天津市青光中学2022-2023学年高三年级上册期末数学试题（解析版）

数学

本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.试卷满150

分，考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.祝各位考生考试顺利！

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在

答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

第I卷（选择题共45分）

一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

合题目要求的.

1设全集U=<十2.-W”{T°R,则（）

A.B.{°』D.

【答案】c

【解析】

【分析】利用集合的补、并运算求'G'lu"即可.

【详解】由题设，QM={O・D,而3={T°』，

...SLDTCLI；

故选：c

2.设\wR,则“x'-3x>0喝“卜一1|>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先解出两个不等式的解集，再根据两个解集的关系结合充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】由/-3.T>°,得IV0或1>3,

由卜一】b1,得0或1>2,

因为集合（巾<°或，,可是集合3、<°或-2的真子集，

所以，，f-3A>0”是小一心l”的充分不必要条件,

故选：A

出将，（1=InI♦+1i的图像大致是.、

3.函数.］，］'（）

【解析】

【详解】由于函数为偶函数又过（0,0）,排除B,C,D,所以直接选A.

【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.

4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自

习时间的范围是口7530］,样本数据分组为口75,刈，［20.2”）,仁5,约，［25:75,

根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】B

【解析】

【分析】由直方图，根据各组样本量等于总体容量乘以各组对应频率，即可求结果.

【详解】由直方图知：若200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为

、二200«（016+008+004）>25=140人

故选：B

5.已知a="g：°"=2°晨=0"，则

A.a<b<cB.«<«<bc.c<a<-bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】运用中间量0比较0运用中间量1比较b4

OJ

【详解】a=log302<logjl=0.6=2>2°=1.0<0严<02°=1.贝”0<cv—故选

B.

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法，利用转化

与化归思想解题.

6.棱长为1的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的表面积为（）

An

A.B.3c.3xD.471r

【答案】c

【解析】

【分析】由正方体外接球的性质确定直径的长度，利用球的表面积公式求表面积即可.

【详解】由题设，正方体的体对角线为球体的直径且为>=后,

球的表面积为4m二=3万.

故选：c

fy2

atrC—■-=l（a>O,b>0）

7.已知抛物线J=161的焦点与双曲线n-的焦点尸重合，°的渐近线恰为矩

形0"?的边Q4,所在直线（。为坐标原点），则双曲线°的方程是（）

X2V2.yV3.

A.124B,3232

x2y2.V3y2

C.412D.88

【答案】D

【解析】

【分析】根据四边形OAEff为矩形以及双曲线的渐近线关于''轴对称，可得a=b,利用抛物线方程求出

c=再根据a：+9可求得a：=V=5,从而可得结果.

【详解】因为四边形。⑷生为矩形，所以。一即双曲线的两条渐近线垂直，

乙4。9=4。尸"

根据双曲线的渐近线关于x轴对称，可得4,

WA

所以a,即（：=b,

又抛物线F'=16》的焦点尸（4.0）,

所以双曲线中。

所以由a'+b'=c'可得=16,所以a'=b'=8,

―=I

所以双曲线「的方程为ss.

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据四边形Q4EB为矩形以及双曲线的渐近线关于x轴对称，得到a=6是解题关

键.

8.已知函数〃x)=21mxe。“-2小in'+g判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有

()个.

①‘'的最小正周期为；

JT

②将函数4="的图象向左平移13个单位后，其图象关于y轴对称；

一(Cl

③函数'=)在区间口二上是减函数；

.X

④“函数-v="、।取得最大值”的一个充分条件是“-12”

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

/(x)=2sia(2x+—)

【分析】利用二倍角公式进行化简得-3,求出最小正周期；

利用左加右减得出g"'=为偶函数，关于「轴对称；

2x+^e(-.—)

322,函数单调递减；

AAr

一T«一=—卜1k”

令32,求出函数取最大值时x的集合.

【详解】由题意，

=x+=2sinxcosx+73(l-2sm:x)

=sm2x+y/3cos2x=2(：£in2x+cos2x)=2sxn(2x+-^-)

2/r

1/r

①最小正周期为2,正确;

r

②尸M的图象向左平移12个单位得到

2sjn[2(r+y^)+y]=2sin(2x+^)=2

g(T)=cos2x

g(-.Vi=2COS(-2AI=2cos2.1=g(c,

所以苧C为偶函数，关于y轴对称，正确;

,nn34

T6(.—.^+y6(-.—)

③当时,

(£当

j.=sm,在?：单调递减,

*-J=2sin(2x+—).—)

所以函数.3在1212上单调递减;

-X+—=^―+^kjr{xIx=^―+k冗、七w乙J

④令32,得到i12

{x|x=*){X|T=*+E.ZWZ)

并且

“函数】•=/(AI取得最大值，，的一个充分条件是“*12，，

故选：D

3x>0.

/(*)="X<6若函数g⑴=/(")-卜‘一3("R)恰有4个零点，则上的取值范

9.已知函数一工

围是()

-00,一口11(2£桢)-xx>,-l|U(0,2^)

A.B.\-)

c-oo.O)U(0.2^)D(-«.0)11(2^5.+00)

【答案】D

【解析】

、3)=3

【分析】由即山=°,结合己知，将问题转化为1'=1仆-一一|与IV有3个不同交点，分

‘="''*'三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

2-半3

【详解】注意到中一二°,所以要使g'—'恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

/(X)

Mx)=

令Mx)=IW,即4=|石-2|与11I的图象有3个不同交点.

了⑴Jx1.x>0

A(x)=-T-I-=

x<0

因为M1.

g)=3

当£=口时，此时丁=',如图1,「=’与111有1个不同交点，不满足题意;

当D时，如图2,此时】与'］、|恒有3个不同交点，满足题意;

当上＞0时，如图3,当j=?与J=T'相切时，联立方程得1：一履+二=0,

令△二（）得二一£一0,解得々=2石（负值舍去），所以匕＞2卢.

综上，上的取值范围为（―°）U（-V2,-wo）.

故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

第n卷（非选择题共105分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知（-+“二=i（i为虚数单位），则-仁.

由

【答案】—

【解析】

【分析】根据复数「，除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.

__»l+2i

【详解】因为所以2+,5,

所以

75

故答案为：

11.在I1'的展开式中，1的系数是.

【答案】-40

【解析】

【分析】写出二项式展开式通项，确定含1项的，值，代入通项公式求系数即可.

r.=q(2x3)w(-ly=(-iyAc;产”

【详解】由题设，展开式通项为、，

当r=3时,刀=-401，

'的系数是一4°.

故答案为：一40

12.已知直线L&V+8=。和圆x'+jJ=r'(r>5相交于AB两点.若|45卜6,则，的值为

【答案】5

【解析】

【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，九进而

利用弦长公式卜即可求得r.

【详解】因为圆心9°)到直线L禹'+8=0的距离Vi+3,

由|ZB|=可得6=2Jr'_4,,解得r=5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题.

13.甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中

的概率分别是0.7,06若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮

两次，则甲比乙多命中一次的概率是.

【答案】①.028②.03024

【解析】

【分析】根据独立事件的乘法公式可求得结果.

【详解】甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为°7Y1-°61=C7、°』=028；

甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次分两类：

①甲命中2次,乙命中1次，此时概率为07'xCxQ6x(1-0.®=0.2352；

②甲命中1次，乙命中。次，此时概率为°：'°7"=0067］，

所以甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是0二35二+。0672=03024.

故答案为：028；03024

14.已知实数三•」满足:一、二+、'=I,贝p十丁的最大值为.

【答案】2

【解析】

【详解】试题分析：因为小+『・。’=1,所以/+/=1+「，所以

(x+y)=l+3xvSl+3x——/d//会

V-J,即C+W,4,解得：-A-Sx+yS_,所以的最大值为

考点：基本不等式.

15.如图，在平面四边形MCD中，^B-LBC,AD1CD,2^42)=120,,AB^AD=1.若点3为

工上的动点，则云云的最小值为.

21

【答案】16

【解析】

(3⑸

—.BE=――--^―

【分析】建立直角坐标系，得出检•一-，利用向量的数量积公式即可得出

---*［。3

AEBE=t-■--

2,结合得出zl£BE的最小值.

【详解】因为4D~LCD,所以以点D为原点，方为、，轴正方向，皮为J轴正方向，建立如图所示的

平面直角坐标系，

又因为18=1：!(),,所以直线，必的斜率为易得I2

因为所以直线BC的斜率为3,

所以直线的方程为

令x=0,解得"6所以。(°，6,

设点E坐标为E(0/)，则yO.VJ],

l立_____21

又因为所以当‘了时，屈而取得最小值为T?.

【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程.

jD==2.5=—

16.在△ABC中，内角凡°工的对边分别是。，b,C,

(1)求。；

(2)求A.

(3)求皿3+2#的值.

3751

【答案】⑴6(2)14

4"

(3)

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理列方程求得

(2)利用正弦定理求得sin4.

(3)结合二倍角公式、两角和的正弦公式求得s"5+1用.

【小问1详解】

由余弦定理得/=。'+。'-%。8$3,aJ-2a-24=(a-6)(a+4i=0

解得a=6.

【小问2详解】

ab6277,3733VH

=・."=l.sinA="—=1

费ndsin3sinV327714

由正弦定理得~

【小问3详解】

，b'+c'-a'28+4-3628+4-36。

由余弦定理得次2x2V7*22x277x214,

所以sin(B+24)=sinBco$24+cosBsm2A

17.如图，在多面体幺8CDEF中，ZR_L平面4所。是平行四边形，且⑷)"5C,

ABI.AD,AD=AE-2,AB-BC=1.

(1)求证：CD1EF.

(2)求二面角力-DE-B的余弦值；

岂

(3)若点尸在棱。尸上，直线与平面BOE所成角的正弦值为3,求线段CP的长.

而

【答案】(1)见解析；(2)3；(3)CP=l.

【解析】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,

(1)求出CL■£尸的坐标后计算它们的数量积为零，从而可证明「0-LEF.

(2)求出平面二EE的法向量后求出两个平面的法向量的夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值.

(3)设尸(LlciOw’三求出而的坐标后求出而与平面D3E的法向量的夹角的余弦值后结合已

知的线面角的正弦值可得关于：的方程，求出，的值后可得°尸的长.

【详解】因为4EJ■平面•奶8,4Du平面H3CD,故4EJ_4D,同理

而4B1XD,故可建立如图所示的空间直角坐标系，

苴-01小0,1。Cfl.lO)2,0.0)£(0,0,2)

(1)丽=(LT0),而=(LLO),故丽而”，

故。。_LE尸.

⑵55=1-2.0.2)丽=(-2A0)

平面的法向量为翡，而‘45=1°，01,

设平面OBE的法向量为"=1vv'-।,

元丽=0J-2x+2==0

由必瓦=°可得14+】'=°,取1=1,则卜=”=1,

故'

/-Tn飞ABn2J6

广河＞雨飞=T

述

因为二面角工-DE-5的平面角为锐角，故其余弦值为3.

故CP=”1=1.

【点睛】方法点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为二得到，而线面垂

直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标

系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

CJ+==l（a>b>0）—

18.已知椭圆ab的短半轴长为1,离心率为-.

（1）求C的方程；

（2）设「的上、下顶点分别为B、Q,动点尸（横坐标不为0）在直线丁='上，直线28交0于点A1,记直

线DM,DF的斜率分别为占，弓，求用与的值.

—+=1——

【答案】（1）4（2）4

【解析】

【分析】（1）根据短半轴长和离心率求出a’，可得椭圆。的方程;

（2）设入”"「"'’求出点尸的坐标，利用斜率公式求出匕和生>,再相乘可得结果.

+1=a

【详解】（1）依题意可知b=l,a2,所以I',解得a

不r=1

所以椭圆c的方程为4

(2)依题意可知B(O.l),a0,-D,

与》="二］x=»

设M%..%）,则°”小，直线即：.％令F=-',得3o-I,即

产卢沙

.'•-I

k-k-？+】.七'。・1)

kDU=ki=止!二一一0X。

、。，了。7,

J'。+[3。丁1)_30i-l)_3X(3

小£叼k----------------=j_-----~5--T-一\—二

所以A0Ao4'o4.

19.己知14｝为等差数列，但｝为等比数列，/=4=M=5(&-&)&=4(4-&I.

(1)求1％;和佳」的通项公式；

(2)令G=7①，求数列：J；门前11项和7；

(3)记4=7(7.血(4*°).是否存在实数4,使得对任意的"6N,恒有心＞4?若存

在，求出彳的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】⑴4=",»=

(2)n-("-D丁+1

(3)见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出I。」和1°*；的通项公式；

(2)由(1)得:’-,应用错位相减法求前〃项和,；

(3)由⑴得4=-7一二”,要使题设不等式恒成立即'在"6N上恒成立，讨论”

的奇偶性，判断是否存在I使之成立.

【小问1详解】

若(4；的公差为结合题设可得：=：记，又％=1,故1=1,

若色；的公比为q且＞结合题设可得：如'=4地、。-丁1,又句=1,故《=],

【小问2详解】

由(1)知：J-"一，

.T=f,+c++c,=l7+2?+32;++ny'

:

A27；=1?+22+32'++(»-0?'+M2\

-Z=l+T+2'+.+T'->i2"=(1-冷T-1

以上两式相减，得：1-?

【小问3详解】

由题设，4=3*-(・？).X,要使任意”eN恒有d-i>d,,

则(-2)z4<3""恒成立

M挛■-1

N1r

当〃为奇数时，恒成立，而(d4,故当Nv1且4Ho时，存在"eN使其成立;

I2

当〃为偶数时，c恒成立，而故当？且2工。时，存在"€N使其成

立;

--.0u(OJi

，使得对任意的"eN,恒有dz>口

综上，存在实数

/(X)=alnx+—xJ-(a+3)i.a€R

20.已知函数.2

(1)若曲线J―仆)在点OJO'处的切线的斜率为4,求。的值；

(2)当。>