数列综合题（解析版）-2023年高考数学一模考试真题汇编（江苏新高考）

专题05数列综合题

一、单选题

1.（2023•江苏南通・统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自

己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第

二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的

总重量大约为（）吨.（Ikg麦子大约20000粒，lg2=0.3）

A.IO5B.IO7C.IO12D.IO15

【答案】C

【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.

1_'64

【详解】64个格子放满麦粒共需二^=264-1,

1-2

Ikg麦子大约20000粒,1吨麦子大约2xIO7粒，

<Λ64_I）64ɔðɜɔðɜ

品"E="‘怆冠=WTglOJ631g2-7=63XO∙3-7=11.9,

63

⅛9≈1°,2'

故选：C.

2.（2023•江苏泰州•泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值4元

的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款

（2022年12月1日最后一次还款），月利率为，J按复利计算，则小李每个月应还（）

C+元D"I+'）"元

1111

【答案】A

【分析】小李的还款X元每月要产生复利，小李的贷款。元每月也要产生复利.这是本题的关键所在.

【详解】设每月还X元，按复利计算，则有

x[l+（l+r）+（l+r）"++（1+r）'°j=«（1+r）"

tzr(l+r)"

解之得X=

(ι÷√1-ι

故选：A

3.（2023.江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:

1,1,2,3,5,8,…,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为a”+?="田+外,〃eN,故此数列

称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列｛q｝的通项公式为

an=A-+B-淇中AB的值可由卬和出得到,比如兔子数列中4=1，%=1代入解得

A=A，8=-左.利用以上信息计算^√5+lY

ɪj=（）∙（［x］表示不超过X的最大整数）（）

A.10B.IIC.12D.13

【答案】B

【分析】根据题不妨设A=B=I,求出％,与,进而得到«5,通过｛¾｝的第五项,即可得到之间

的关系,根据的范围可大致判断的范围,进而选出选项.

【详解】解:由题意可令A=B=I,

所以将数列｛/｝逐个列举可得:

4=1,生=3,/=4+%=4,%=%+%=7,%=%+%=11,

因为(TO),

所以(11,12),

故¥1=11.

故选:B

二、多选题

4.(2023•江苏连云港•统考模拟预测)利用"lnx≤x-1"可得到许多与"(n≥2Kn∈N*)有关的结论，则

正确的是()

【答案】ABD

【分析】先证明出InX≤x-l,当且仅当X=I时，等号成立，A选项，令x=l+1≠l,得到

n

ln^l+lj<l+i-l=l,累加后得到A正确；B选项，推导出In(I-x)≤τ,χ<l,当且仅当x=0时等号

成立，令X=L0,可得ln(l」］<二，累加后得到B正确：C选项，推导出Inl+与<1+J-I=5，

累加后得到C错误；D选项，将lnx≤x-1中的X替换为士，推导出〃InL≤i-”,故(上〕≤e~,当且仅当

nn∖n)

i二"时，等号成立，累加后得到D正确.

【详解】令J'(x)=x-1—Inx,则r(χ)=l-J=?,

当x>l时∙，/^Λ-)>0,当0<x<l时，∕,(x)<0,

故/(x)=X-ITnX在((U)匕单调递减，在(l,+∞)上单调递增,

故〃力=XT-InX在X=I处取得极小值，也时最小值，/(χ)n,in=0,

故ln%≤x-l,当且仅当％=1时，等号成立，

A选项，令X=I+,≠1,所以In(Id—I<∏----1=—,

n∖n)nn

故In(I+J+ln(l+g)++ln[l+j<l+g++ɪ,

其中In(I+；)+In(I+g)++In(l+I)=In2-lnl+In3-ln2++ln(n+l)-lnw

=In(H+1)-InI=Ir1(〃+1),

所以ln("+l)<l+g+g++-,A正确；

B选项，将InX≤x-l中的X替换为1一工，可得In(I—x)≤l-x-l=-x,χ<l,

当且仅当X=O时等号成立,

令x=L≠o,可得In(I_')＜一'

n

所以Ir〃-1)＞，,

1

⅛In2-In1+In3-In2++lnn-ln(n-1)÷-,

n

⅛φIn2-Inl+ln3-In2++In〃一In(九一I)=In〃一Inl=In及

所以ln〃＞」+」++ɪ,B正确;

23n

C选项，将InX≤x-l中的X替换为1+亍•，显然1+∕≠1,

贝口巾+/）＜1+泉-14,

l^ln(1+i)+ln0+⅛)+'+ln[1+F)＜^+F+,+F

2

故m+8（|+泉卜，c错误；

D选项，将InX≤x-l中的X替换为士，其中，eN∙,ι∈N*,则ln2≤J,

nnn

则〃lnj≤i-”,故（:J≤e"",当且仅当i="时，等号成立,

则P^]+（S+L+（9W"1+L+e""=e（ɪ）=e-e'"＜上,D正确.

∖n）∖n）∖n）1-ee-1e-1

故选：ABD

5.（2023・江苏南京•校考一模）提丢斯•波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是

在1766年由德国的一位中学老师戴维斯・提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，

即数列｛%｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,表示的是太阳系第〃颗行星与太阳的平均距离（以

天文单位AU为单位）.现将数列｛q｝的各项乘以10后再减4,得到数列出｝,可以发现数列｛〃,｝从第3项

起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）

A.数列也｝的通项公式为2=3x2”一

B.数歹∣J{∕}的第2021项为O.3χ2≡o+O.4

C.数列｛4｝的前〃项和S,=0.4"+0.3×2"T-0.3

D.数列｛〃"｝的前”项和7；=3(,L1)∙2"T

【答案】CD

【分析】由题意可得数歹1也｝：0,3,6,12,24,48,96,192,由此可得数列｛2｝从第2项起构成公比为2的等比

数列，从而可求出其通项公式，判断选项A,由于所以可求出数列｛%｝的通项公式，从而可判

断B,对于C,利用分组求和可求出数列｛为｝的前"项和，对于D,利用错位相减法可求出数列W⅛｝的前

“项和

【详解】数列｛4｝各项乘以IO再减4得到数歹IJ也｝:0,3,6,12,24,48,96,192,

0,〃=1,

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以4=故A错误;

3×2n-2,n..2,

从而%=%琶=0.4,n=l9

所以。2021=0.3X220”+0.4,故B错误;

0.3×2,,^2+0.4√I.2,

当〃=1时,S∣=4=0∙4；

12

当山.2时;S,,=α∣+%++al,=0.4+0.3(2°+2++2"^)+0.4(w-l)

1_2"一|

=0.4n+0.3X——=0.4〃+0.3×2,-'-0.3.

1-2

当”=1时,E=。4也符合上式,所以5“=0.4π+0.3×2"-'-0.3,故C正确；

(0,77=1,

因为叨,=QMC所以当”=1时，工=仿=0，

[3π×2几.2,

当〃…2时,1=々+24+34++nΛ,=0+3(2×20+3×2'+4×22+∙+λ×2,,^2)-27；,=3(2×2'+3×

22+4×23++n×2"^'),

所以一7；=0+3(2+2,+22+…+2T-〃x2"T)

(2-2"T

=32+-■-n×2"T)=3(l-〃)x2"T,所以7,=3("-l)x2"T.

1-2

又当〃=1时M也满足上式，所以Z,=3("-1)X2"T,故D正确.

故选：CD.

三、填空题

6.(2023•江苏南通・统考一模)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛为｝的通项公式为=.

①。“4+ι<0；②同<⅛∣

【答案】（-2）"（答案不唯一）

【分析】可构造等比数列，设公比为4,由条件，可知公比。为负数且1如>1,再取符合的值即可得解.

【详解】可构造等比数列，设公比为夕，

由4A>+∣<0,可知公比4为负数，

因为同所以∣q∣>ι,

所以q可取—2,设4=-2,

则见=-2∙（-2）"T=（—2）".

故答案为：（-2）”.

7.（2023•江苏泰州•统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛4｝的通项公式%=—.

①44向<。；②同>∣4+∣∣

【答案】答案不唯一）

【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.

【详解】依题意，｛4｝是等比数列，设其公比为4，

由于①4+∣<。，所以4<0，

由于②∖an∖>∣α,,+∣I=⑸∙ɑ=同∙∣α,所以0<M<1,

符合题意.

故答案为:（答案不唯一）

8.（2023•江苏徐州・徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列｛4｝满足34,=%,,且为是%-3与%的

等比中项，则｛%｝的前"项和5,,=.

【答案】∣∏（∏+1）

【分析】根据等差数列的通项公式与34,,=%,，求出4，"的关系，根据为是%-3与4的等比中项，求出4,d

的值.再根据等差数列的前,〃项和公式求5.

【详解】设等差数列｛叫的公差为d,∙∙∙4=4+("-l”,

所以%,=4+(3"-1”

又因为3。“=%”即30∣+3(π-l)J=α1+(3〃-1)d

可得01=d,又由3—3)<⅞=4；即(q+2d-3)(n∣+7d)=(01+3d)?

即(34-3)(d+74)=(d+3d)?即24才-244=16解且正项等差数列｛4｝,即d*0

解得1=3,所以S,,=叫+∙=3"("+l)

故答案为：—w(∕ι+1).

9.(2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测)数列｛%｝满足4=2,“小亚t4%("eN"),则

H+1'/

02022_

a∖+¾÷,,∙+¾02l

【答案】瑞

【分析】由已知整理得中=八〃)，先利用累乘法求数列｛《,｝的通项，再利用错位相减法求其前2021项的

和，从而得到结果.

【详解】由1=亚西q,(〃eN，)得：如/J+：),

".='x也χ∙∙.χ三"xq=2'"四χjχ∙∙∙χSχ3χ2]=("+l)∙2j

aa

a“_2ι∖1«n-∖32J

设S”=4+%+…+%，

则S,,=2x20+3x2∣+4*22+…+"∙2"-2+("+I).2"T,

.∙.2S,,=2×2I*+3×22+4×23+∙∙∙+W∙2,,^'+(Π+1)∙2,',

.∙f=2+2∣+2?+∙∙∙+2"T_(“+]"=2+202=2+27T"+])2,=-"∙2",

1—2

,

..Sfl-IT,2",即4+a?+.•♦+dn=n,2”,

202202

.∙.S202∣=2021×2',a2022=2023X2',

.%)22_2023X22⑶_2023

2021

"a1+α2+∙∙→α202l^2021×2^2021,

故答案为：黑

四、解答题

10.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）已知数列也｝的前〃项和为s“，且S,=++工

⑴证明：数列国｝是等差数歹h

（2）设数列出｝的前”项积为T,,若『S3求数列色｝的通项公式.

2,n=l

【答案】⑴见解析；⑵"=1nC

------,n≥2

.n-∖

【分析】（1）由通项与前几项和的关系结合等差的定义证明即可;

（2）由等差数列通项公式得出4=2〃，再由题设定义得出数列｛"｝的通项公式.

【详解】（1）当〃=ι时，q=B+—，“；=2

2al

S"="+7⅛,所以警

当n≥2时,s,f

所以Sj-S,；=2（常数）,

故数列｛£｝是以S：=2为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）知，S；=2+（〃-1）2=2〃，得（=2”,

.T2nn

当佗2时，么=不lt;可前=Q，

当〃=1时，⅛l=7]=2,不符合上式，

2,n=1

故"=,

消42

114

11.（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）在①A=鸟，②-----,③&=35这三个条件

QlD-,

中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知等差数列｛%｝的公差为"S>0）,等差数列也｝的公差为2”.设4,纥分别是数列｛4｝,｛〃｝的前〃项和,

且a=3,A2=3,,

（1）求数列｛q｝,也｝的通项公式;

3

u

（2）¾ς,=2^+——,求数列｛c,,｝的前，项和sl,∙

【答案】（1）%="也=2"+l;（2）2"M-丝士?

2/2+3

【分析】方案一：（I）根据等差数列的通项公式及前〃项和公式列方程组，求出卬和"，从而写出数列

｛q｝,｛2｝的通项公式；

（2）由第（D题的结论，写出数列｛q,｝的通项¢,,=2"+1（贵-金3），采用分组求和、等比求和公式

以及裂项相消法，求出数列｛q,｝的前”项和ξ,∙

其余两个方案与方案一的解法相近似.

【详解】解：方案一：

（1）•••数列｛4｝，｛〃｝都是等差数列,且Λ2=3,Ai=名，

2a+d=34=1

l,解得

5q+10J=9+6Jd=l

二.an=4+(〃-l)d=n,

bn=bl+(n-1)2J=2n÷l

综上。“="々=2〃+1

(2)由(1)得：

,

C11=2"+-------------------=2'+-f----------—

"(2π+1)(2∏+3)2(2〃+12n+3j

•・$=(2+22+÷2")÷∣[(∣-∣)÷(i-i)÷+(-L---L-)1

=£0z£)+3fi_O

1-22(32n+3j

=2H÷∣3(>+2)

一-2〃+3

方案二：

114

(1)・・・数列｛4卜｛2｝都是等差数列，且4=3,---------=—,

6c∣^^2

(2al+d=3[a.=1

'■[4tzl(al+J)=d(6+21)解得[d=1

*

..atl=q+(〃—l)d=n,

bll=bl+{n-V)2d=2〃+1.

综上，alt=n,bll≈2n+l

(2)同方案一

方案三：

（1）；数列｛叫，也｝都是等差数列，且A?=3,纭=35.

2〃]+d=3

4=】

ɔU5×4C/M，解得

3X5H-------X2d=35d=l

2

,

..an=at+(n-↑)d=nf

bn=⅛l+(〃-1)2J=2/?+1.

综上，an=nyb,,=2n+∖

(2)同方案一

12.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知等差数列｛α,,｝的首项为1,公差d>0,其前〃项和S“满足S2S3=18.

⑴求公差”；

（2）是否存在正整数机，火使得凡,+α,"+2+4e++〃心=30.

【答案】（l）d=l;（2）存在，理由见解析

【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；

（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到伙+DW+%）=30,法一：由〃?，k为正整数,

列出符合要求的解；法二：得到加+攵=F7WN*,且他+Z≥R+1,从而得到α+l=2,3,5,写成符合要求

⅛+l

的解.

【详解】(I)因为S2$3=18,al=l,所以(20,+4)χ3(4+d)=18,

所以(2+d)(l+d)=6,即才+34-4=0,解得：d=l^d=-4.

因为d>0,所以d=l.

(2)法一：由(1)得，an=ay+(n-l)J=π,

(左+1)(4+(女+l)(∕n+m+2Z)/、/、

4+限++4皿=ɪ~八；j=ʌ\-----------=.+1)(〃?+%)=30，

上=1时m=14；

左=2时=8；

左=4时6=2；

攵=5时机=O（舍），

当Z≥6时，m<0,不合题意;

「•满足条件的左,加有三组.

法二：由(I)得，4=4+(n-l)d=",

故一限+->"+*+K)=(E)(T-叽Z)W+止3。,

所以“+左=---∈N'^,且〃?+A≥左+1,

攵+1

Q=Ik=2k=4

所以“7,5,所以〃i

tn=Sm=2

存在满足条件的女,小有三组.

13.（2023・江苏泰州・统考一模）在①*邑,S’成等比数列，②〃4=2%+2,③5&=54+江-2这三个条件中

任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列血｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S,,,且满足,.

（1）求｛4｝的通项公式；

1111

（2）求---+----+----++-----.

“口2α2α3α,a4allan+t

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

n

【答案】⑴选①②，①③或②③均可得4=4〃-2⑵4（2”+1）

【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式;

（2）在第一问的基础上，得到」一=：（丁二-丁二〕，利用裂项相消法求和.

anan+l812"-l2n+lJ

【详解】（1）若选①②，设｛4｝公差为d,

则,（4q+6d）=（2q+d）］

'q+3d=2（q+d）+2

解得：α1=2,d=4,

.∙.att=2+4（∕ι-1）=4«—2；

选①③，设｛q｝公差为",

a](44+6d)=(2α∣+d)~

8%+28J=4q+6d+70∣+21d-2

解得：4=2/=4,

.∙.an=2+4(H-1)=4H-2；

选②③，设｛q,｝公差为d,

%+3d=2(4+d)+2

84+28J=4a]+6d+7q+2Id-2'

解得：q=2,d=4,

.∖an=2÷4(∕ι-l)=4n-2；

1111I(II)

,

anatl+i(4Λ-2)(4H÷2)4(2〃-1乂2〃+1)812〃-12n+lJ

111If1Ill11A

aa

aia2a2a3ttn+∖813352〃-12∕ι+l√

=M__]L〃

乱2Λ+1J4(2Π+1)-

14.(2023∙江苏泰州•泰州中学校考一模)已知数列｛4｝是等差数列，q=l,且％,外,牝一成等比数列.给

定ZeN*,记集合｛n∖k≤a,,≤2k,neN*｝的元素个数为4.

(1)求4，%的值；

(2)求最小自然数”的值,使得々+仇+…+a>2022.

【答案】(1)伉=2,4=3；；(2)11

【分析】(1)利用等比数列的性质求得｛α,,｝公差,得通项公式%,写出k=1,2时的集合可得元素个数,即bl,b2.

(2)由(1)可得/，然后分组求和法求得和4+&+L+〃，用估值法得”=10时和小于2022,〃=11时

和大于2022,由数列的单调性得结论.

【详解】(1)设数列仅“｝的公差为d,由4，%,%-1成等比数列，得q(6T)=Y,

lx(l+4J-l)=(l+J)∖解得d=l,所以a“=〃，

k=l时，集合｛"H≤"≤2,”wN*｝中元素个数为々=2,

Z=2时，集合｛"∣2≤”≤4,"∈Z｝中元素个数为优=3：

(2)由(1)知仇=2k-k+∖,

,.,2(l-2π)n(n+l),、n`n

b.+b,++b,,=—--------------——-+M=2(2"-1)——+-,

'2"1-2222

22

〃=10时，2(2π-1)--+-=2001<2022,"=Il时，2(2"-1)-2+2=4039>2022,

2222

记T"=A+a++b〃,显然数列",｝是递增数列，

所以所求相的最小值是11.

15.(2023•江苏南京•校考一模)已知等比数列｛q｝的前"项和为S,M=1,Sm+2S,ι=3S,,(,≥2).

(1)求数列｛4｝的通项公式.

⑵令\=言」,求数列出｝的前〃项和7“.

【答案】(l)4=2"T,〃eN.：

【分析】(1)将题设条件转化为5向-5“=2S,-2S,I，从而得到。向=24,进而求出公比q,由此得解；

(2)利用(1)结论，结合裂项相消求和法即可得解.

【详解】(D当〃≥2吐S向+2S“T=3S”=S”「S,,=2S“-2S,I

即¾+l=2a”,又｛4｝是等比数列<7=2；

数列｛4｝的通项公式为:«„=2,-1,n∈N-.

(2)由(1)知,s=lx¢1-2=2"-l,

"1-2

,2"11

•b--------------=-------------

""(2,,-l)(2,,+l-l)2,,-l2π+'-l,

.T,.,,1IIɪ11

"1+J?+…+”--22-l+22-l-23-l+-"2,,-l2,'+l-1

即I=

Z—1

16.(2023・江苏徐州•徐州市第七中学校考一模)已知等比数列｛4｝的前"项和为S,,=；，"+人"为常数).

(1)求人的值和数列｛¾｝的通项公式；

⑵记％为｛4｝在区间［-3"'31(meAT)中的项的个数，求数列｛《£“｝的前〃项和Tn.

t

【答案】(IW=-gan=y-',n&N.⑵+

【分析】(1)依题意等比数列｛%｝的公比不为1,再根据等比数列前〃项和公式得到S,,=言-若，即可

得到b=3=-4且9=3,从而求出％、b,即可得解；

∖-q2

(2)首先令-3M≤3"Tv3JncN*，即可求出〃的取值范围，从而求出乙,即可得到%。=(加+1)'3",

再利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：由题设S“=；?'+。，显然等比数列｛α,,｝的公比不为1,

若｛%｝的首项、公比分别为q、q,则st,=±(F)=-⅛-一攻,

∖-q∖-q1-<7

.∙.6=T^-=-4且4=3,所以q=l,

∖-q2

故｛可｝的通项公式为%=3∙τ,“e川.

13

当q=3i∕wN*时，s=OzJ=lx3^,l；

“1-322

(2)解：令-3"'≤3"'≤3ut,neN：解得O≤”-l≤m,所以l≤"≤m+l

m

数列｛风｝在[-3'",3"](E∈N*)中的项的个数为/M+1,则cm=rn+∖,所以4£“=(rn+l)×3-',

V7；,=2.3°+3∙3l++(n+l)∙3,,^l,①

V3^≈2∙3'+3∙32++("+1)∙3”②

两式相减得∙∙∙-21=2∙3°+3∣++3"T-(〃+1>3"=1+T-("+1)∙3"=包21土tL.

1—32

17.(2023•江苏苏州・苏州中学校考模拟预测)已知各项为正数的数列｛4｝的前”项和为5“，若

4S“=M+2α,,+l∙

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设"=——，且数列｛〃｝的前”项和为萼，求证：∣≤^,<1.