安徽省合肥一中高二数学上学期期中试卷文(含解析)-人教版高二全册数学试题

--#-/20【分析】求出倾斜角的正切函数值，利用同角三角函数的基本关系式求解即可.【解答】解：直线3x-4y+5=0的倾斜角为a,可得tanaq，a是锐角.art台工门”3巾..Zi=t.3即：XS1R2a+C0S2a=1,斛得sina十.cosCl45故答案为：5【点评】本题考查直线的倾斜角与同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力..若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x?+y?+2x-4y+l=0的圆心，贝壮的最小值是ab【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系.【专题】不等式的解法及应用；直线与圆.【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得到ab关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可.【解答】解：x2+y2+2x-4y+l=0的圆心(-1,2),所以直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆心，可得：a+b=L(a+b)当且仅当a二bQ.的最小值是：2+V2.ab故答案为：2+V2.【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力..在梯形ABCD中，NABcT|,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为号.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可.【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1,高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，

o-IqRJ.几何体的体积为：兀・1吨一彳•兀"IJrJ5n故答案为：・J-二C1工B【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观图是解题的关键.16.已知正四面体ABCD的棱长为9,点P是三角形ABC内(含边界)的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为【考点】点、线、面间的距离计算.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.【分析】设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h/h,h,由正四面体ABCD的棱长为9,求出每个面面积S色誉，高h=3氓,由正四面体ABCD的体积得到4+4+113:3«,再由满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，能求出点P到面DCA的距离最大值.【解答】解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为“h//,正四面体ABCD的棱长为9,每个面面积为9X9X岂[门60°-—工^,乙4取BC中点E,连结AE.过S作SO,面ABC,垂足为0,则A0^AE=4[©-斗=3。...高h=so=81—27=3..,••正四面体ABCD的体积v]Sh=-1s(h1+h2+h3),.,.h1+h2+h3=3d^,・•满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，.,.h1+h2+h3=3h2=3V^,.，.％二h/hjZV^,•.点P到面DCA的距离最大值为2%.故答案为：2遍.【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22,每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）.该试题已被管理员删除.已知两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点为P,直线1过点P且与直线5x+3y-6=0垂直.（I）求直线1的方程；（II）求直线1关于原点对称的直线方程.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程.【专题】直线与圆.【分析】（I）联立方程组可得交点P的坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程,化为一般式即可；（II）由题意和对称性可得（0,-2）在要求的直线上，斜率为同（I）可得.TOC\o"1-5"\h\zfk-2y+4=0K=0【解答】解：（I）联立方程组工i，解得力，s-Fy-2=0.y=2・•・直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点P（0,2）,又\•直线5x+3y-6=0的斜率为一士，・•.直线l的斜率为1-353・•・直线1的方程为y-2=7(x-0),化为一般式可得3x-5y+10=0；(II)由题意和对称性可得直线1上的点P(0,2)关于原点的对称点(0,-2)在要求的直线上，由对称可得要求的直线与1平行，故斜率也为陷，・•・直线1关于原点对称的直线方程为y+2=|x,化为一般式可得3x-5y-10=0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的对称性，属中档题.19.如图，长方体ABCD-ARC?中，AB=AD=1,AA:2,点P为DD1的中点.(1)求证：直线BD]〃平面PAC；(2)求证：平面PAC,平面BDD；1(3)求三棱锥D-PAC的体积.【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定.【专题】计算题；证明题.【分析】(1)连接AC，BD,设ACHBD=O,易证PO〃BD1,由线面平行的判定定理即可证得直线BD1〃平面PAC；(2)由于四边形ABCD为正方形，BDLAC,易证AC,平面BDD1,由面面垂直的判定定理即可证得平面PAC,平面BDD；1(3)由Vd_pac=Va_pDC即可求得三棱锥D-PAC的体积.【解答】解：(1)设ACHBD=O,连接OP,VO,P分别为BD,DD中点，1.•・BD1〃OP…3’VOPu平面PAC,BD1C平面PAC,・•・BD1〃平面PAC…5’(2)VD1D,平面ABCD,ACu平面ABCD,

.-.DD±AC-7Z1又AC，BD,DDHBD=D,1.，.AC，平面BDDi-9/VACc平面PAC,・•・平面PAC,平面BDDi-10/(3)VPDX^ffiADC,VD-pac=昨-皿寺AADC'「口二J・【点评】本题考查直线与平面平行的判定与平面与平面垂直的判定，熟练掌握这些判定定理是解决问题的关键，考查学生转化与空间想象的能力，属于中档题.20.如图，在三棱柱ABC-ARC中，侧棱AAJ底面ABC,AB=AC=2AA=2,ZBAC=120°,D,I分别是线段BC,B£的中点，P是线段AD上异于端点的点.（I）在平面ABC内，试作出过点P与平面ABC平行的直线1,说明理由，并证明直线1，平1面ADDA；11（II）设（I）中的直线1交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.（锥体体积公式：g^Sh,其中S为底面面积，h为高）CC;C;【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】（I）在平面ABC内，过点P作直线1和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线1与平面ABC平行.1等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得ADLBC,故1LAD.再由AAJ底面ABC,可得AA±1.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线平面ADDA.(II)过点D作DEXAC,证明DEL平面AACC.直角三角形ACD中，求出AD的值，可得DE的c1值，从而求得、△眄jA”的值，再根据三棱锥A「QCJ的体积九--Q5二外-岫2-DE,运算求得结果.111131【解答】解：(I)在平面ABC内，过点P作直线1和BC平行，由于直线1不在平面ABC内,1而BC在平面ABC内，1故直线1与平面ABC平行.1三角形ABC中，,.,AB=AC=2AA=2,ZBAC=120°,D,1分别是线段BC,B£的中点，.*.AD±BC,AIXAD.再由AAJ底面ABC,可得AAJL而AA]HAD=A,•・直线平面ADDA.(H)设(I)中的直线1交AC于点Q,过点D作DEXAC,・•侧棱AAJ底面ABC,故三棱柱ABC-ARC为直三棱柱，故DE，平面AACC.11直角三角形ACD中，•.•AC=2,NCAD=60°,.・・AD:AC-cos60°=1,...DE=AD-sin60°二—SA^C=vAiC=X2X1=1,i21i12.三棱锥A1-QC1D的体积V%-%D=VD一*1]=1・S&Q&CjDE=|xiX夸W【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.21.已知。O：x2+y2=1和定点A(2,1),由。。外一点P(a,b)向。。引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)某某数a,b间满足的等量关系；(2)求线段PQ长的最小值；(3)若以P为圆心所作的。P与。。有公共点，试求半径最小值时。P的方程.【考点】圆的标准方程；圆的切线方程.【专题】压轴题；直线与圆.【分析】(1)由勾股定理可得PQ2=0P2-0Q2=PA2,即(a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)%化简可得a,b间满足的等量关系.(2)由于PQ-J屋+匕2-1=式4(-2升3)2-I，利用二次函数的性质求出它的最小值.(3)设。P的半径为R,可得|R-"WP0WR+1.利用二次函数的性质求得OP4再M的最小值为莘，此时，求得b=-2a+3=],R取得最小值为莘-1,从而得到圆的标准方程.555【解答】解：(1)连接0Q,■切点为Q,PQXOQ,由勾股定理可得PQkOR-OQz由已知PQ二PA,可得PQ2=PA2,即(a?+b?)_1=(a-2)2+(b-1)化简可得2a+b-3=0.(2)PQ=\ye''1-(-b"-1=-1a(一2社+M)-1=-Ea^-12a+8=.l5Ca-)+二VbbTOC\o"1-5"\h\z故当aT时，线段PQ取得最小值为卷.55(3)若以P为圆心所作的。P的半径为R,由于。。的半径为1,・•.|R-1|WP0WR+1.而OP=了+b之；屋+(-2H3]L：5(a-牛]+/故当a=5时，PO取得最小值为3「5""eF，_此时，b=-2a+34，R取得最小值为三」-1.35故半径最小时。故半径最小时。P的方程为【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题.522.已知曲线C的方程为x2+y2-3x=0(r<x<3).(1)曲线C所在圆的圆心坐标；(2)是否存在实数k,使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值X围；若不存在，说明理由.【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆.【分析】（1）曲线C的方程为xz+y2-3x=0,整理得其标准方程，即可求出曲线C所在圆的圆心坐标;⑵通过联立直线L与圆q的方程，利用根的判别式△二。及轨迹C的端点与点（4,0）决定的直线斜率，即得结论.39【解答】解：（1）•・•曲线C的方程为x2+y「3x=0,整理得其标准方程为：（x-j）叶/力,・•.圆C的圆心坐标为（£,0）.（2）结