7.4 二项式定理（原卷版）

7.4二项式定理一、二项式定理及相关概念1、定义：公式称为二项式定理（1）二项展开式：（2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数（3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：（4）在二项式定理中，若设，，则得到公式2、二项展开式的特点（1）展开式共有项；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数；（3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。3、对通项公式的两点说明（1）通项公式是的展开式中的第项，这里；（2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。二、二项式定理的性质1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，…，2、增减性与最大值当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（）（1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解；（2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解；（3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解；【补充】求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解。四、求形如展开式中特定项的求解方法1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题；2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题；3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。五、求形如的式子中与特定项相关的量第一步：分别写出与的二项展开式的通项；第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）；第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。六、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题1、求二项式系数和：（1）令，则（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即2、求各项系数和（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；（3）若，则的各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为七、二项式系数的最值与项的系数的最值问题1、二项式系数的最值问题如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等且最大；2、项的系数的最值问题求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可八、应用二项式定理解决整除问题的方法用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。题型一二项式定理的正用和逆用【例1】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式．【变式1-1】（2022·高二课时练习）已知，则的值为（）A．5B．6C．7D．8【变式1-2】（2022春·江苏·高二校考阶段练习）若，则（）A．B．C．D．【变式1-3】（2022·高二课时练习）化简多项式的结果是（）A．B．C．D．题型二二项展开式中的特定项【例2】（2022春·云南文山·高二统考期末）在的展开式中，的系数是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2022秋·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）展开式中的常数项是（）A．-160B．-140C．160D．140【变式2-2】（2022秋·黑龙江·高二哈九中校考期末）求的展开式中的系数________.【变式2-3】（2022春·浙江·高二期中）若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（）A．B．C．D．题型三三项展开式中的特定项【例3】（2022秋·江西·高二景德镇一中校考期中）的展开式中，的系数为（）A．51B．50C．－51D．－50【变式3-1】（2022春·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-2】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）展开式中，的系数为（）A．B．320C．D．240【变式3-3】（2022春·福建·高二校联考期末）的展开式中，常数项是______．题型四两个多项式积的特定项【例4】（2022春·广东肇庆·高二校联考阶段练习）的展开式中，常数项为（）A．2B．6C．8D．12【变式4-1】（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为，则实数的值为（）A．B．C．D．【变式4-2】（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）的展开式中的系数为_____．【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）已知在的展开式中含有项，求的系数．题型五二项展开式的系数和问题【例5】（2022春·江苏苏州·高二统考期中）若，则（）A．6562B．3281C．3280D．6560【变式5-1】（2022春·江西抚州·高二统考期末）已知，则（）A．605B．607C．1210D．1214【变式5-2】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若，则的值为（）A．0B．32C．64D．128【变式5-3】（2022春·重庆·高二校考阶段练习）（多选）若，则正确的是（）A．B．C．D．题型六二项式系数与项的系数最值【例6】（2022秋·福建莆田·高二校考期末）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为_____．【变式6-1】（2022春·湖南益阳·高二统考期末）（多选）在的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值可能是（）A．7B．8C．9D．10【变式6-2】（2022春·江苏常州·高二校联考期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（）A．第10项B．第9项C．第11项D．第8项【变式6-3】（2022春·陕西咸阳·高二校考期中）求二项式的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数最大的项和系数最小的项．题型七整除和求余问题【例7】（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）被9除的余数为（）A．5B．6C．7D．8【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则被12整除的余数为______.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，则的一个可能取值是（）A．1B．2C．0D．【变式7-3】（2022秋·江苏南通·高三期末）今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是__________.题型八近似计算问题【例8】（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是_________．【变式8-1】（2022·高二课时练习）求的近似值，使误差小于0.001．【变式8-2