人工举升理论第10讲有杆泵预测技术

人工举升理论吴晓东第12讲有杆泵预测技术概述有杆抽油系统是目前国内外的主要采油方式。由于其抽油机－抽油杆－抽油泵系统的复杂性，直到上世纪四十年代后，才开始对它进行系统的理论研究。有杆抽油系统行为预测，指在已知抽油机－抽油杆－抽油泵系统和井下工况的前提下，对该系统各部分的静态和动态特性进行分析，以便对该系统参数及各部分进行设计计算和选择。在所有的已知参数中，光杆示功图是最重要的判定材料之一。预测技术的发展简化公式近似公式API方法预测模型上世纪20-30年代1967年1963年到现在起初，人们对抽油机悬点载荷采用近似公式计算。例如只考虑杆柱在空气中重力和液体的浮力，杆柱动载是按悬点近似简谐运动计算的。原苏联威尔诺夫斯基根据振动理论推导出考虑了抽油杆弹性影响的悬点动载计算公式，并计入了液柱动载对振动的影响。美国“中西部研究所”也于上世纪六十年代完成了关于抽油杆模拟计算的一些成果，也就是目前的API方法，即1967年公布的APIRP11L“API有杆抽油系统的设计计算推荐方法”。1963年，S.G.Gibbs提出了杆式抽油系统的预测模型。1987年，D.J.Schafer和J.W.Jennings解决了多级杆及混合杆柱的设计问题。1983年，D.R.Doty和Z.Schmidt提出了同时考虑液体运动和抽油杆运动的预测模型。1989年，余国安等提出了同时考虑抽油杆、液柱和油管运动的预测模型。上世纪40-50年代API方法中西部研究所将有杆抽油系统设想为如下图所示的近似机械系统，即弹簧－质量－阻尼系统。弹簧模拟抽油杆的弹性，集中质量模拟抽油杆的质量，阻尼模拟作用于抽油杆的摩阻。然后采用电阻、电感、电容和导线组成的电路模拟这个近似机械系统。有杆抽油井的近似机械系统在模拟过程中作了如下假设：普通型游梁式抽油机；相对低转差率的电动机；钢制抽油杆，若抽油杆随深度变细（无加重杆），则模拟的是多级杆；模拟正常的井下摩阻；泵内完全充满液体；油管锚定；抽油机是平衡的。抽油杆柱振动特性分析：杆柱的固有频率是影响有杆抽油系统的唯一重要因素。杆柱行为可以由以下两部分组成：杆柱在顶部受正弦激励，底部自由；杆柱在顶部固定，底部承受正弦位移。该位移的幅度和相位必须使泵处的等效力和位移与简化前泵处的力和位移相等。如下图所示：杆柱运动的力学模型该力学模型可进一步简化为下图所示。力学模型的进一步简化（一）直杆的振动特性情况Ⅰ在不考虑重力和阻尼力的情况下，由力的平衡原理可以写出无阻尼波动方程：（一）直杆的振动特性情况Ⅰ顶部边界条件为：底部为自由端，其边界条件为：根据两个边界条件，可解得：——应力波（或声波）在杆中的传播速度，m/s。（一）直杆的振动特性情况Ⅰx=L处的位移为x=0处的力为（一）直杆的振动特性情况Ⅱ杆柱在顶部固定，底部承受正弦位移的数学模型同上所示，只是边界条件不同：根据以上边界条件，可解得：（一）直杆的振动特性情况Ⅱx=0处的力为x=L处的力为（二）多级杆的振动特性下图是一个二级杆图。两个无阻尼波动方程为（二）多级杆的振动特性情况Ⅰ杆柱在顶部受正弦激励，底部自由的顶部位移是：底部受力为零在一、二级界面处的位移和力必须相等（二）多级杆的振动特性根据四个条件，解波动方程就得出二级杆的位移方程：情况Ⅰ（二）多级杆的振动特性情况Ⅰx=L处的位移为x=0处的力为（二）多级杆的振动特性情况Ⅱ杆柱顶部固定，底部受一简谐位移激励的情况，边界条件为：在一、二级界面处的位移和力必须相等（二）多级杆的振动特性情况Ⅱ根据四个条件，解波动方程就得出二级杆的位移方程：（二）多级杆的振动特性情况Ⅱx=0处的力为x=L处的力为有杆抽油系统的预测模型通过数以万计油井的实践，证明API方法是可行的，但由于该方法的诸多假设前提，使得在特殊情况（既不符合或不完全符合假设前提）下的应用存在一定偏差。针对该方法存在的一些问题，S.G.Gibbs于1963年提出了有杆抽油系统的行为预测模型，并于1977年进行了总结归纳。预测有杆系统的行为包含描述杆柱运动的偏微分方程、边界条件（包括光杆运动条件及井下泵的抽汲条件）和初始条件。这构成了用以描述有杆抽油系统动态的基本数学模型。杆柱运动偏微分方程为抽油杆柱运动力学模型上式经过数学变换及简化，可得下式：式中为井液对抽油杆阻尼系数。它是一个线性二阶偏微分方程（双曲型）。Gibbs方程根据牛顿前差分公式：得出牛顿中心差分公式：方程的有限差分解：同理得：带入Gibbs方程，化简得到：方程的有限差分解：有限差分格式动载荷：对悬点载荷，采用牛顿前插公式：对泵处载荷，采用牛顿后插公式：静载荷：位移：第i级杆下端的静伸长为：泵处的静位移：第i级杆下端的静位移：令v=0，可得Hornbeck指出，有限差分解的Ui,j项的系数如果是负值的话，则其解是不稳定的，所以有限差分解的收敛条件是：收敛条件：即在确定初始条件时可以以静位移为初始条件，也可以假定任意的初始条件例如零初始条件，一般经过3-4个循环就可以收敛到稳解。停止循环的条件是上边界条件可以根据抽油机几何运动特性求出。初始条件和边界条件：1、初始条件：2、上边界条件：3、下边界条件：下边界条件则以泵的抽汲特性给定：当时，有初始条件和边界条件：当时，泵的状态成为当时，泵的状态成为这意味着井下泵自由，不受载，它是下冲程游动凡尔打开的状态。这意味着泵在某个位置固定不动，它是在液体载荷传递过程时的状态。这意味着净载荷作用于柱塞上，它发生在上冲程固定凡尔打开后。游动凡尔关闭时间t1校验初始条件和边界条件：当时，且由正值改变为负值时，说明泵已到达下死点，游动凡尔关闭。

4、凡尔校验：固定凡尔打开时间t2校验当，时，说明载荷已全部作用于柱塞上，此时固定凡尔打开。

描述泵工作状况下边界条件的方程差分形式为当，抽油杆底部受拉力，校验发现当时，且当符号由负值变为正值时，说明泵已到达上死点，此时固定凡尔关闭。

固定凡尔关闭时间t3校验初始条件和边界条件：游动凡尔打开时间t4校验时，液载已全部转移到油管上，此时游动凡尔打开。

初始条件和边界条件：5、差分网格：波动方程数值解的差分网格6种不同泵工作条件：(1)油管锚定，泵全部充满的单相抽汲；(2)油管未锚定，泵全部充满的单相抽汲；(3)油管锚定的双相抽汲；(4)油管未锚定的双相抽汲；(5)泵排出部分存在漏失时的双相抽极；(6)油管锚定，泵排出部分存在漏失的单相抽汲。六种边界条件模拟示功图下面给出了针对游梁式抽油机、单级杆柱、泵充满系数为100%条件下的一组无因次关系曲线。无因次柱塞冲程曲线无因次光杆马力曲线无因次光杆最大动载曲线无因次光杆最小动载曲线API方法和预测模型的应用对比适用范围API方法预测模型抽油机常规式无限制电机低转差率电机无限制杆柱钢抽油杆钢、混合杆、加重杆泵况油管锚定、液体充满无限制无因次柱塞冲程对比曲线无因次柱塞冲程对比曲线图中：a一S=3的四连杆运动；b一S=1.8的四连杆运动；c一有二次谐波的简谐运动；d一简谐运动；e一API曲线。由对比曲线可知：（1）预测做出的曲线一般比API曲线偏高；（2）悬点运动规律的改变较大地影响系统的工作状态，所以做出的曲线不重合；（3）无因次曲线b与c非常一致或接近，这说明两者悬点运动规律近似，适当地加长连杆长度及减小曲柄半径，使悬点运动规律更近似于简谐运动，从而可改善杆柱受力状况；（4）对应不同悬点位移函数的数值模拟求得的无因次柱塞冲程曲线，均在N/N0=0.25处出现极值点。考虑液体惯性的预测模型液体惯性对抽油系统运动有一定的影响，特别是在浅井大泵大排量的情况下，影响较为明显。D.R.Doty和Z.Schmidt于1983年提出同时考虑了液体和抽油杆运动的数学模型。该模型基于三点假设：油管锚定液柱不包含气体低转差率电机由力的平衡可以得出抽油杆运动模型：杆柱与液体运动力学模型式中：——抽油杆速度，m/s；——抽油杆内力，N；——液体对单位长度抽油杆的阻尼力，N/m；——液体对抽油杆接箍的阻尼力，N/m。根据虎克定律得到抽油杆内力fr，并对时间取一次偏导数可得：根据力的平衡条件可得液柱运动模型：杆柱与液体运动力学模型式中：——液体密度，kg/m3；vf——液体速度，m/s；pf——液体压力，N/m2；At——油管内孔面积，m2

；Ar——抽油杆面积，m2；Fft——油管内壁对单位长度液柱的阻尼力，N/m。连续方程为液体密度是液体压力的函数抽油杆的阻尼分为三部分：液体对单位长度抽油杆（不考虑接箍）表面的粘性阻尼力Frf；液体对接箍（折合为单位长度抽油杆）表面的粘性阻尼力Fcf；油管对单位长度抽油杆的摩擦力Frt。阻尼力计算：式中：Dt——油管内径，m；——液体压力，N/m。选取驴头下死点为起始点，这时地面边界条件初始条件和边界条件：1、初始条件：2、边界条件：地面边界条件有悬点速度vr(0,t)和油管压力pf(0,t)：井下边界条件初始条件和边界条件：1）游动阀和固定阀均关闭：2）游动阀关闭，固定阀打开：3）固定阀关闭，游动阀打开：校验固定凡尔打开初始条件和边界条件：3、凡尔校验：校验游动凡尔打开校验双凡尔关闭如果以上两个校验都不满足，则说明双凡尔关闭。已经计算的值fr、vr、pf和vf都是正确的。液柱对杆柱运动的影响：1、液体粘度的影响：液体粘度对泵冲程的影响可以看出，泵冲程随粘度的增加而下降。因为粘性阻力耗散了一部分系统能量。液柱对杆柱运动的影响：1、液体粘度的影响：液体粘度对悬点最大载荷的影响液体粘度对悬点最小载荷的影响可以看出，悬点最大载荷随着粘度的增加而略微增加，但是当粘度很高时，由于泵冲程的减小，使悬点最大载荷略为下降。最小悬点载荷随液体粘度和泵速的增加而减小，这是由于冲程粘性阻尼力方向向上所致。液柱对杆柱运动的影响：2、液体惯性的影响：液体惯性对泵示功图的影响液体惯性对光杆示功图的影响由于液体惯性，减少了泵冲程、增加了光杆载荷与光杆功率。液柱对杆柱运动的影响：2、液体惯性的影响：液体惯性对泵冲程的影响液体惯性对光杆功率的影响液柱对杆柱运动的影响：2、液体惯性的影响：液体惯性对柱塞载荷的影响可以看出，随着泵速的增加作用于柱塞上的载荷急剧增加。液柱对杆柱运动的影响：3、井深与液体惯性的关系：井深914m最大泵载与水力静载之比1.3井深371.86m最大泵载与水力静载之比2.4井深152.4m最大泵载与水力静载之比2.8浅井与深井对比，其作用于泵上静压和杆柱重力都比较小，从这个意义上讲，浅井的液体静压和杆柱重力相比显得较大。液柱对杆柱运动的影响：4、泵速与液体惯性的关系：泵速5min-1时最大泵载与水力静载之比1.9泵速8min-1时最大泵载与水力静载之比2.3泵速10.66min-1时最大泵载与水力静载之比3.0高泵速产生较高的加速度，可以发现泵最大载荷与静液载之比与泵速成正比。液柱对杆柱运动的影响：5、泵尺寸与液体惯性的关系：44.5mm泵最大泵载与水力静载之比1.863.5mm泵最大泵载与水力静载之比2.382.6mm泵最大泵载与水力静载之比3.0大泵举升的液体质量更多，惯性载荷与质量成正比，所以大泵的液体惯性力较大。液柱对杆柱运动的影响：6、液体压缩系数与液体惯性的关系：压缩系数为14.5×10-4MPa-1

，最大泵载与水力静载之比2.6压缩系数低的液体更近似于固体。在压缩量不变的情况下，低压缩系数的液体需要的体积比较大。泵的最大载荷与静液载之比与液体压缩系数成反比。压缩系数为87.0×10-5MPa-1

，最大泵载与水力静载之比2.8压缩系数为43.5×10-5MPa-1

，最大泵载与水力静载之比3.0定向井有杆抽油系统的预测模型基本假设：1.井眼轨迹在同一平面内，不考虑方位角的变化；2.将抽油杆柱假设为细长杆；3.抽油杆与油管不接触，只有扶正器与油管接触；4.液体为连续介质，即气体均匀分散在液体中，液体物性是连续变化的；5.各相之间的平衡是瞬间建立的；6.液体的流动为一维可压缩流动，只有个流动方向。定向井力学分析与数学模型：其中：根据虎克定律可得：1、杆柱模型：式中：Vr为杆柱运动速度；fr为抽油杆内力；N为单位长度的抽油杆受到的油管支持力；Fr为单位长度的抽油杆所受的总摩擦力。模型中x为杆柱方向，y为垂直方向，z为水平方向。定向井杆柱力学分析示意图定向井力学分析与数学模型：2、液柱模型：定向井液柱力学分析示意图状态方程：由连续方程和状态方程可得：其中：数学模型求解方法：描述杆柱及液柱运动的方程组进行离