山东省潍坊市2022-2023学年高三年级上册期末数学试题（解析版）

试卷类型：A

局二数学

2023.1

本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

L答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合”=卜7刃，3=印-4之。｝,则集合()

A.1-1B.1C[L?)D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化简集合A,B,再利用补集、交集的定义计算作答.

【详解】解不等式卜得：1SX43,则4=[L3],

解不等式二-420得：1之2,则3=[二+°°),QrB

所以.SiGBEiQ

故选：C

2.若复数二满足--，贝忆4()

12.12.1「一12.

A.55B.55c.55D.55

【答案】D

【解析】

【分析】首先计算1皿=1,再利用复数的除法运算求二，再根据共轨复数的定义求解.

【详解】1皿=产、,

_r_r(2+i)J—=]%

所以:二有二仁7|(1+|「丁二§一二,

12.

r=-+-t

则55.

故选：D

3.已知函数[x.xvsinx.则1.6J（）

x.73

A.6B.TC.2D.T

【答案】B

【解析】

2＞nn^/⑶

【分析】根据。5再利用分段函数定义即可求得（6）的值.

n一n1

—Nsin-=-

【详解】由题意可知，b62,满足12”nx.

/f—=HD—=—

所以⑺62.

故选：B

4.若一组样本数据”、“2、…、。的平均数为10,另一组样本数据M+4、2.TJ+4...

的方差为8,则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）

A.17,54B,17,48C,15,54D,15,48

【答案】A

【解析】

・«

Vx

【分析】计算出H'、=的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.

1""

一2%=102七=1。神

【详解】由题意可知，数据”、4、…、I的平均数为10,则"七,则二

所以，数据二.+4、1为+4、…、+[的平均数为

=+4）=二+4=2x10+4=24

案+4）-牛可奈…W——xnxlO3x-V-400s8

方差为nni

2＞；=10%

所以，i

将两组数据合并后，新数据、、％、…、4、＞】+4、2》）+4、…、二、+」的平均数为

1■\1

=；工、+4=：（37。+4）=17

丁'1£（改-】7『+宓28+4-】71=二（5为〈一86力8+45即］

方差为-71-\「】「】

=—（5xl02«-860n+458n）=54

%

故选：A.

5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中

酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角

垛，底层是每边为〃个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当

2,3,4时，圆球总个数分别为1,4,10,20,则"=5时，圆球总个数为（）

【答案】B

【解析】

【分析】求出底层个数，加上前4层总数20即可.

【详解】当〃一：,2,3,4时，圆球总个数分别为1,4,10,20,

所以当〃=4时，每层圆球的个数分别为1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

(1+5)X5

1+24-3+4+5=-------------=15

可得,"=5时，底层有

故一共有20+15=35个球.

故选：B

6.已知正三棱锥尸的侧棱长为方，点E,尸分别在线段FC,3「（不包括端点）上，且

EFPB,乙壮F-90・，若点M为三棱锥尸-,45。的外接球的球面上任意一点，则点到平面

.45C距离的最大值为（）

4次3

A.3B.4C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】画出图形，结合图形辅助线，利用已知条件说明线面垂直，找出球心，建立直角三角形中相应的

关系，建立等量关系，解出三棱锥外接球的半径，根据图形分析最大值即可.

【详解】取为「的中点D,连接3DFD,如图所示：

p

在正三棱锥尸-43。中，EA=尸日=尸。=

所以尸DJ_47,

下底面为等边

所以BD_L4C,

由PDcBD-D,

所以J•平面月8D,

又尸Bu平面尸8D,

所以P8_L47,

因为即PB,ZX5F-90',

所以短，呼，

所以,45_LF8,

由，超CMC=.4,

所以PB_L平面尸

又HFu平面EXC,

所以PB1PA,所以3尸8=90°,

犯=BC=AC=4Pd+PB'=.扃+|6；=#

设三棱锥的外接球球心为。，75c外接圆的圆心为q,

连接产a•月.，月。，则在正三棱锥中，底面为正三角形,

所以q一定在8。上，且。一定在比1上，

同时尸aJ•平面/5。，

在入西「中由正弦定理得：

2Ao「§^=4=2军nAO「邪

sin60

在中，股=，4二尸3="肉’-（©’=1

3

在RtAOZQ巾AO=AO^OO^=（0广+1Poi-POf

IX,十，，

设球体的半径为R,

相="（1-R）'=*=2+】・2R+*=R=三

所以2,

殁=『。「尸。|=1-翡?

所以--,

所以三棱锥尸一，钻，的外接球的球面上任意一点〃到平面距离的最大值为:

殁+匠=架=2

故选：c.

7.已知。为坐标原点，A3是抛物线寸=4T上的动点，且Q4_L08,过点。作0H_L43,垂足为

月，下列各点中到点目的距离为定值的是（）

A.（L。）B.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可设直线&的方程x-"n、+”，联立抛物线方程再利用Q4_L°B,可得，i=4,法

：可知H在圆上运动进行判断，法二再由W48得出0H的方程为尸=一巾1,解得

，代入选项逐一验证是否为定值即可得出答案.

【详解】法一：设直线.拈方程为XF+"，"彳川凯不"

联立直线和抛物线方程整理得『一』“丁一」"=°,

所以."+.»=4m,丁＞匕=-4力

城乃'A

又。4_LOB,即。4・。8=0,所以44可得“、=一16,即”=4；

则直线A3、=可'+4过定点D（4,0）因为OH1AB,则点〃在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD

中点（2,0））,故（2,0）到”的距离为定值

故选：B

J4（-,n），3（"[・心）

法二：设直线&方程为XT节+L4•"4

联立直线和抛物线方程整理得/一」F'・+；二°,

所以】、+=4加,.iv'j■y”

X+_Q

又。4_L08,即。4・。8=0,所以4*4+3^3~可得》g=-16,即〃=4；

(4-4m、

HJ3

又因为。打LAB,所以。月的方程为丁=一所、，解得\m+rw»+1>

4丫+（・4加丫Jwi，+10w，+9

“0到点月的距离为W川+iJ〔一+1"+i不是定值;

对于A,

V4m*+8wJ+4

1,°）到点的距离为J

对于B,Hm+l为定值;

y/5m*+16w,+18w3+16w+13

J3

对于C,到点，的距离为m+Lm+i不是

定值；

y/5>n*+8mJ+10IW1+8>n+5

/*>n

对于D,到点H的距离为不是定

值.

故选：B

【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之

积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.

8.已知定义在E上的函数•'（”满足"°）=1,对Yx,PWR,有

目工1

£।_

2023202420232023

A.4050B,2025c,4048D.五T

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可推得/⑴令J'=l,得出/（X+】）=2〃X）T.设4=/向，"€干则

11____1

。・「5+）=m-（”+1）］,由可得+1又/⑺仆代入求和

即可得出结果.

【详解】令x=F=°,由已知可得/⑴⑼+?=；

令'=1,由己知可得了心、+1）=/⑴/⑴T⑴一*+2=-/（二）一、，

设4=财7・,1=Z,-"，整理可得++

又用=2,所以(岸+、=?[。・一("+11]=°,所以4="1.

]_]_[_J____1_

贝卜〃44&U+1)(1+2>i+1/+2

w1111111112023

所以七233445202420254050

故选：A.

【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函

数关系式.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于下列命题中，说法正确的是()

A.已知X~B(")，若司乃=3。，切工)=，则P=：

B.数据91,72,75,85,64,92,76,78,S6,79的45%分位数为内

C.已知少”，若尸-1)=乙则尸—S°)《P

D.某校三个年级，高一有40°人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取，7人，已知从高一抽

取了10人，则应从高三抽取19人.

【答案】BCD

【解析】

_£

【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得‘-3,知A错误；将数据按照从小到大顺序排

序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层

抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.

3(万)=叩=30,«

【详解】对于A,(D(X)=np|1-p)=201p~3,解得：P~l,A错

误；

对于B,将数据从小到大排序为64,72,75,76,78,79,85,86,91,92.

•.•10x45%=4.5,145%分位数为第5个数，即内，B正确；

对于c,n~N(0J,

---C正确；

对于D,•.♦抽样比为40020,高二应抽取20人，则高三应抽取5丁-工，-15=19人，D

正确.

故选：BCD.

io.在棱长为i的正方体co4弓口加中，点尸为线段乂A（包括端点）上一动点，则（）

A.异面直线月工；与44所成的角为

B.三棱锥外-尸301的体积为定值

C.不存在点P,使得心上平面PCD

D.网+尸C的最小值为3+#

【答案】AB

【解析】

【分析】证明得到4G"71c求出」D/「=6C「，即可得出A项；证明皿〃平面三。匚瓦，然后求

出一3-66,根据等积法即可求出B项；取乂4中点为p,

可证明平面尸CD,即可说明c项错误；将4员编和A。•也展开到同一平面，当点P为

映.交点时，尸3+FC有最小值.在HBC中，由余弦定理求出BC'=3+#,即可得到最小值,

说明D项错误.

【详解】图।

对于A项，如图1,连接3".因为皿/C,g都是正方体面对角线，所以皿=AC=CI\

所以是等腰三角形，所以4）/0=60".又44"CG且所以四边形是平行四

边形，

所以4G〃4。,所以异面直线段与4cl所成的角即等于皿与4c所成的角C=60',故A项

正确；

对于B项，因为沏且检=0a,所以四边形是平行四边形，所以皿

因为3GU平面4R（z平面BGC14,所以皿〃平面瓦.

所以点尸到平面S°禺:洗巨离即等于点A到平面BcciBi的距离

&_IS-«M='1-x5x5x5lC\=:

l\x.=—xAfixSx.=—xABxxAC,=—l\=—

所以366,又6是个定值，故B项

正确;

图2

对于C项，如图2,取皿中点为尸.因为04=皿，尸是心中点，所以0P上股.

又由已知可得，8,平面心44,皿U平面忿)44,所以CDJ•①.又CDCD尸=D,

且COu平面尸CD,DPu平面尸CD,所以皿■*•平面尸CD,即存在点尸，使得曲■*•平面

PCD,故c项错误;

图3

对于D项，如图3,将0明和二匚码展开到同一平面，当点P为心4。交点时，尸5+P0有最小

值.

因为忿1=＜。="\=上，所以二°/。=60*,又NA4R=90',所以NfiAC=］50,.在a姐C*

中，

=3+4"

由余弦定理可得，5C3=AB3+AC1-2ABA?cos150*

所以产B+尸C的最小值为加存，故D项错误.

故选：AB.

，/、aJ-(x+2)(x-6)

〃x)=工'-)

11.已知函数5+二十"6-，，其中，7为实数，则()

A.’”的图象关于r对称

B.若''F在区间［二』上单调递增，贝卜,口

C.若;•；=［，则‘,V的极大值为1

D.若则一”的最小值为。

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可得函数定义域为卜？•6］,由=可得人正确；将函数整理变形，构造

(Jx+2+&-x4

函数•二十一J-求导可得其单调性，再利用函数单调性即可判断B错

误；当。=1,由的单调性可知在X=1处取得极大值为1,即C正确；若加＜0,同理可得

'”的最小值为。，所以D正确；即可得出正确选项.

【详解】由题意可知，函数的定义域为卜［6］,

_a'_16-x)(一」-与af(x+2)(x*-6)

则47€卜,6］,所以14—"=k+k=k+g

可得对于［'［-'bl门4-…/E,所以"的图象关于、对称，即A正确；

aJ—(x+2)(x—6)//、aJ6-xyJx+2/Jx+2+J6-x4

由./■+!+、-；可得Jx+2+j6-xI--1+2+J6-Xj

Vx+2+j6-x4

令g("=2E+g,，6卜,6］,

当"e【26］时g'(x)＜0,函数*(*)为单调递减;

根据函数单调性可知，若在区间［一』上单调递增，则：：、0,故B错误;

1/、Jx+2+J6--4

/(x)=g।x)-------------------------——.

当a=l,则2W77+后；，

所以/⑶在i・2处取得极大值/m=i,

即''”的极大值为1,故C正确；

若白＜°,根据函数单调性可知'(、)在区间「［二］上单调递减，［,6］上单调递增;

所以-D在处取得极小值，也是最小值,

所以“<°,则一”的最小值为。，即D正确;

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过观察函数特征，将函数•门”改写成

〃加v4—y/x+2+2-yj6-X「Gw4J

再通过构造函数

/\〃+2+出-X4

11

g(=------；-----------，/T

、八1+_—+Jrb——-\,结合参数。的正负利用导数研究函数「।的单调性和极值

即可.

_1<<<_i<

口.若数列:“满足的・$1',则称数列SJ为“差半递增，，数列，则

()

A.正项递增数列均为“差半递增”数列

B.若数列1°.的通项公式为4二q'q,则数列〔4；为“差半递增”数列

C.若数列〔°*；为公差大于0的等差数列，则数列1°*'为“差半递增”数列

D.若数列为“差半递增”数列，其前八项和为S”，且满足Z=%。一二""一’，则实数r的取值范围为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用数列1,4,5作为反例可判断A选项，利用作差法结合等比数列的通项公式比较得

11

^一一

-可说明B选项，利用作差法结合等差数列的通项公式比较得

I(I)

a”]——>4__—(\

J可说明C选项，根据％,■的关系求出数列d-通项公式，再根据“差半递

增”数列的定义列出不等式可求。的取值范围，从而判断D选项.

【详解】对于A,假设一个正项递增数列为：1,4,5,

则.

不满足“差半递增”数列，A错误;

对于B,因为q=q"国

因为g>i,所以函数'二二/一汨+i单调递增，所以当丁>]_«+[=°,

1a»♦「7a）>/4-：7一）f\

即'：）'-）恒成立，所以数列L%，为“差半递增”数列，B正确;

对于C,设公差d>o,a.=%+ST）d,o,4=«,+（»-2）d,&“=%+〃”

a.—o»_i=」+-"d.a*.——CL="+-+­d

所以"2i222^222,

（1W\}

Ia”[■T*^tI>Ia.—彳f\

所以l;>v-J,数列为“差半递增”数列，C正确；

对于D,因为2=4-"-',所以，=SI=%-4T,所以/=4+f,

当"2]时，a~S-S-2a-2a-），

所以4-所以丁I。1

所以数列图为等差数列,公差为1,所以等吟—“

=2"（»+1/+1）

q

所以

所以对任意“eNj：C*1铲）>1"2"力，即

2**\n+—t+2）—-]"（万++1）〉丁伪+不，+1）（万+：r）

&”+—f+2)-2(n+—/+1)>4(浦+—z+D-(万+L)

所以.？222,

-6n-20

t>--------

所以3,因为“eNM：

-6〃一？032

所以当％=2时3有最大值为T,

32

£》——

所以3,D正确；

故选:BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图所示，A,B,0,D是正弦函数r-nni图象上四个点，且在A,「两点函数值最大，在

B,D两点函数值最小，则

【答案】1%'

【解析】

【分析】由图象得出各点的坐标，进而表示出向量，根据向量以及数量积的坐标运算即可得出答案.

【详解】由图象结合正弦函数可得，）,V-）,\-）,-）,

所以=I2兀0)OC+OD=(6n.O)

（E+而）（而+而）=2nx6n=12-

故答案为：口兀.

14.已知函数」।=%11'+'cos;且"1-6由对任意工£R恒成立，若角£的终边经过点

尸（4.m,则雨=.

【答案】3

【解析】

【分析】由辅助角公式得e表达式，后可得答案.

［详解］/(T)-3flnx+4cosx-5sin(K+，i其中t瓯**,

=5+2bi.keZ^6=--<p+2hi>kEZ

则.*22,

tan^=tan彳-1=j-■~=~—=—^m=3

则I-Jtan。4,则44

故答案为：3

15.写出一个同时满足下列三个性质的函数.

①”是奇函数；②/'"在।’.81单调递增；③/<'］有且仅有3个零点.

【答案】x［x+l)(x-1)（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证

单调递增即可写出解析式.

【详解】由“"是奇函数，不妨取二°,且函数图象关于原点对称；

又有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，

若保证/（*）在（2*8）单调递增，显然〃满足.

故答案为：-h（答案不唯一）

C'->6>0）_

16.设双曲线/的右顶点为A,过点A且斜率为2的直线与。的两条渐近线分别

交于点尸，Q.若线段的中点为M,5，则.的离心率@=.

屏

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意可得出直线方程，与渐近线方程联立解得交点尸，。的坐标，再根据中点坐标公式求

J2ab3},.J?d

出,4.-b丸-b由直线斜率为2以及I5利用余弦定理解得5,再利用

两点间距离公式可得关于的方程，解得I」-s即可求得离心率.

【详解】由题意可知双曲线的两条渐近线方程为」=

过点A且斜率为2的直线方程为〕'=-,

，=2,=_6

不妨设直线】二一'：|与渐近线‘-a’交于点P,与渐近线‘-交于点0

a如下图所示:

同理得（勿+丁为+所以改的中点“为1"一"4a'-"

、c…立

设过点A且斜率为2的直线的倾斜角为a,Bptaiia=2,可得

J5

cosZOAM=_cosa=—~­

所以5,

0/=04、6-2x04x■xcos/O4A/==

由余弦定理可得5

(2abJy8/

14aL%T

叵

故答案为：3

【点睛】关键点点睛：求解本题离心率问题时，关键是联立直线与渐近线方程解得交点尸，。的坐标得

出中点”的坐标，再利用斜率以及由余弦定理找出等量关系，建立关于°力的方程，即可求得离心

率.

四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列满足勺=1,“7+丁"'N*）

（1）证明：数列।%+”是等比数列，并求数列1°.的通项公式;

（2）设&=（T）-（4+1）,数列传■｝的前〃项和为工，求工.

【答案】（1）证明见解析，4=y-L”eN*

字,”为奇故

4

2.〃为我敢

（2）4

【解析】

【分析】（1）根据递推公式将其分解整理可得小♦】二:4+1,两边同时加1即可证明数列〔&+】是等

2=（一】17

比数列，根据等比数列通项公式即可求出数列t’A的通项公式；（2）由（1）可写出2,分

别对“是奇数和偶数两种情况进行分类讨论即可求得结果.

【小问1详解】

将等式右边分解得“7(4+>=(%・+1)(4+)

因为已知牝所以优+1,

所以%.+l=1q+h,

所以数列是首项为例+】=2,公比为2的等比数列,

所以4+】=(%+D

即--―.

所以数列'的通项公式为4=/一】，"亡N*

【小问2详解】

4=(-1门。g.丁=(-］「7

结合(1)知

一力—1”—

--—.〃为奇数

4

4=

2.〃为偶《(

所以数列作」的前项和4

18.在锐角三角形3C中，内角4的对边分别为。，b,c,已知

cosCsin(^4-B)=cos5sin(C-^4)

(1)求tan4的最小值;

(2)若tan,4=［，a=475,求c.

【答案】(1).

⑵c=§75"或3\/iF

【解析】

【分析】(1)利用两角差的正弦公式展开整理可得二cos°co$3=CO£4,再利用三角形内角关系化简

得tan8tanC-3,由锐角三角形,45。可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得tan.4的最小

值；(2)根据tanH=2可求得tan(7=l或tan0=3,即可求出角0的正弦值，再由不利用正弦

定理即可求得c.

【小问1详解】

由已知得c°$C(s1n8-cosAsinB)=cossinCeosA-in>4)

整理得2cosCsinAcotB=cosAMA,

因为sin4>0,所以2cosCeos3=cos.4,

又因为cos4=-cos(5+C)=-cosBcosC+sm5sinC

所以sin36m(?=3cosceosB,

可得tanStan〔'■3,

44/.zvitan3+tanCtan3+tanC、/—=---/r

tanj4=-tan|BB+C)=------------------=-----------------NjtanBtanC=J3

tan5tanC-l2

当且仅当t809=5C=有时等号成立,

故tan4的最小值为，.

【小问2详解】

由(1)知tan<=2,所以tanB+tanC=4,

又因为tan8talic-3,所以tanC=l或tanC=3,8分

sinC=——c----smCx5-/2

当tan(?=l时，二，由正弦定理得sin.4

3Vli0a__cTT

__sinC=-------c=------sinC=3vi0

当tanC=D时，10,由正弦定理得sui^4

综上，<-=5右或

19.一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为3,三个红球

1

一个白球的概率为3.

（1）从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；

（2）现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为彳，抽到三个小球的概率

1

为Z,所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记-1分，用x表示抽到的小球分数之和，求x的分

布列及数学期望.

【答案】（1）12

5（X|=—

（2）分布列见解析，16

【解析】

【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可；（2）由题意先找出随机变量X的

值，分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望.

【小问1详解】

记事件A表示“抽取一个小球且为红球”，周表示“箱子中小球为两红两白”，耳表示，，箱子中小球为三红

一白”，

*>1137

=点用）氏/I鸟）+户段）尸（川号）="x-+-x-=—

则323412.

【小问2详解】

由题意得X的取值可以为一），0,1,3,4,6,

111

P^s0)=r_xr_

211,1137

P।Xv=3)=x—xx

34234448,

随机变量X的分布列为:

X01346

1111751

P

n1224482448

所以工的分布列及数学期望为:

E।A।=|-2)x+。x+lx^-4*3x^―+4x^―+6x^-=^―

12122448244816.

20.已知三棱台4夕£-加C中，丛•*■底面用C,AB=AC^2,M=45i=1,阳，4°1,

E,尸分别是3C,3%的中点，。是棱4cl上的点.

小

A

B

(1)求证：HOLDS'；

(2)若D是线段44的中点，平面。E尸与44的交点记为M,求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)13

【解析】

【分析】(1)利用底面3。，,明，4。1以及棱台的几何特征即可证明4?_L平面儿&区8,

再利用线面垂直的判定定理证明工平面即可得出结论；(2)首先由几何关系确定M的位

4MH二

置，即3,再建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得面角入!一月0-3的余弦值.

【小问1详解】

如图所示：

取线段A5的中点G,连接4」，EG,易得口4ER,所以G,4,。四点共面.

因为盟"LAG,44〃/。，所以盟_L4C,又因为M_L底面"c,4Cu平面而

所以阳_L/。，因为检cA4=4,用u平面以时，Mu平面附用8,

所以4CJ■平面58,

因为E,G分别是BC,34的中点，所以MG.47,所以EGJ•平面4兄

因为44U平面以43,所以4瓦_1_33

因为乂4=44=/G=1,44AGt

又因为制L4G,所以四边形外国。是正方形，所以徵L《G,

又因为EGPI4G=G,屈3U平面4「EG,4Gu平面4DEG；

所以M_L平面4DEG,因为DEu平面40EG,所以留_LDE.

【小问2详解】

延长^尸与C】马相交于点0,连接。。，则DQ与的交点即为

由尸，E分别为踢和RC的中点知M为线段4M的三等分点，且4"一3,

由(1)知4c-L^,所以NC、AB、4两两垂直，

以点A为原点，ZC所在的直线为二轴，至所在的直线为.「轴，且为所在的直线为二轴建立空间直角坐

标系工一。〜

。(20.0)而=(2,0,0)■=［弓1)

'2a=0

设平面M4C的法向量内=(6也。)，则+。一一取b=-3,则％=10「3二)

易得平面ZBC的一个法向量％=(°，°」।,

设二面角八/一4(?一3为8,由图易知d为锐角，

所以二面角M-AC-3的余弦值为13

C,-f+J=l(a>6>0)ppr/T。(",一三)

21.已知椭圆。i的左，右焦点分别为“，八,焦距为-J，，点K〃在

C上.

(1)P是。上一动点，求朗M的范围；

(2)过C的右焦点吊，且斜率不为零的直线，交c于M,N两点，求一月时7'；的内切圆面积的最大值.

【答案】⑴卜二』

K

(2)4

【解析】

士+«3-1

【分析】(1)结合焦距及点°坐标，求得椭圆c的方程：T3~,设点尸('丁|,得

耳两

4-一,结合椭圆有界性解得范围即可；

(2)设直线；的方程为1:“尸+6联立椭圆方程结合韦达定理得】、+”,】口、，利用等面积法求解内切

圆半径，进而求得内切圆面积.

【小问1详解】

由题意知。=相，所以a'=V+3.

将点。J代入6’+3^^-1,解得b=l,所以椭圆°的方程为：~4+y=1