曲线拟合方法及程序设计

图SEQ图\*ARABIC11LMF法拟合结果数据结果如下：高斯牛顿法：，迭代次数：9，均方差：3.1301；信赖域—Dogleg法：，迭代次数：23，均方差3.4286；LMF法：，迭代次数：10，均方差：3.1301。分析结果可以看出：当初始值接近真实值的时候，高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法也都可以收敛了。高斯牛顿法和LMF法的拟合结果一样，并且收敛速度比LMF快一点，而信赖域—Dogleg法的拟合精度和收敛速度都要更差一些。实例5，美国人口从1800年到2000年间，每隔十年的总人口如下表[20]：分别用单指数模型和Logistic模型： （4.8） （4.9）对表中数据进行拟合，以便进行人口预测等事情。年份x/年时间顺序人口数y/百万年份x/年时间顺序人口数y/百万180015.319101292.0181027.2192013106.5182039.6193014123.21830412.9194015131.71840517.1195016150.71850623.2196017179.31860731.4197018204.01870838.6198019226.51880950.2199020251.418901062.9200021275.019001176.0先使用进行拟合，函数模型为指数函数，但是调用线性最小二乘法的指数函数模型进行拟合时会发现，计算正规方程时会发现矩阵为奇异值，导致没有结果。调用非线性拟合，发现同实例4一样，初始值为[1，1]时，高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法的矩阵为奇异值，或者拟合结果太差。LMF法的图像结果如下：图SEQ图\*ARABIC12LMF法指数函数模型拟合美国人口和时间的关系LMF法数据结果：，迭代次数：43，均方差：10.5937。可以看出拟合结果比较差，根据结果将初始值[0.1，15]带入高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法中。发现同实例4一样，高斯牛顿法的结果和LMF一样，只是高斯牛顿法的迭代速度要快一点。信赖域—Dogleg法的结果为，迭代次数为21，均方差：10.8072，同样的，不论是拟合速度，还是拟合精度比起另外两种方法都要差一些。同时，这个实例也可以看出，对样本数据做非线性拟合比做线性最小二乘拟合要更稳定，更容易出结果，尤其是使用LMF法更容易得到拟合结果对于Logistic模型： （4.10）选择初始值[1，1，1]进行拟合，高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法，矩阵为奇异值或者接近奇异值，所以没有结果。LMF法图像结果如下：图SEQ图\*ARABIC13LMF法Logistic模型拟合美国人口和时间的关系LMF法拟合数据结果为：[7.5116，0.2191，423.9579] （4.11）迭代次数：66，均方差：4.3195。可以看出拟合结果还可以。根据LMF法的结果，将初始值[7，0.2，420]重新带入三种方法，得到结果如下表：方法拟合结果迭代次数均方差高斯牛顿法[7.5116，0.2191，423.9579]84.3195信赖域—Dogleg法[6.7373，0.2263，418.7400]154.5678LMF法[7.5116，0.2191，423.9579]94.3195分析这个结果可知，结论同实例4和实例5的指数函数非线性拟合一样。

结论本文通过运用最小二乘法的思想，理解并通过MATLAB编程实现了线性最小二乘法，线性化最小二乘法，非线性最小二乘法中的高斯牛顿法，信赖域—Dogleg法，LMF法。通过五个实例，对四组数据，选择合适的模型和求解算法，对比了同一组数据，应用不同拟合方法或者不同模型所产生的结果，分析结果并结合实际发现：线性最小二乘拟合对于现实中的很多数据并不适用，将非线性函数线性化之后，有时会放大噪声，使得矩阵奇异，拟合不收敛或者没有非线性拟合准确。进行非线性拟合时，对比三种方法，发现LMF法可以有效的避免矩阵为奇异值。初始值影响LMF法迭代的次数，对结果的影响并不大。初始值对于高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法的拟合结果影响很大，很差的初始值会使得矩阵为奇异值或者接近奇异值，从而无法收敛，得不到拟合结果或者得到的结果拟合精度太差。初始值良好的时候，高斯牛顿法的迭代求解速度最快。而信赖域—Dogleg法，相较于另外两种方法，拟合精度和拟合速度都差了一些。因此，在日常生活中对样本数据进行曲线拟合时，对于线性函数模型和可线性化的非线性函数模型，如果要求精度很高，也可以使用非线性拟合的方法进行拟合。对于非线性函数，在不知道初值的情况下，建议使用LMF法进行拟合，在知道大概初值的情况下，可以使用高斯牛顿法进行拟合。

致谢本篇论文是在导师XXX教授的倾力指导下完成的。整个论文完成期间，老师始终孜孜不倦，有问必答，其宽厚的待人品德，丰富的教导经验，渊博的学术知识以及严谨的治学态度等等都使我获益良多，在此向我的导师表示崇高的敬意与衷心的感谢！在论文写作中，参考引用了一些论文，期刊等等文献数据，在此对这些文献的作者表示十分感谢！同时，也对在论文期间所有帮助支持过我的亲人朋友们表示非常感谢。谢谢大家

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