一次函数与反比例函数的实际应用-中考数学复习题练习（教师版）

专题08一次函数与反比例函数的实际应用(解析版)

类型——次函数的实际应用

(1)方案选择问题

1.(2022•内蒙古)某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品.若购进A种纪念品10件，B种纪念品5

件，需要IOOo元；若购进A种纪念品5件，8种纪念品3件，需要550元.

(1)求购进4、8两种纪念品的单价：

(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量

不少于3种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货

方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润.

思路引领：(1)设某商店购进A种纪念品每件需。元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元

一次方程组求出其解即可；

(2)设某商店购进4种纪念品X个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解

即可；

(3)设总利润为W元，根据总利润=两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即

可.

解：(1)设该商店购进A种纪念品每件需“元，购进B种纪念品每件需〃元，

由题意，得｛*吃黑

≡K≡100'

.∙.该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元：

(2)设该商店购进A种纪念品X个，购进B种纪念品y个，

根据题意，得50x+100γ=10000,

由50Λ-+I00V=10000得x=200-2y,

把Λ=200-2y代入x^6y,解得户25,

Vy>20,

Λ20≤>-≤25且为正整数，

可取得的正整数值是20,21,22,23,24,25,

与)，相对应的X可取得的正整数值是160,158,156,154,152,150,

.∙.共有6种进货方案：

（3）设总利润为W元，

则W=20x+3Oy=-10y+4000,

V-10<0,

W随y的增大而减小，

当y=20时，W有最大值，W最大=-10X20+4000=3800（元），

二当购进A种纪念品160件，8种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元.

总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A,B两种纪念品的

单价是关键.

2.（2021•东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：

方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分。元/分钟；被叫免费.

方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费.

两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间f（单位：分钟）的函数图象如图.

（1）求α的值；

（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关

于主叫时间单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的f的取值范围；

（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱.

思路引领：（1）利用待定系数法可求出BC的解析式，再根据“方式一”的计费方式，也可求得BC的解

析式，比较系数即可.

（2）根据两种计费方式可求出射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间/（单位:

分钟）的函数关系式.

（3）根据（2）所求即可得出结论.

解：(I)由题图可知，M(350,100),

设BC所在直线为y=公+4

把B(150,60),M(350,100)代入,

050k+h=60

伶：l350⅛+b=IOO'

Z1

k-

解=

讣<l5

lb=

k3O

.∙.y=g+30(r≥150).

当>150时，y=a(/-150)+60=α∕+60-150«,

；♦α=0.2.

(2)由(1)可知射线BC对应的月计费y关于主叫时间，的关系式为，

Vi=0.2/+30,Γ≥150m∕π,

又∙.∙方式二中超过限定时间的部分0.25元/分钟，

.∙.”=0.25(/-380)+100=0.25/+5.

.∙.射线EF对应的月计费y关于主叫时间/的关系式为，

>2=0.25r+5,r≥38θ∕∕jzn.

(3)①OWrWl50加〃时，y∣=60<y2≈100;

②150WfW350，”加时，y∣=0.2z+30<y2=100;

③/'500”〃力时，yi=0.2f+30V”=0.25f+5.

综上所述，通话时间0WfW350加〃或/2500加〃时，方式一省钱.

总结提升：考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适

的等量关系列出方程，再求解.

(2)最大利润问题

3.(2022∙襄阳)为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经

销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/依；乙种产品的进货总金额y(单位：元)与乙种产品

进货量X(单位：kg)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/总和18元Λ⅛.

(1)求出OWjlW2000和x>2000时，y与X之间的函数关系式；

(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1600仅，

且不高于4000依，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为卬元(利润=销售额-成本)，请求出w(单

位：元)与乙种产品进货量X(单位：依)之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货

方案；

(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下，

甲、乙两种产品售价分别降低。元/奴和2α元Λ⅛,全部售出后所获总利润不低于15000元，求α的最大

值.

叫

56000----------------

30000一■~7\

0\20004000*Λg

思路引领：(1)分当0≤x<2000时，当x>2000时，利用待定系数法求解即可；

(2)根据题意可知，分当160OWXW2000时，当2000(xW4000时，分别列出卬与X的函数关系式，根

据一次函数的性质可得出结论；

(3)根据题意可知，降价后，W与X的关系式，并根据利润不低于15000,可得出〃的取值范围.

解：(1)当OWXW2000时，设y=/x,根据题意可得，2000/=30000,

解得出'=15,

・♦y=15x；

当x>2000时，设y=*+4

根据题意可得，｛黑肮仁歌

解得忆:瑞

.∙.y=13Λ^÷4000.

.fl5x(0≤x≤2000)

・・，―(13%+4000(x>2000),

(2)根据题意可知，购进甲种产品(6000-χ)千克，

V16∞≤x≤4000,

当1600WX<2000时，W=(12-8)X(6000-χ)÷(18-15)∙x=-x÷24000,

V-1<0,

Λ当X=1600时,W的最大值为-1×1600+24000=22400(元)；

当2000VχW4000时，W=(12-8)×(6000-χ)+18JV-(13x÷4∞0)=x+20000,

Vl>0,

・・・当x=4000时，W的最大值为4000+20000=24000(元),

(-X+24000(1600≤x<2000)

FI-卬=<•

・'~(%+20000(2000<⅛≤4000)'

当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元.

(3)根据题意可知，降价后，卬=(12-8-α)X(6000-x)+(18-2«)x-(13Λ+4000)=(l-α)

x+20000-60000,

当x=4000时∙，W取得最大值，

.∙.(1-α)X4000+20000-6000«≥15000,解得αW0.9.

总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式.

4.某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A

型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预

计销售额不低于12.32万元.设A型电脑购进X台、商场的总利润为y（元）.

（1）请你设计出进货方案；

（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑X（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最

大，最大利润是多少元？

思路引领：（1）设4型电脑购进X台，则8型电脑购进（40-χ）台，根据总进价不超过105700元和销

售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；

（2）根据利润等于售价-进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的利润就求其和

就可以得出结论.

解：（1）设4型电脑购进X台，则8型电脑购进（40-χ）台，由题意，得

050OX+2800（40-x）≤105700

（3000x+3200（40-x）≥123200,

解得：21≤x≤24,

为整数，

Λx=2l,22,23,24

.∙.有4种购买方案：

方案1：购A型电脑21台，6型电脑19台;

方案2：购4型电脑22台，B型电脑18台;

方案3：购A型电脑23台，8型电脑17台;

方案4：购A型电脑24台，8型电脑16台;

(2)山题意，得

y=(3000-2500)x+(3200-2800)(40-x),

=500x+16000-400Λ-,

=IOOx+16000.

∙.∙*=ιoo>o,

.∙.y随X的增大而增大，

.'.x=24时，y及大=18400元.

答：采用方案4,即购A型电脑24台，8型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元.

总结提升：此题考查一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出

所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答.

(3)行程问题

5.(2022•牡丹江)在一条平坦笔直的道路上依次有A,B,C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从3

地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头(掉头时间忽略不计)按原路原速前往

C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y(米)与时间X(分钟)

之间的函数图象.

请解答下列问题：

(1)填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；

(2)求图象中线段FG所在直线表示的y(米)与时间X(分钟)之间的函数解析式，并写出自变量X

的取值范围；

(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案.

思路引领：（I）利用速度=路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；

（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y=kx+b,将F,G的坐标代入,

求解方程组即可；

（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可.

解：（1）根据题意可知力（1,800）,E（2,800）,

二乙的速度为:800÷1=800（米/分钟），

二乙从B地到C地用时：2400÷800=3（分钟），

ΛG（6,2400）.

：.H（8,2400）.

甲的速度为2400÷8=300（米/分钟），

故答案为:300；800；

（2）设直线尸G的解析式为：y=kx+b（kW0）,且由图象可知尸（3,0）,

由（1）知G（6,2400）.

.（3k+b=0

,*l6∕c+h=2400'

解得，代=80。

lμπ,U=-2400,

・•・直线尸G的解析式为：y=800x-2400（3≤x≤6）.

（3）由题意可知,AB相距800米,BC相距2400米.

VO(0,0),H(8,2400),

・•・直线CW的解析式为：y=300x,

VD(1,800),

.∙.直线OD的解析式为：>∙=800x,

当OWXWl时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走,

/.令800x+300x=600,解得X=ʌ.

；当2WxW3时，甲从8继续往C地走，乙从A地往B地走，

.,.300Λ+800-800(χ-2)=600解得X=岩(不合题意，舍去)

：当x>3时，甲从8继续往C地走，乙从8地往C地走，

Λ3OOx+8OO-800(X-2)=600或800(χ-2)-(3OOΛ+8OO)=600,

解得X=善或x=6.

618

综上，出发一分钟或二∙分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米.

115

总结提升：本题考查一次函数的应用、路程=速度X时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，

将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型.

6.(2022•长春)已知A、8两地之间有一条长440千米的高速公路.甲、乙两车分别从A、B两地同时出

发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继

续匀速行驶4小时到达8地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程

y(千米)与各自的行驶时间X(时)之间的函数关系如图所示.

(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与X之间的函数关系式:

(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程.

思路引领：(1)由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出扭=2,根据以另

一速度继续匀速行驶4小时到达B地知〃=6；

(2)用待定系数法可得y=60x+80,(2≤x≤6);

(3)求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米.

解：(1)由题意知：m=200÷100=2,

M="∕+4=2+4=6,

故答案为：2,6；

（2）设y=h+改将（2,200）,（6,440）代入得：

Γ2∕c÷&=200

l6∕c+h=440,

解哦:能

.∙.y=60x+80,（2≤x≤6）;

（3）乙车的速度为（440-200）÷2=120（千米〃卜时），

.∙.乙车到达A地所需时间为440÷120=孝（小时），

当X=.时,y=60xɪ+80=300,

.∙.甲车距A地的路程为300千米.

总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图.

类型二反比例函数的实际应用

7.（2022♦广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：齐）的圆柱形天然气储存室,

储存室的底面积S（单位：，水）与其深度1（单位："）是反比例函数关系，它的图象如图所示.

（0求储存室的容积V的值；

（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16WdW25,求储存室的底面积S的取值范围.

思路引领：（1）设底面积S与深度”的反比例函数解析式为S=，，把点（20,500）代入解析式求出V

的值；

（2）由"的范围和图像的性质求出S的范围.

解：（1）设底面积S与深度”的反比例函数解析式为S=，把点（20,500）代入解析式得50O=为，

.∙.V=IOOOO.

IOOOO

(2)由(I)得S=~~d~

∙.∙S随4的增大而减小,

，当16Wd≤25时，400≤5≤625,

总结提升：此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易

程度适中.

8.（2022∙台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不

变时，火焰的像高y（单位：Cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）X（单位：Cfn）的反比例函数，当x=6

时，y=2.

（1）求y关于X的函数解析式.

思路引领：（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；

（2）根据解析式代入数值解答即可.

解：⑴由题意设:y=p

把x=6,y=2代入，得2=6义2=12,

关于X的函数解析式为：y=ɪ;

19

（2）把y=3代入>=7，得，x=4,

小孔到蜡烛的距离为4cτn.

总结提升：此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答.

类型三一次函数与反比例函数的综合运用

9.（2022•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间

的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间K分钟）变化的函数图象如图所示.当

0≤x<10和IoWX<20时，图象是线段，当20Wx≤45时是反比例函数的一部分.

（1）求点A对应的指标值.

(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排.使学生在认真听讲时，进

行讲解，请说明理由.

思路引领：(1)设反比例函数的解析式为y=J，由C(20,45)求出4,可得。坐标，从而求出A的指

标值；

(2)求出AB解析式,得到y236时,x≥差由反比例函数y=竽可得y236时,xW25,根据25-善=等

>17,即可得到答案.

解：(1)设当20WxW45时，反比例函数的解析式为)=],将C(20,45)代入得：

.k

4λ5e=20)

解得k=900,

反比例函数的解析式为y=缪，

当x=45时，7=20,

：.D(45,20),

ΛA(0,20),

即A对应的指标值为20；

(2)设当OWXVlO时，AB的解析式为了=小+小将4(0,20)、B(10,45)代入得：

f20=n

(45=IOm+n

解得fm=I，

U=20

.,.AB的解析式为y=∣v+20,

52?

当y≥36时,-jr+20≥36,解得x≥可，

由(1)得反比例函数的解析式为)=绊

当y236时，--->36,解得xW25,

X

32

.∙.γ≤xW25时，注意力指标都不低于36,

•.♦指标达到36为认真听讲，

而25—g-=-ʒ->17,

.∙.李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解.

总结提升：本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出O

≤x<10和20≤x≤45时的解析式.

10.(2021秋•东平县校级月考)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升IOC,

加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时X(*)成反比例关系，直至水

温降至30℃,饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电

源，水温y(℃)与时间X(min)的关系如图所示：

(1)分别写出水温上升和下降阶段y与X之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；

(2)怡萱同学想喝高于50°C的水，请问她最多需要等待—min?

思路引领：(1)根据题意和函数图象可以求得“的值；根据函数图象和题意可以求得y关于X的函数关

系式，注意函数图象是循环出现的；

(2)根据(1)中的函数解析式可以解答本题.

解：(1)观察图象，可知：当X=I(〃7加)时，水温y=100CC),

当0≤x<7时，设y关于X的函数关系式为：y="+6,

(b=30

l7k+b=100'

解幅界

即当OWXW7时，y关于X的函数关系式为y=10x+30,

当戈>7时，设

IoO=*得4=700,

即当x>7时，y关于X的函数关系式为y=詈,

当y=30时，X=冬

,10x+30(0≤x≤7)

；.），与X的函数关系式为:y与X的函数关系式每三分钟重复出现一次;

竽(7Vx≤令

(2)将y=50代入y=10x+30,得工=2,

将y=50代入y=ʒ-t得X=14,

7034

V14-2=12,一―12二亭，

33

.∙.怡萱同学想喝高于5（TC的水，她最多需要等待日〃”〃,

34

故答案为：

总结提升：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答.

第二部分专题理优别殊

1.（2019∙淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽X之间函数关系的是（）

思路引领：根据题意得到Xy=矩形面积（定值），故y与X之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y

实际意义x、y应>0,其图象在第一象限；于是得到结论.

解：：根据题意孙=矩形面积（定值）,

∙'.y是X的反比例函数，（x>0,y>0）.

故选：B.

总结提升：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问

题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用实际意义确定其所在的象限.

2.（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量〃？的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：以为）

是气体体积Y（单位：，"3）的反比例函数：P=多，能够反映两个变量P和V函数关系的图象是（)

思路引领：直接利用反比例函数的性质，结合p,M的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得

出答案.

解：：气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：,尸）的反比例函数：p=e（V,P都大

于零）,

能够反映两个变量P和V函数关系的图象是:

故选：B.

总结提升：此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键.

3.（2022•鄂州一模）已知A、8两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/

时的速度沿此公路从4地匀速开往8地，乙车从8地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停

止.甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间X（时）之间的函数关系如图所示.

（1）a=,b=.

（2）求甲、乙两车相遇后y与X之间的函数关系式.

（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程.

思路引领：(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根

据“路程、速度、时间”的关系确定纵〃的值；

(2)运用待定系数法解得即可；

(3)求出甲车到达距B地90千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可.

解：(1)乙车的速度为：(270-60×2)÷2=75千米/时，

α=270÷75=3.6,力=270÷60=4.5.

故答案为：3.6；4.5；

(2)60×3.6=216(千米)，

当2VχW3.6时，设y=Ax+b,根据题意得：

[2∕c+b=0徂仍=135

L3.6fc+b=216f解得Ib=-270'

Λy=135χ-270(2VXW3.6)；

当3.6VXW4.5时，y=60χf

_(135%-270(2<x≤3.6)

・"-160x(3.6≤x≤4.5)

(3)Y甲车到达距8地90千米处时，x=27θ∑90=3,

OU

将x=3代入y=135