2020-2021学年北师大版高中数学选修4-4同步配套：1.3

2024/3/112020—2021学年北师大版高中数学选修4-4同步配套：1.31.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法.2.掌握点的直角坐标、柱坐标、球坐标之间的互化,并能解决简单的实际问题.1.柱坐标系在平面极坐标系的基础上,通过极点O,再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴,这样就建立了柱坐标系(如图所示).设M(x,y,z)为空间一点,并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r,θ),则这样的三个数r,θ,z构成的有序数组(r,θ,z)就叫作点M的柱坐标,这里规定r,θ,z的变化范围为0≤r<+∞,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.特别地,r=常数,表示的是以z轴为轴的圆柱面;θ=常数,表示的是过z轴的半平面;z=常数,表示的是与xOy平面平行的平面.显然,点M的直角坐标与柱坐标的关系为特别地,r=常数,表示的是以原点为球心的球面;φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面;θ=常数,表示的是过z轴的半平面.点M的直角坐标与球坐标的关系为名师点拨空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ.空间直角坐标:设点M为空间的一个已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫作点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).题型一题型二题型三题型一

柱坐标与直角坐标的互化【例1】

将点M的直角坐标化为柱坐标,将点P的柱坐标化为直角坐标.分析:利用相关公式代入进行转化求值.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【变式训练1】

设点M的空间直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系下的坐标.题型一题型二题型三题型二

球坐标与直角坐标的互化【例2】

将点M的直角坐标化为球坐标,点P的球坐标化为直角坐标.分析:利用相关公式代入进行转化求值.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型三

柱坐标、球坐标的实际应用【例3】

一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,……,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200m,每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,求点A的坐标.反思找空间中一点的柱坐标,与找平面极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.题型一题型二题型三【变式训练3】

我国首都北京靠近北纬40°,东经116°,求北纬40°纬线的长度约为多少千米?(地球半径约为6370km,cos40°≈0.7660,π取3.14,结果精确到十位)解:如图所示,首都北京的球坐标为(6

370,50°,116°),设为点A,则|OA|=6

370,∠AOO'=50°,所以|O'A|=|OA|sin

50°=|OA|·cos

40°≈6

370×0.766

0,北纬40°纬度圈长为2×3.14×6

370×0.766

0≈3.064×104(km).答:北纬40°纬线的长度约为3.064×104

km.123451要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置,应运用(

).A.极坐标系 B.空间直角坐标系C.柱坐标系 D.球坐