2022-2023学年苏教版（2019）必修二第十一章解三角形 单元测试卷（含答案）

苏教版(2019)必修二第十一章解三角形单元测试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、在aABC中，AB=4,BC=3,则当函数

/⑻=COS25一CoS(B+1)-√5Sin(B+g)+5取得最小值时，AC=()

A.√13B.2√3C.4D.2

2、Z∖A6C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-/?sin3=4csinC,

1b

cosA=——，则一=()

4c

A.6B.5C.4D.3

3、如图，在地面上共线的三点A,B,C处测得一个建筑物的仰角分别为30。，45°,

60°,且A5=3C=60m,则建筑物的高度为()

O

C

A.15λ∕6mB.2θV6mC.25∖∕6mD.3θV6m

4、已知在AABC中，a:b:c=3:2-A,那么CoSC的值为()

ʌ,-ɪB,C.--D.-

4433

5、在AABC中，角A,B,。所对的边分别为α,b,c.若A=60。，b=2,c=3,则

«=()

A.√7B.√iθC.4D.√19

6、ZVWC的三个内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,若

QSinAsinB+/7cos2A=Ca,则2=()

a

A.√2B.√3C.2√2D.2√3

7,在AAJBC中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,a=4,A=45o,B=60o

则匕的值为（）

A.√3B.2√6C.2√3D.3√2

8、在448C中，NA:N3:NAC5=1:2:3,CDJ_A3于。,AB=a,则DB=()

aCaa_3a

A.-B.—C.—D.-

4324

9、在三角形ABC中，b=l,c=√3,α=l,则角C等于（)

A.30oB.45oC.60oD.120o

△ABC的面积为逆

10、已知aABC的内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,

2

b=2,c-acosB-∖,则α=()

A.√7B.√19C.2√5D.2√6

二、填空题

11、如图，在AABC中，点。在BC边上，8。的垂直平分线过点4,且满足

2尺

CD=41AB,cosZCAD=-,则NAZ）C的大小为.

5

D

12、AABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,C.已知

⅛sinC÷csinB=4asinSsinC,Z?2+c2-6t2=8,则∕∖ABC的面积为.

13、在AABC中，内角A,B,C的对边分别是mb,小且满足A=G,

π+c=2>∕3,4cosC+CCoSA=2Z?COS3,则αc的值为.

JT

14、在AABC中，B+C=~,AB=2,AC=3,则BC=.

3

15、在Z∖ABC中，已知α=2,COSC=-4，3sinA=2sinB,则C=.

4

16、在AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若α=l∕=0,sin8+cosB=√5,则角A

的大小为.

三、解答题

57rTT

17、在①αcosC+CCoSA=—bcosB,②5sin(-+8)+5sin(-6)=l,③Be(O,一)，

422

cos2B=cosB--.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.

25

已知AABC中，内角A,B,C所对的边分别为4,b,c,且_________.

(1)求tan2B的值;

12Ii

(2)若tanA=----∙,c-一，求AAfiC的周长与面积.

54

18、已知aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C满足一-tanA=√3.

⅛cosA

(1)求角B的大小；

(2)若SinASinC=2,设AABC的面积为S,满足S=3√L求Z?的值.

13

19、如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛8位于小岛4北偏东75。距离60海里处,

小岛B北偏东15。距离30G-30海里处有一个小岛C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；

(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.

20、∆ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知αcosC+c∙cosA=2⅛cos8.

(1)求脱

(2)若6=2√LAABC的面积为2√5,求AABC的周长.

参考答案

1、答案：A

解析：因为函数

(ππʌ(1Y7

∕^(B)=2COS2B-1-2COSB+---+5=2COS2B_2COSB+4=2COSB——+—，所以

I33)I2)2

当COSB=；时，函数/(8)取得最小值，此时，由余弦定理，得

AC=y∣AB2+BC2-2AB-BCcosB=^42+32-2×4×3×∣=√13.

2、答案：A

解析：由题意及正弦定理得，b2-a2^-4c2,所以由余弦定理得

cosA=b2+c2~a2化简得2=6.故选A.

2bc2bc4c

3、答案：D

解析：设建筑物的高度为/zm,由题图知，

PA^2hm,PB=y[2hm,PC=^-hm,

3

在aPBA和APBC中，分别由余弦定理的推论，得

6。2+2/?2-4力2

cosZPBA=①，

2×60×√2∕/

602+2Λ2--Λ2

cosNPBC=------------72—②，

2×60×√2Λ

因为ZPBA+ZPBC=180°,

所以cosZPBA+cosZPBC=O③，

由①②③，解得〃=30指或/2=-30"（舍去），

即建筑物的高度为30#m.

故选：D.

4、答案：A

解析：由a:Z>:c=3:2:4可得”==，c=2h,

2

2f2_2-----∖-b1-4h2]

由余弦定理可得cosC=a-C=4——=-i,

2abn3b入4

2×——×b

2

故选：A.

5、答案：A

解析：.A=60o,b=2,c=3,

由余弦定理.得/=/+,2-2匕CCoSA=4+9—2x2x3x'=7,

2

.,.Cl—^∖[y•

故选：A.

6、答案：B

解析：由正弦定理得αsinB=AinA，化简得〃sin?A+Z?cos2A=h=6Q,

则2=百，

a

故选：B.

7、答案：B

解析：在aABC中，由正弦定理上=3,所以b=竺出,因为α=4,

sinBsinAsinA

A=45。，B=60O,所以6=4γm6()°=举=2"故选B

sin450√2

8、答案：A

解析：如图所示,

.∙.ZA=30o,N5=60。，NAC5=90°,

.∙.BC=-AB.

2

又∙.CD_LAB于O,AB=a,

:.ZBCD=30°,

.∙.OB=LBC=LAB故选A.

244

9、答案：D

解析：根据余弦定理得CoSC=-C'2=l+1一阴

2ab2×1×1

因为C∈(0,7l),因此。=§,

故选：D.

10、答案：B

解析：设三角形ABC外接圆半径是R,

因为C=αcos3-l,所以SinC=SinACOS6———

2R

:.sinAcosB+sinBcosA=SinAcosB———,

2R

sinBcosA-----,即hcosA=-L

2R

1o

因为b=2,所以COSA=-鼻，因为A£(0,兀)，解得A=π

S人8CCSinA=亭C=^解得C=3,

从+,2—〃2

14+9—矿

又cosA=即ππ——=-------解得a=y∕∖9.

2bc22×2×3

故选：B.

3JT

“、答案：了

解析：因为8。的垂直平分线过点A,所以AB=AD,则CD=√∑4B=√i4O,所以

生=VL又因为在aACD中，ZCAD∈(O,π),COSNCAD=述，所以

AD5

SinNCAZ)=乎.在AACO中，由正弦定理,得ADCD

“讨SinNr)C4-SinNCAD，所以

SinNoCA=斗应叱C竺=®.因为CD>4D,所以Nr)C4为锐角，所以

CD10

CoSNoeA=^L则CoSNAoC=-CoS(NACD+NC4。)=一正，所以NAOC=史.

1024

12、答案：迎

3

解析：由正弦定理知⅛sinC+csinB=4«sinBsinC可化为

sinBsinC+sinBsinC=4sinAsinBsinC.

sinBsinC≠0,.*.sinA=—.

2

b1+c2-er=8,.∙.2⅛ccosA=8>则A为锐角,

√3,,8

cosA4=—,则tπlbe=-y=,

1,.1812√3

∙∙∙cS"c=产SlnA4=IX耳X]=亍∙

13、答案：3

解析：由正弦定理，MsinAcosC+sinCcosA=2sinβcosB,

即Sin(A+C)=2sin5cos5.又因为A+C=π-S,所以Sin(π-B)=2sinBcosB,即

SinB=2sinBcos5,所以cos3=L由余弦定理从=a2+c2-IaccosB,得

2

b?=a1+C1-ac=(a+c)?-3ac.又b=m,所以(〃+(?)2-3。(?=3.又〃+°=2百,所以

ac=3.

14、答案：√19

ɔjr

解析：由已知得A=—屈余弦定理得3。2=4长+4。2一2AB∙AC∙COSA=19,所以

3

BC=M.

故答案为：√19.

15、答案:4

解析：由正弦定理得3。=2。，b=3,

由余弦定理得c=J??+??—2χ2χ3χ(-；)=4.

故答案为：4.

TT

16、答案：工或30。

6

解析:由SinB+cos8=V∑sin(B+；)=V∑,得Sin(B+E=l,B∈(0,π),

所以B=?TT,

4

,.D41sin—.

由正弦定理」一=一,得SinA=%W=--------生=上,又α<>,A<B,

sinAsinBb22

所以A=?或舍去)

OO

故答案为:

O

17、

、74

(1)答案：tan2B=-

7

解析：若选①：由正弦定理得SinACOSC+sinCcosA=*sinBcosB，

4

故Sin(A+C)=∣-sinBcosB,

而在Z∖ABC中，sin(Λ+C)=sin(π-B)=sinB,

故sinB=^sinBcosB,又5∈(0,τr),

4

4

所以sin3WO,则cosB=-,

5

则sinB=Vl-∞s2B=—,tanB=SinB_2

5cosB4

2tanB24

故tan2B=

l-tan2BT

若选②：由5sin('+8)+5sin(-8)=1,化简得CoSB-SinB=L代入cos?B+sid8=1

25

中，整理得25sin2jB+5sin8-12=0,

即(5sinB-3)(5sinB+4)=0,

3

因为Be(O,π),所以sinB>O,所以SinB=

4_sinβ3

则CoSB=—,tanB=------=—

5cosB4

2tanB24

故tan2B

^l≡tan2β^T,

若选③：因为cos28=cos3-----，

1ɜ]2

所以2cos?B-I=cosB——-,即2cos2B-cosB-----=O,

2525

34

则(2COSB+ʒ)(eosB--)=0.

4

因为Be(Og),所以CoSB=一,

5

_______Q

2nSinB3

则SinB->∕l-cosB--,tunLJ=--------------=一,

cosB4

.,Cn2tanB24

口⅛乂Vtlou∏ll乙ɔQP一—_____ɔ__一___.

l-tan2B7

（2）答案：AABC的周长为11；4ABC的面积为二

8

解析：因为tanA=型4=一孩,且sin?A+cos2A=l,A∈(0,π),

cosA

所以cosA=---,sinA=—.

1313

43

由(1)得cosB=-,sinB=ɪ,

∣245333

则sinC=Sin(A+B)=sinAcosB÷cosAsinB=—×-------×-=—,

13513565

由正弦定理得，一=‘一=」一=竺，则α=5,b=—.

sinAsinBsinC124

故AABC的周长为4+8+C=I1,

11io3333

△ABC的面积为SMM=—αbsinC=-χ5χ上χ3=3.

△布224658

18、

(1)答案：Bj

3

解析：由———...tanA=G,得百c=Z?SinA+COSA,

bcosA

不艮据正弦定理，得百SinC=sinBSinA+GsinBcosA.

因为SinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),

所以SinAsin3+GsinBcosA=GSin(A+B),

所以SinASinB=GcosBsinA.

因为A∈(0,7i),所以sinA≠O,所以tan3=百，则3=乙.

3

(2)答案：b=V13

解析：由S=LaCSin8=3Λ∕5,得αc=12.

2

又由正弦定理'=上=-^得一-—=(/-)2,

SinAsinBsinCsinAsinCsinB

所以5x12=—佐一，解得b=JB.

9sin2∆

3

19、

(1)答案：小岛4到小岛C的最短距离是30后海里

解析：在AASC中，AB=60,BC=30√3-30,ZABC=180°-75°+15°=120°,

根据余弦定理得：AC?=AS?