导数与等价无穷小主部的确定

导数与等价无穷小主部的确定光信1001李书轶提要：本文借助导数，提出了寻找无穷小主部的几个有效方法。关键词：无穷小，等价，导数，复合引言课堂上毕老师提出了一些关于无穷小等价关系的思考题，经过自己的探索，发现了一些具有简化计算的结果。定理1设函数f(x)在点X=0处有非零导数，f(0)=0。若xfX时，0u(X)~V(x),则有f(u(x))~f(v(X)).证由于导数f'(0)=lim/存在，故有3=f'(0)+a,其中当xf0时，xf0xxa为无穷小量。于是有f(x)=xf'(0)+xa~xf'(。)，从而f(u(x))~u(x)f'(0)~V(x)f'(0)~f(V(x))。证毕。几个简单应用如下：考虑当xf0时取f(x)=arctanx，则由sinx~x，推出tansinx~tanx；取f(x)=ln(1+x)，则由sinx~x，推出ln(1+sinx)~tanx；【教师评注】此结果在连续函数一节得到解决，只要函数f(x)在点x=0处连续以及f(0)=0便可以。但是以上证明方法有意思，可取。定理2f(x)在点x=x处有非零导数，f(x)=0。则有f(x)~f'(x)(x—x).0000【教师评注】此结果在台劳公式一节得到推广。提前发现此结果，能力很强。二r(x0)+a，其中当xfx0时，由于f(x)=limf二r(x0)+a，其中当xfx0时，0000a为无穷小量。于是有f(x)=(x-x)f'(x)+(x-x)a~(x-x)f'(x)。证毕。0000

考虑当Xf0时的几个熟知结果:取f(x)=sinx,贝Usinx~xcos0=x；取f(x)=ln(1+x),则ln(1+x)~取f(x)=ax一1,则uax—1~xaoIna=xIna；再考虑几个作业中的结果：xf兀时，f(x)=sinx~f'(兀)(x一兀)=—(x一兀)；xf1时，f(x)=Inx2~fr(1)(x—1)=2(x一兀)当导数等于零时,上述方法失效,但是经过反复试验,我归纳出以下法则。定理3设函数f(x)在点x=X处有零导数，f(X)=0。则有00f(X)~f'(X)(x—X)/m.0其中m的大小与最终确定的无穷小的阶数相等。证明：由洛必达法则设f(x)~a(X一X%f(X)f'(X)f'(X)(X—X)TOC\o"1-5"\h\zlim=lim=1=limo-XfXa(x一x)mXfXam(x一x)m-1XfXam(x一x)m000000故f(X)~f'(x)(X-Xo)/m例如Xf0(下同)时，1一cosX~(1一cosX)r—X~—X2；m2111—X3———一236tanX一sinx~(tanx一sinx)'—x=(1-cos3X)—x〜3x31=111—X3———一236sinx一x〜(sinx一x)r—x=—(1一cosx)—x=~考虑到导数计算对函数有一定的化简的作用,于是推测以下法则。定理4若xfXo时，函数，#等价且u,v均可导，则有u(X)〜V(X)Ou'(X)〜/(X)u(x)u'(x)证明：有洛必达法则lim=lim==1X-XJ(X)x-xJ(x)故u'(X)~M(X)例如x告0时，TOC\o"1-5"\h\z1111-cosXx2&sinx~x,X-sinXx3和1-cosxx2262由以上的结论我们还可以得出一个判定无穷小是否存在主部的方法由于主部存在必然阶数m也存在，同样的如果m可以求出必然是主部存在才行一，一一一f'(X)(X一X)一定理5在