高考数第一轮复习函数的奇偶性与周期性

11三月2024高考数第一轮复习函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的定义与性质偶

函

数

奇

函

数

定义

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x

_______________________性质

图象

关于____对称关于_____对称定义域

关于_____对称

单调性

在关于原点对称的两个区间上

有_____的单调性

有_____的单调性

图象与原点的关系

若奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=__

f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点相反相同0原点2.周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0;②____________对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.f(x+T)=f(x)最小的正数最小的正数判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(2)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对称.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.()【解析】(1)错误.当奇函数的定义域不含0时，则图象不过原点.(2)错误.函数f(x)的定义域不关于原点对称.(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0，0)中心对称，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图象的对称中心是()(A)(1,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(0,-1)【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到，故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).2.函数的图象关于()(A)y轴对称(B)直线y=-x对称(C)坐标原点对称(D)直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且∴函数f(x)是奇函数.故选C.3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)2【解析】选B.∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)=f(0).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)=f(0)=0,故选B.4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是减函数，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是()(A)a≤2(B)a≤-2或a≥2(C)a≥-2(D)-2≤a≤2【解析】选B.由题意知函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2，解得a≥2或a≤-2.

考向1函数奇偶性的判断

【典例1】判断下列各函数的奇偶性.(1)(2)(3)【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断.【规范解答】(1)由得-1＜x≤1,因此函数的定义域为(-1，1］，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)由得-1＜x＜0或0＜x＜1.∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,∴又∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.【规律方法】判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：(2)图象法：【变式训练】(1)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则()(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数【解析】选B.∵f(-x)=3-x+3x=f(x)，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数，故选B.(2)判断下列函数的奇偶性：①②【解析】①由得-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称，且x+3＞0,∴又∵∴函数f(x)为奇函数.②f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，-x＜0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x＜0时，-x＞0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时，f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).故该函数为奇函数.考向2函数奇偶性的应用【典例2】(1)(2013·杭州模拟)已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,则不等式的解集为

.(2)(2013·苏州模拟)“a=1”是“函数在其定义域上为奇函数”的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).【思路点拨】(1)先利用奇偶性将原不等式转化为f(a)<f(b)的形式,再利用单调性求解.(2)分清条件p与结论q,分别验证p⇒q与q⇒p是否成立.【规范解答】(1)因为f(x)是奇函数,所以不等式f(x-3)+f(x2-3)<0等价于f(x2-3)<-f(x-3)=f(3-x),又f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,所以解得2<x<,即不等式的解集为(2,).答案:(2,)(2)当a=1时，此时=-f(x),∴f(x)是其定义域上的奇函数.当是其定义域上的奇函数时，f(-x)=-f(x),即从而“a=1”是“函数在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件.答案：充分不必要【规律方法】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值.将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式.将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.(3)求函数解析式中参数的值.利用待定系数法求解，根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性.利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.【变式训练】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=()(A)-3(B)-1(C)1(D)3【解析】选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.(2)已知函数为奇函数，则a+b=______.【解析】设x＞0,则-x＜0,∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x.又f(-x)=-f(x),∴x＞0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx,∴a=-1,b=1,∴a+b=0.答案：0

考向3函数的周期性及其应用

【典例3】(1)(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=()(A)335(B)338(C)1678(D)2012(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，其中a,b∈R,若则a+3b的值为______.【思路点拨】(1)先根据周期性求f(1)+f(2)+…+f(6),再根据周期性求f(1)+f(2)+…+f(2012).(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),列方程组求解.【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=1×=335.而f(2011)+f(2012)=f(1)+f(2)=3,∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=335+3=338.(2)因为f(x)的周期为2,所以即又因为所以∴3a+2b=-2①,又因为f(-1)=f(1),所以即b=-2a②,将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案：-10【规律方法】判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(2)则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.(3)则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数.(2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式.(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.【创新体验2】创新运用函数奇偶性问题

【典例】(2013·辽宁高考)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f(lg)=()(A)-1(B)0(C)1(D)2【审题视点】创新点本题考查函数奇偶性的角度创新:lg2与lg互为相反数;让考生极易想到直接利用f(x)奇偶性求值,而f(x)本身又没有奇偶性,但其局部ln(-3x)却为奇函数,需灵活运用奇偶性间接求解.切入点

令g(x)=ln(-3x),则得g(x)为奇函数即g(x)+g(-x)=0,而lg=-lg2,由g(lg2)+g(-lg2)=0得f(lg2)+f(lg)的值【解析】选D.令g(x)=ln(-3x)，则因为＞3x，所以函数定义域为R,又g(-x)=ln(+3x)==-ln(-3x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数,所以g(-x)+g(x)=0，所以g(lg2)+g(lg)=g(lg2)+g(-lg2)=0，所以f(lg2)+f(lg)=［g(lg2)+1］+［g(lg)+1］=g(lg2)+g(-lg2)+2=0+2=2.【创新点拨】1.高考考情:创新运用函数的奇偶性问题是高考命题考查函数奇偶性的一个新角度,考查频次较高.2.命题形式:常以给出函数f(x)=g(x)+c(其中c为非零常数,而g(x)为奇函数),求f(x)最大值与最小值的和,或求f(-a)+f(a)的值的形式出现.【备考指导】1.准确转化:解决该类问题,一定要找准奇函数g(x),将所求问题转化为奇函数的性质g(-a)+g(a)=0的问题求解.2.误区警示:切记g(-a)+g(a)等于0,而非f(-a)+f(a)等于0.【新题快递】1.(2013·南京模拟)已知函数f(x)=a=f(ln2014),b=f(),则a+b=

.【解析】由已知f(x)=令g(x)=则g(x)为奇函数,且f(x)=g(x)+1，a=f(ln2014)=g(ln2014)+1,b=f(ln)=g(-ln2014)+1,则a+b=g(ln2014)-g(ln2014)+2=2.答案：22.(2013·宁波模拟)已知函数f(x)=ln(x+)，g(x)=f(x)+2015，下列命题:①f(x)的定义域为(-∞,+∞);②f(x)是奇函数;③f(x)在(-∞,+∞)单调递增;④若实数a,b满足f(a)+f(b-1)=0，则a+b=1;⑤设函数g(x)在［-2015,2015］的最大值为M,最小值为m，则M+m=2015.其中真命题的序号是

.(写出所有真命题的序号)【解析】因为＞x,所以①正确.对于②,f(-x)=ln(-x+)=ln()=-ln(x+)=-f(x)，所以②正确.对于③,令h(x)=x+,则h(x)为增函数,又y=lnx为增函数,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以③正确.对于④，因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,所以a=1-b,所以a+b=1，所以④正确.对于⑤,f(x)=g(x)-2015为奇函数,f(x)max=M-2015,f(x)min=m-2015，所以(M-2015)+(m-2015)=0,所以M+m=4030，所以⑤错误.答案：①②③④

1.(2013·温州模拟)已知a∈R,则a=0是函数y=x2