福建省福州市实验中学高二数学理月考试题含解析

福建省福州市实验中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图所表达的算法，输出的结果为（

）Ａ．2

Ｂ．1

Ｃ．

Ｄ．参考答案：D略2.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．参考答案：B【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选B．3.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有A.个

B.个

C.个

D.个参考答案：解析：铺第一列(两块地砖)有

种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了、两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺

色．若铺

色，则有

种铺法；若不铺

色，则有

种方法.于是第二列上共有

种铺法.同理，若前一列铺好，则其后一列都有

种铺法．因此，共有

种铺法．故选D．4.下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾；B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内；C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内；D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；【解答】解：对于A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾，故正确；对于B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内，故错；对于C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内，故错；对于D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故错；故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．5.已知数列的前项和为，且，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B略7.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球恰有2个白球的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：D8.设是虚数单位），则

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.函数的单调递减区间是A．(－∞,1)

B．(－∞,0)和(0,1)

C.(－∞,0)

D．(0,1)参考答案：B由题得，令，所以x<1,因为x≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函数的单调减区间为和，故选B.

10.已知等比数列{an}中，，，则（

）A．±2 B．－2 C．2 D．4参考答案：C因为等比数列中，，，所以，，即，，因此，因为与同号，所以，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的最小值为_________.参考答案：略12.已知函数，则不等式的解集为__________．参考答案：（－3,2）【分析】先判断函数在上单调递增，则不等式等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.【详解】因为函数，时，，且在上递增，时，，且在上递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价于，

解得，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，属于中档题.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意判断函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．13.函数的单调递增区间是＿＿＿

参考答案：略14.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是

。参考答案：15.随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且使为锐角的概率是__________________．参考答案：=16.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为A1B1的中点，则下列五个命题:①点E到平面ABC1D1的距离为；②直线BC与平面ABC1D1所成的角为450；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成的六个射影平面图形，其中面积最小值是；④AE与DC1所成的角的余弦值为；⑤二面角A-BD1-C的大小为?．其中真命题是

．（写出所有真命题的序号）参考答案：②③④17.已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则

.参考答案：－2－3i由题意得复数对应的点为（2，-3），它关于原点的对称点为（-2,3），故，所以．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对任意函数，可按下图所示构造一个数列发生器,其工作原理如下:①输入数据,经数列发生器输出;②若,则数列发生器结束工作;否则计算.现定义.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若输入,则由数列发生器产生数列，写出的所有项；（Ⅲ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值。

参考答案：解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）由框图知

，所以当时，则依次可得，即为（Ⅲ）由或，即当或时，故当时，当时，。19.已知圆M：（x+1）2+y2=，圆N：（x﹣1）2+y2=，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y=x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2=﹣时，求Q点的坐标．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意的定义可知：长半轴长为2，短半轴长为的椭圆，即可求得椭圆方程；（2）①求得双曲线方程，焦点为（﹣2，0），（2，0），则，即可求得双曲线C的方程；②方法一：设l的方程，代入椭圆方程，由向量的坐标运算，利用λ1，λ1表示出A和B点坐标，则λ1，λ2是二次方程的两根，利用韦达定理即可求得Q点的坐标．方法二：设l的方程：y=kx+4，，﹣4=λ1y1=λ2y2，，将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理即可求得k的值，求得Q点的坐标．【解答】解：（1）∵圆P与圆M外切并且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2﹣R）=r1+r2=4，…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆，…（求出a=2，c=1给，求出得1分）则此方程为．…（2）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），∴对于双曲线C：c=2，…又为双曲线C的一条渐近线，∴，解得a2=1，b2=3，…

故双曲线C的方程．…（3）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0），∵，则（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1），…∴，从而，∵A（x1，y1）在双曲线C上，∴（）2﹣﹣1=0，…16+32λ1+16﹣k2﹣k2λ12=0，同理有．…若16﹣k2=0，则直线l过顶点，不合题意，∴16﹣k2≠0，∴λ1，λ2是二次方程的两根．∴，∴k2=4，…

此时△＞0，∴k=±2．∴所求Q的坐标为（±2，0）．…解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，∴．∴﹣4=λ1y1=λ2y2，∴，，…

又，∴，即3（y1+y2）=2y1y2，…将y=kx+4代入，得（3﹣k2）y2﹣24y+48﹣3k2=0，…∵3﹣k2≠0，否则l与渐近线平行．∴．…∴，∴k=±2，∴Q（±2，0）．…20.（本小题满分12分）

在等差数列和正项等比数列中，，的前8项和

(I)求和；

(II)令，求参考答案：21.本小题满分8分某商场为经营一批每件进价是10元的小商品，对该商品进行为期5天的市场试销．下表是市场试销中获得的数据．销售单价/元6550453515日销售量/件156075105165根据表中的数据回答下列问题：（1）试销期间，这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少？（2）试建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；（3）如果在今后的销售中，该商品的日销售量与销售单价仍然满足（2）中的函数关系，试确定该商品的销售单价，使得商场销售该商品能获得最大日销售利润，并求出这个最大的日销售利润．(提示：必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析)．参考答案：（3）设经营此商品的日销售利润为P元，由（2）知

……………7分即当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．

………………822.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△AOB的面积为S．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求△AOB面积S的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k，进而表示出|OA|2+|OB|2，即可得出结论；（3）表示出△ABO的面积，利用基本不等式，即可求S的最大值．【解答】解：（1）由题意可知a=2b且，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：．（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x