四川省内江市2023届高三第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）

内江市高中2023届第一次模拟考试题

数学（文科）

第卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

2-z

L设复数Zl+3i,则M=（）

ʌ1√2„1√2

A.—Br.C.~Dn.

3322

K答案，D

K解析工

K祥解』利用复数的除法化简复数Z,然后由模的公式求解.

2-z_(2-Z)(l-3Z)_-1-7/

K详析》因为Z

l+3z-(l+3z)(l+3z)-10

故选：D

点石成金JlI本题主要考查复数的运算和复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2.设集合A={X∣V-4X+3<0},β=x∈N*∣O<∣≤l,则集合(QA)CB=()

A.(0,l]B,(0,l]u[3,+∞)C.{1,2}D.{1,3}

K答案HD

K解析』

K祥解》先分别求出集合A8,再计算(∖A)B即可.

K详析》A={X∣X2-4X+3<0}=(1,3),

则々A=(-∞,1]□[3,+∞)

又B=卜∈N]0<W≤"={X∈N]0<X≤3}={1,2,3},

&A)CB={1,3}

故选：D.

3.此次流行的冠状病毒为一种新发现的冠状病毒，国际病毒分类委员会命名为SARS-CoV-2.因为人群

缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生

日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分(10分制)如图所示，以下结论中错

误的是()

42^^~~^^^^^^~^^2`2~~"2~

弋口廿廿十十汁口-rτπ»

0345678910得分

A.这30名学生测试得分的中位数为5.5

B.这30名学生测试得分的众数为5

C.这30名学生测试得分的平均数比中位数大

D.从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握较好

K答案2D

K解析D

K祥解H根据统计图可依次计算中位数、众数和平均数，由此依次判断各个选项即可.

K详析》对于A,这30名学生测试得分的中位数为得分从小到大排列后，第15和16名学生成绩的平均数,

由统计图可知：中位数为t2=5.5,A正确；

2

对于B,由统计图可知：这30名学生测试得分的众数为5,B正确；

6÷12÷50+36+21+16+18+20

对于C,这3()名学生测试得分的平均数为≈5.97>5.5,即平均数比中

30

位数大，C正确；

对于D,这30名学生测试得分的平均数、众数、中位数均较低，由此可预测该校学生对疫情防控的知识掌

握的不够好，D错误.

故选：D.

4.已知向量α=(2,4),b=(-2,m),若α+/,与〃的夹角为60，则根=()

A√3√32√32√3

i∖.----------

3V丁亍

K答案2D

K解析小

K祥解』先表示出α+b的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于加的方程，解得K答案】.

K详析H由题意得〃+/?=(0,4+加)，

,/77、(a+b)∙b(4÷∕w)m1

故CoS〈。+〃,/?〉=^--------=——-----/,

∖a+b∖∙∖b∖∣4+m∣×√4+∕n22

解得机=±逑，其中加=一2叵不合题意，舍去，

33

加26

JiLin=------，

3

故选：D

Tr

5.-ABC的内角4B、C所对的边分别为α1,c,己知8=—,8CSinA=8sin8,a=4,则。=()

3

A.4B.2√3C.2√7D.2√2

K答案力B

K解析H

K祥解X先通过正弦定理得Aa=鲂，则可求出c,再利用余弦定理求Z?即可.

K详析U因为hcsinA=8sin3,由正弦定理得bca=8'.∙.ca=8

又Q=4,:.c=2

由余弦定理/=a2+c2-2。CCoSB=I6+4-2χ4χ2χJ=12,

2

!i!!J⅛=2√3

故选：B.

6.已知数列｛α,J满足：4=1024,点(〃,/)在函数y=αpl](αeR)的图象上.贝IJqO=()

、2)

A.2B.3C.4D.5

K答案XA

K解析】

K祥解！先通过q=1。24求出。，则可得数列｛qj的通项公式，代入力=10可求得即).

K详析U由已知q=。ɪl(a∈R),

CTl

∙∙4=〔句=2

故选：A.

K解析自

K祥解』由函数为偶函数可排除AC,再由当x∈(O,l)时，/(x)<0,排除D,即可得解.

K详析》设尸〃X)=则函数/(X)的定义域为{中工0},关于原点对称，

又/(τ)=(二;=所以函数/(X)为偶函数，排除AC；

当x∈((),l)时，lnW(0,χ2+2>0,所以/(x)<0,排除D.

故选：B.

8.******多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事

关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的

进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为3mg∕cπ√,排放前每过滤一次，

该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.25mg∕cn√,若要使

该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）

（参考数据：lg2≈0.3010,lg3α0.4771）

A10B.HC.12D.13

K答案》c

K解析H

K祥解D根据已知关系可构造不等式3x（1-20%）”<0.25,利用指数与对数互化可得〃≥bg±g,结合

换底公式和对数运算法则可求得〃的最小值.

R详析》设排放前需要过滤〃次，则3x（1—20%）"≤0.25,A、,

71⅛12Ig3+lg4Ig3+21g20.4771+0.602

---------=------------≈----------------≈11.1

lg8-lglθ31g2-l0.903-1

又“∈N*,二"min=12,即排放前需要过滤的次数至少为12次.

故选：C.

9.在（0,1）内随机取两个数，则这两个数的和小于：的概率为（）

916

A.—BD.—

32-⅛25

■■C

K解析』

O<x<l

K祥解》在区间（（）』）内随机取两个数χ,y,满足，,得到围成的正方形的面积，再画出不等式组

o<y<ι

0<x<1

<0<γ<l所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解.

5

%+v<—

-4

、0<%<l

K详析D由题意，在区间(zo,ι)内随机取两个数％y,满足,

[O<y<l

则不等式组所围成的正方形的面积为S=I,

由这两个数的和小于2,即x+y<*,

44

0<x<l

作出不等式组<0<y<l所表示的平面区域，如图所示,

5

x+V<—

I-4

E23

所以这两个数的和小于的概率为---

3PS3-2

4

故选：C.

10.已知函数/(x)=sin<υxCOSs-Sin2<yχ(<y>0),若函数/(χ)在兀上单调递减，则实数。的取值

2/

范围是()

ɪ5ɪ5

B.C.D.

44'82,4

K答案HC

K解析U

K祥解』先用二倍角公式与辅助角公式化简，结合函数单调性，列出不等式组，解出实数0的取值范围,

进而求出K答案』.

1・C112"]1

K详析U/(x)=SinGXCoSGX-sin25=—sin2ωx+—cos2ωx——----,

2224J2

兀、兀C7

GTCH---≥----F2K7Γ,

(Jl兀/兀兀42

由函数/(χ)在彳，兀上单调递减.且2〃r+：∈ωτι+—,2ωπ+—\，解得:

∣2)4I44C兀,3兀-,

kk∆CDTlH---≤-----P24兀，

42

—F2k≤6y≤—YkfksZ,

48

因为。＞0,当且仅当Z=O时，有满足要求的取值，即L≤3≤W.

48

故选：C.

α2

11.已知函数/(x)=χ2+2CoSX,设α=∕(2°2),^=∕(θ.2),eɪ/(Iog022),则()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

K答案，B

K解析H

K祥解D确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将c=/(IOgoJ)化为/(10&2。.5),比较

2°∙2,0.2°∙2,log02θ∙5的大小关系即可得《答案』.

K详析F函数/(x)=/+2COSX的定义域为R,

/(-%)=(-x)2+2cos(-x)=/(x),故/(x)=χ2+2CoSX为偶函数,

当x≥0时，/(x)=2x-2sinx,令

g'(x)=2—2cosx≥0,

即8(%)=2%-25抽乂％€[0,+8)单调递增，故g(x)≥g(0)=0,

所以f'(x)≥0,则/(x)=x2+2cosx½x∈[0,+8)时单调递增,

由于C=/(log022)=/(-Iog020.5)=/(Iog020.5)

02O2

因为2>l,0<O,2∙<l,0<Iog020.5<1,

而叱=出$4log0205=RΓ1°8⅛=P

即2°∙2>0.202>logo2O.5>O,则α>b>c,

故选：B

x

Qɪ<Q1

12.已知函数/(x)={1一，(e为自然对数的底数)，则函数F(X)=—l的零点

iɪiʌi,尤>ue

个数为()

A.8B.7C.6D.4

K答案UC

K解析》

K祥解力设f=∕(x),由E(X)=0,得F(。=二£+1,作出y=∕(x),y=17x+l的图象，由

y=∕f+l与/⑺的图象有4个交点求解.

R详析』解：设f=∕(x),由尸(X)=0,得f(0=9+l,

作出y=∕(x),y=4∙x+l的图象，如图所示：

e

设直线y=Kx+l与y=短相切，切点为(ν),%),

e*°=k

则/工。+1'解得飞=°'…

设直线y=k1x+∖与y=InX相切，切点为(3，y1),

∖=k1

2

则1再，解得当=e2,k1=-,

k2xl÷1=7

故直线y=Jr+l与/⑺的图象有4个交点，

不妨设％再/3，，4,且％气J

2

由图象可知:ti<0,t2=0,0<z3<1√4=e,

由/(ɪ)的函数图象可知/(X)=4无解，/(X)=t2有一个解，

/(x)=%有三个解，/(x)=%有两个解，

所以E(X)有6个零点，

故选：C

第□卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分.)

13.下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中

位数为14,乙组数据的平均数为16,则χ+>的值为.

甲组乙组

908

X21ʃ58

7424

K答案X9

K解析H

K详析』阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14可得x=4,

乙组的平均数：--------------------^-=16,解得：y=5,

贝∣J:x+y=4+5=9.

f点石成金」：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶''的位置只有一个数字，而"茎''的位置的数字位数一般不需要统

一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据.

0<x<2

14.若实数乂丁满足不等式组,x+y-2N0,则z=2x+y的最小值为.

x-y+2≥0

K答案D2

K解析U

K祥解》根据不等式组可作出可行域，将问题转化为直线y=-2x+z在y轴截距最小值的求解，采用数

形结合的方式可求得结果.

K详析U根据不等式组可得可行域如下图阴影部分所示，

当z=2x+y取得最小值时，直线y=-2x+z在y轴截距最小，

由图象可知：当y=-2x+z过A(0,2)时，在y轴截距最小，.∙.Zmm=0+2=2.

故K答案》为：2.

15.已知/(x)是定义域为R的奇函数，且对任意的X满足/(x+2)=∕(x),若0<χ<l时，有

"X)=4"+3,则“3.5)=.

K答案』-5

K解析工

K祥解H由条件可得/(3.5)=∕(-O.5)=-/(0.5),然后可算出K答案』.

K详析》因为/(x+2)="x),/(x)是定义域为R的奇函数，

所以〃3.5)=〃-0.5)=-“05)

因为当O<x<l时，有/(x)=4jt+3,所以/(0.5)=4°s+3=5

所以“3.5)=—5

故K答案》为：一5

16.已知正实数八6满足』+1=1,则。、6一定满足的关系有_____.(填序号)

ab

1Q4a9b

①α+8≥4;(2)(α-l)2+(⅛-l)2≤2；③——+——>6；④——+——≥26.

a-∖b-∖a-∖b-∖

K答案》①③.

K解析D

K祥解D因为‘+'=1,所以人+α=αZ?,即α^-b-α+l=l,即—=1,可得α>l,b>l,

ab

结合基本不等式即可求解最值，进而判断可得K答案R.

K详析』因为‘+'=1,所以b+α=α),即"-b-4+l=l,即(Q-I)S-I)=1,

ab

可得α>l,b>∖,所以。—1>0,/?-1>0

对于①，=+I=1+-+-+1≥2+2J-×-=4

∖abJhaNba

当且仅当〃=/?=2时等号成立，所以o+h≥4,故①正确.

对于②，(iz-l)2+(⅛-l)2≥2(β-l)(⅛-l)=2

当且仅当α=h=2时等号成立，所以（a—I）?+3—1）2≥2,故②错误.

419

当且仅当a=一，b=4时等号成立，所以——+——>6,故③正确.

3a-∖b-1

至+JL=4+3+9+2≥13+2.49、36

对于④,13+2=25

a-∖b-∖a—1b-1b-∖)(a-1)(。-1)

554a9b

当且仅当a=；,b=二时等号成立，所以——+——>25,故④错误.

32a-∖b-1

综上所述：正确序号为①③.

故K答案》为：①③.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)

(-)必考题：共60分.

17.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办.这是中国

历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某中学共有学生：1200名，其中

男生640名，女生560名，按性别分层抽样，从中抽取6()名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动.

情况如下:

参与过滑雪未参与过滑雪

男生20m

女生Xy

(1)若XNl0,y≥10,求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概

率；

(2)若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少8人，试根据以上2x2列

联表，判断是否有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

附：

P(κ2≥k°)0.100().05()0.0100.001

及02.7063.8416.63510.828

,n(ad-bc∖

K-------------———--------,n-a+b+c+d.

[a+b)(c+d)(a+c)[b+d)

4

K答案，(1)-

(2)没有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”

K解析H

K祥解Il(I)根据分层抽样原则可确定抽取的60名学生中，女生有28人，由此可列举出(χ,y)所有可能

的取值结果，并确定%>y的取值结果，根据古典概型概率公式可求得结果；

x+V=28

(2)根据《∙C可求得K"的值，进而得到阳，由列联表可求得4.286<6.635,对比临界值

y-χ=^>

表可得结论.

K小问I详析1

根据分层抽样原则知：抽取的60名学生中，女生有60χ——=28人，

1200

若x≥10,y≥10,则(χ,y)所有可能的取值结果有(10,18),(11,17),(12,16),(13,15),(14,14),(15,13),

(16,12),(17,11),(18,10),共9个；

其中满足x>y的有(15,13),(16,12),(17,11),(18,10),共4个，

4

参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率为一.

9

K小问2详析』

由(1)知：x+y=28,又y-x=8,.∙.χ=10,y=18,

∕τι=60-20-28=12,

60(20×18-12×10)2

.∙.K2≈4.286<6.635-

32x28x30x30

・•・没有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

18.己知函数/(X)=百SinX∙COSX-COS2x+ɪ,χ∈R.

(1)已知/(x)=-g,求COS(八一三)的值；

(2)已知一A5C的内角/、B、C的对边分别为人b、c,且/(C)=I,¢=3,若向量m=(-1,SinA)与

"=(sinB,2)垂直，求一A8C的周长.

K答案，(1)ɪ

⑵3+3G

K解析H

K祥解》(1)先变形得到/(x)=sin再利用COS(4%-1)=1一2$皿2(2%-弓)计算即可；

(2)先通过/(C)=I求出C,再利用向量垂直求出B,则A也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即

可求出周长.

K小问1详析』

f(x)=y∣3sinX∙cosX-cos2x+'=-sin2x-1+cos2x1.f.π)

H—=sin2戈--r

2222I6

.∙.sin2x--

I62

.∙.cosI4x--I=l-2sin212x--∣=l-2×-=—；

IɜjI6j42

K小问2详析，

由(1)得/(C)=Sin(2C_[)=1,

ππ

则2C——=—+2加次∈Z,

62

π

ʌC=—+ΛπΛ∈Z,又0<C<7i,

3

/.C=-,

3

又向量〃2=(-LSinA)与〃=(Sin3,2)垂直，

Λm∙n=-sin3+2SinA=O

/.-sinB+2sin∣B÷-∣=-si∏B+2-Sin8+——cosB=ʌ/ɜcosB=0,

I3j122J

即COS3=0,又0<B<兀

JTTr

二B=—,则A=兀-8-C=—,

26

a=b=C2⊂

由正弦定理SinAsinBSinCG，

~2~

则α=2gsinA=6,b=2Gsin8=2G,

ABC的周长为3+6+2百=3+3√L

,,+

19.数列｛对｝满足：ai+2a2+3a3++nα,,=2+(n-l)∙2',∏∈N*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设切，［为数列｛4｝的前〃项和，若北＜山2-3恒成立，求实数〃?的取值范围.

n

K答案X(1)all=2,n∈N'

(2)加＜一2或加≥2

K解析?

K祥解】(1)根据递推关系得∕=2"5≥2),再验证〃=1满足条件即可求得K答案》；

(2)由(1)知，bn=~^-------1一，再结合裂项求和与数列的单调性得∕√-3≥l,再解不等式即可.

2-12-1

K小问1详析』

π+1

解：当n≥2,a[+2a2+3>ai+L+nall=2+(n-l)∙2,①

n

al+2a2++(n-l)αn-∣=2+(π-2)∙2,n≥2,®

①一②得叫,="∙2"=>%=2"5≥2)(*)

在①中令〃=1,得％=2,也满足(*),所以α,=2",π∈N∖

K小问2详析】

r_1______1

(1)-l)(2n+1-l)—2,,-l—2n+l-l，

故T=IJrT+QT-2"Jj=I_2"IT，

于是，T<m2-3^1———<m2-3

2,,+'-1

因为1一一」—随〃的增大而增大，且恒小于1，

所以小2-321，解得m≤-2或m≥2

所以实数m的取值范围是m<-2或相≥2.

3

20.已知函数/(x)=Λ+∕-χ+α(+eR)

(1)求/(X)在区间上的最值；

(2)若过点P(l,4)可作曲线y=∕(x)的3条切线，求实数。的取值范围.

K答案Jl(1)最大值10+4,最小值—二■+“；

K解析』

K祥解了(1)求导得到函数的单调性，根据单调性求得函数的极值和端点值，比较可得函数的最值;

(2)设切点。，进而得方程2V一2f—2x+5-α=O有3个根，然后构造函数利用单调性、极值求解即

得.

K小问1详析』

/(x)=x3+f-X+α(α∈R),

X)=3d+2x-l=(3X-I)(X+1),

由户")>0解得x>；或x<-l,

由r(x)<o解得—ι<x<g,

又X∈[-1,2],

所以/(x)在-l,ɪ上单调递减，在1,2上单调递增，

又/(—l)=α+l,42)=10+α,-俏+%

.∙.∕(x)的最大值是10+。，最小值是-捺+。；

K小问2详析U

,

设切点Q(XO芯+片一∙⅞+α),≡∕(⅞)=3片+2x0-l,

则切线为,一片一片+x°—α=(3片+2x0—l)(x-x0),

4-xθ-xθ+Λ0-Λ=(3xθ+2x0-l)(l-x0)

整理得2x；—2xθ—2Λ0+5-a=0,

由题意知此方程应有3个解，

令〃(X)=2/一2f-2x+5-α,

则χ∕,(x)=6x2-4x-2=2(3x+l)(x-l),

由〃'(x)>0解得x>l或x<-；,由"(x)<0解得一;<x<l,

••・函数〃(%)在1-8,一£|,(l,+∞)上单调递增，在上单调递减,

当X=-g时，M(X)有极大值，且极大值为〃(一；)=胃一ɑ,

当x=l时，〃(x)有极小值，且极小值为〃(1)=3-。；

要使得方程〃(X)=O有3个根,

些“〉0

则《27

〃⑴=3-α＜0

145

解得3＜。＜——，

27

.∙.实数”的取值范围为(3,翳).

21.已知函数/(x)=3+cosX(O≤x≤τr,α∈R)

(1)当α=苴时，求/(χ)的单调递增区间：

2

3

(2)若函数［(x)恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m,求证：2M-m≥a∙

R答案H(1)fθ,y‰fy,π∖

(2)证明见K解析』.

K解析H

K祥解2(1)利用导数讨论函数的单调性即可求解；

(2)根据极值点的定义可得方程a—sinx=0有两个不相等的实根吊、x2(x,<⅜),由正弦函数图象可知

X∖+×2~π`

利用导数求出函数的极值，进而构造函数//(X)=3XSinX+3COSX-乃SinX,再次利用导数求出〃(x%n即可.

K小问1详析』

函数Fa)的定义域为［0,兀］,

当a=时，f(x)-X+cosXy

2v,2

∕,(x)=--sinx>令八X)=OnX=W或等，

23

当x∈(O,g)时，f'(x)>O,/(x)单调递增,

当工吗,争时，∕,(x)<0,/(x)单调递减，

O>τr

当时，/'(x)>0,/(x)单调递增,

所以函数的单调递增区间为(O,W)和(一,))；

33

K小问2详析U

f(ɪ)=tix+cos%=f'(x)=β-sinx,

因为函数/(χ)恰有两个极值点，

所以方程∕∙'(x)=α-SinX=O有两个不相等的实根，设为％、Z且内<龙2,

当0≤x<乃时，函数y=sinx图象关于直线X=工对称，

2

则xl+x2=πt即sinx1=sinx2=af

因为O<x<τr,所以α∈(0,l),

当Xe(O,%)时,∕,(x)>0,/(x)单调递增，

当xe(%,%2)时，f'(%)<0,/(%)单调递减，

当x∈(W,4)时，,f'(x)>O,/(x)单调递增，

所以占分别是函数极大值点和极小值点，

即M=f(xl)=cυcl+cosxl,m=f(x2)=ax2+cosx2,

于是有2Λ∕-m=2(αxl+cosxl)-(ax2+cosx2),

因为玉+%=",所以％=万一玉，

所以2Λ∕-m-30xl+3cosxl-aπf而Sinx=。，

所以2M-m-3xlSin玉+3cosx1-æsinx1,

设〃(X)=3xsinx+3cosx-%sinx,0<x<-^,

2

TTJT

则h'(x)=(3X-乃)cosX,令Λ,(x)=OnX=—或一，

32

当0<x<—时，"(x)<O,力(X)单调递减，

3

JFTT

当一<xv—时，h,(x)>0,%(%)单调递增,

32

所以当X=寸，函数有最小值，即〃(x)min=〃(()=1，

33

因此有∕ι(x)≥-,即2M-m≥-.

22

Kr点石成金」》在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极

值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研

究新函数的性质即可解决问题.

(二)选考题：共10分.

请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均

不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.