弦定理b2=a2+c2－2ac·cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

……10分(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9，∴a+c=3.

……12分20.（12分）已知椭圆（）的离心率为,且短轴长为2.(1)求椭圆的方程；(2)若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,且,,求直线的方程.参考答案：（1）短轴长,, （1分）又,所以,所以椭圆的方程为． （4分）（2）设直线的方程为,,由,消去得,

（6分）,，即．（8分）,即 （10分）,解得,经检验,符合题意,方程为,,，（12分）21.某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：员工编号12345678910年薪（万元）44.5656.57.588.5951（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．【解答】解：（1）平均值为11万元，中位数为=7万元．（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.，，，所以ξ的分布列为ξ012P数学期望为．（3）设xi，yi（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，，，得线性回归方程：y=1.4x+2.5．可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．22.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝，且a1，a2＋1，a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．

参考答案：解：(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－S