4.4.3 不同函数增长的差异（解析版）

4.4.3《不同函数增长的差异》分层练习考查题型一三类函数模型增长差异的比较1．下列函数增长速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．故选：A.2．已知，则下列命题中正确的是（

）A．，，有成立B．，，有成立C．，，有成立D．，，有成立【答案】A【详解】因为，所以函数、、均为单调递增函数.而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数.所以，，，有成立.故选：A.3．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，又，所以随x的增大而减小，故D不正确；又与它们都是增函数，因为为指数函数，为对数函数，则随x的增大而增大且速度最快的是.故选：A(多选题)4．设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（

）A．的增长速度最快，的增长速度最慢B．的增长速度最快，的增长速度最慢C．的增长速度最快，的增长速度最慢D．的增长速度最快，的增长速度最慢【答案】ACD【详解】画出函数的图象，如图所示，结合图象，可得三个函数中，当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.所以选项B正确；选项ACD不正确.故选：ACD.考查题型二函数图象的识别问题1．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势（

）A．一次函数B．幂函数C．对数函数 D．指数函数【答案】C【详解】从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势.故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象选择合适的函数模型，属于基础题.2.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】解：在在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B．故选：B．3.函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】的定义域为关于原点对称，且，故函数为偶函数，排除AB；当，故C错误故选：D4.下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（

）A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产【答案】ACD【详解】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确.从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.故选：ACD考查题型三函数模型的选择1．有一组实验数据如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系.故选：D.2.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是.（只要填序号）【答案】④【详解】由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④，故答案为：④3.某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择方案.【答案】乙、甲、丙.【详解】根据题意，列出当时，对应的函数值如下所示：50010001500甲：y＝0.2x100200300乙：y＝log2x＋100约等于108.96约等于109.96约等于110.55丙：y＝1.005x约等于12.1约等于146.57约等于1774.57根据表中数据可知：当投资时，应分别选择乙，甲，丙方案.故答案为：乙、甲、丙.【点睛】本题考查函数增长率的差异，属简单题；同时，本题也可以通过函数增长率直接进行判断.4.函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数.

【答案】【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.考查题型四函数的综合运用1.已知是上的减函数，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为上的减函数，所以有，解得：，故选：A.2.若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据指数函数的单调性，可知当时，；根据幂函数的单调性，可知当时，；根据对数函数的单调性，可知当时，，所以.故选：A.3.据报道，某淡水湖的湖水50年内减少了10%，若年平均减少率相等，按此规律，设2019年的湖水水量为m，从2019年起，经过x年后湖水水量y与x的函数解析式为．【答案】.【详解】设每年湖水量为上一年的，则，所以，所以年后的湖水量为.故答案为：.4.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大.【答案】(1)；(2)70万盒，利润最大为1200万元.【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时,,当产量大于50万盒时,,故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：；（2）当时，（万元）；当时，，当时，取到最大值1200万元.5．已知f(x)＝ln是奇函数.(1)求m；(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.【答案】(1)－1；(2)在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.【详解】（1）.是奇函数,,即,得,；（2）在上单调递减.证明:由(1)知.任取满足,,由知,,,即,又为增函数,,即在上是减函数.1．若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（

）x120.20.2550253.210200200102.4A．、、B．、、C．、、 D．、、【答案】D【详解】因为，所以；因为，所以；因为，所以，故选：.(多选题)2．以下四种说法中，正确的是（

）A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．已知，则对任意的，C．对任意的，D．不一定存在，当时，总有【答案】BD【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；对于选项B，因为，所以结合指数函数及对数函数图象，易知，故B正确；对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错；对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确.故选：BD.3．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低则现在价格为4050元的计算机经过15年后价