第10讲 两角和与差的三角函数（六大题型）（原卷版）

第10讲两角和与差的三角函数【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．知识点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．知识点三：两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．【典型例题】题型一：两角和与差的正（余）弦公式【例1】（2024·广东深圳·高一校考期末）计算：（）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，则a的值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·高一校联考期末）（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）（

）A． B． C． D．题型二：两角和与差的正切公式【例2】（2024·广东肇庆·高一校考期末）计算：＝.【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）的值为．【变式2-2】（2024·高一课时练习）（1）.（2）.【变式2-3】（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）.题型三：给角求值【例3】（2024·河北保定·高一校联考期中）．【变式3-1】（2024·高一课时练习）求.【变式3-2】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）.【变式3-3】（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中）______.题型四：给值求值【例4】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知函数．(1)求的值；(2)设，求的值．【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值．【变式4-2】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，及的值．【变式4-3】（2024·全国·高一专题练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．题型五：给值求角【例5】（2024·全国·高一专题练习）已知，，其中，．(1)求的值；(2)求的值．【变式5-1】（2024·高一课时练习）已知，，，.(1)求tanα的值；(2)求的值；(3)求的值.【变式5-2】（2024·四川成都·高一统考期末）已知，.(1)求；(2)若，，求的值.【变式5-3】（2024·江苏常州·高一校联考阶段练习）已知锐角，且满足.(1)求；(2)求.题型六：两角和与差的正切公式的综合应用【例6】（2024·云南曲靖·高一校考期末）（1）已知，，且，求的值；（2）在中，三内角，，满足：，求的值.【变式6-1】（2024·广东佛山·高一校联考阶段练习）如图，马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，总长3248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，同时也是世界上最长联钢桁梁斜拉桥.为了解桥的一些结构情况，某学校道路桥梁工程设计学习小组将大桥的结构进行了简化，取其部分抽象成图中所示的模型，其中为其中两座桥塔的高，通过测量得知米，米，点在线段上，且在点处测得的顶端的仰角为，在点处测得的顶端的仰角为.当时，.

(1)求主塔的高的长度.(2)是否存在点，使得？如果存在，求出点的位置；如果不存在，请说明理由.【变式6-2】（2024·上海嘉定·高一校考期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值；（2）在中，已知与是方程的两个根.求.【过关测试】一、单选题1．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）已知点是角的终边上一点，则（

）A． B． C． D．3．（2024·江西上饶·高一校考期末）若，，则（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）等于（

）A． B． C． D．5．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．36．（2024·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（

）A．0 B． C． D．17．（2024·吉林·高一校联考期末）若，，，则（

）A． B． C． D．8．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·甘肃武威·高一校联考期中）下列四个式子中，计算正确的是（

）A． B．C． D．10．（2024·高一课时练习）（多选）若，则的可能值是（

）A． B． C． D．11．（2024·山西太原·高一统考期末）计算下列各式，结果为的是（

）A． B．C． D．12．（2024·全国·高一专题练习）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．三、填空题13．（2024·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知为锐角，，则.14．（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）若，，则15．（2024·河北邯郸·高一校考期末）若，则＝．16．（2024·全国·高一专题练习）已知，则.四、解答题17．（2024·上海·高一上海市