第九章 动量定理

第二节质点系动量定理

第三节质心运动定理

第一节质点动量定理

第九章动量定理

在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，而从本章起将讨论的是动力学普遍定理。它包括质点与质点系的动量定理、质心运动定理、质点与质点系的动量矩定理、质点与质点系的动能定理等。本章主要讨论：(1)动量与冲量(2)质点和质点系的动量定理(3)质心运动定理⒈质点动量定理的微分形式由质点动力学基本方程，有

因

则

（9－1）

表明质点动量的变化率等于作用在质点上的合力，此即为质点的动量定理。

第一节质点动量定理⒉质点动量定理的积分形式

在t1与t2时刻，

（9－3）

写成微分形式

（9－2）

这是微分形式的质点动量定理。

称为冲量。

式中—质点的动量；矢量，其大小等于质点的质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位或。上式表明，在任一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就是质点动量定理的积分形式，又称为质点的冲量定理。

（9－4）称为力（时间的函数）在时间间隔（）内的冲量。冲量是矢量，它的运算按矢量运算法则进行，亦即，在任一段时间内，合力的冲量等于各个分力的冲量的矢量和，单位。

（9－5）

⒊质点动量守恒

若作用于质点上的力为零，，则有，则质点动量保持不变。若，则有。（9－3）在直角坐标轴上的投影形式为

有几个质点组成的质点系，内力、外力。对i质点有将质点系中每个质点的动量定理相加，有因内力为零，即

故

第二节质点系的动量定理各质点动量的矢量和，质点系的动量用p

表示，即（9－6）

于是有：

（9－7）

上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的动量（主矢）对时间的导数，等于作用于该质点上所有力的主矢。

投影在直角坐标轴上有

（9－8）

将（9－7）改成

质点系动量的微分等于质点系所受外力系的动量的矢量和。

积分后有：

改写为：

（9－9）

上述即为质点系动量定理的积分形式，又称冲量定理。即，质点系动量在某时间间隔内的改变量，等于各质点系所受全部外力在同一时间间隔内动量的矢量和。在坐标轴上投影有：

（9－10）

上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力动量在同轴上投影的代数和。

易用动量定理解决的问题有：流体流过弯曲管道、射流对障碍物表面的压力及碰撞问题等。【解

】考虑小球，取坐标轴xoy根据投影的质点动量定理

代入数值得：

Sx、Sy正值，方向与所做一致。

例9-1

质量为1kg的小球，以的速度与一固定水平面相碰，其方向与铅垂线成角。设小球弹跳的速度为，其方向与铅垂线成角，如图所示，试求作用于小球上的冲量的大小和方向。（a）（b）其方向：

例9-2机车的质量为，车辆的质量为，它们系通过相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为，车辆处于静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度；（2）在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为秒，轨道是光滑和水平的。（a）【解】

它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水平轴x方向是守恒的。（1）以机车和车辆为研究对象。（2）以机车为研究对象，如图（b）所示。

由此的动量S的大小为：从而求得平均撞击力为：

（b）⒈质量中心组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，表征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。确定质心位置的方法与重心类似（9－11）

c第三节质心运动定理而其坐标公式：

（9－12）

质心和重心是两个不同的概念，质心是质点系质量中心，质心只取决于质量的分布情况，与质点系所受力无关。质心和重心只有在重力场中才重合为一个点。

质点系的动量是各质点动量的矢量和

（9－13）

投影在直角坐标轴上：

c（a）oc（b）R（c）Rc（d）（a）

（b）

（c）

（d）

求图示质点系的动量。

例9-3⒉质心运动定理

对式（9－13）求导数：

（9－13）

（9－14）

又由质点系动量定理，式（9－7）改写为：

则（9－15）

或

（9－16）

上式称为质心运动定理。即，质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。

对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置容易确定，故用式（9－16）求解问题比较方便。

式（9－16）投影形式为

（9－17）

或

（9－18）

质心运动定理表明：质心的运动只取决于外力，而与内力无关，也与外力是否作用在质心无关。

⒊质心运动守恒定理

由，若，则，常矢量。即，若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作惯性运动，若质心的初始速度也等于零，，则常矢量。即质心位置静止。

若，则，常数，即质心在x轴上守恒，又若v0在x轴上投影也为零，则常数，质心在x轴方向静止。

上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为质心运动守恒定理。

例9-4在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg，面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方向走动0.5m。若船重M＝150kg，求船的位移。水的阻力不计。y尾首甲乙甲乙【解】因无水平力水平方向质心守恒，又初始静止。把坐标原点放在船的质心的初始位置设当经过t时刻后，船向右移动x，则：

即

【解】以物块A与摆锤B所组成的质点系为研究对象。，故质心在水平方向守恒（即质心的x左边不变），。取oxy：并令y轴通过质心，则（1）ABo例9-5质量为m的物块A放在光滑的水平面上，如图。若摆长为l，质量不计，摆锤B质量为m，且摆动

=0sint，、0为常数。设运动开始时质心速度为零，求物块A的运动方程。或（2）

因有（3）将（3）代入（2）有：（4）（4）式即为物块A的运动方程本题也可用质点系动量在x轴方向守恒（5）（6）将（6）式积分有：

（7）又，代入（7）式得，由此存在例9-6如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为

，则整个系统的动量为多少？【解】

方向水平向左。因为按图示机构，系统可分成3个物块：OA、AB和轮B。首先需找出每个物块的质心速度：OA作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量，方向水平向左。ABOAB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量，方向水平向左。轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时，方向水平向左。所以所以方向水平向。ABO例9-7如图所示，均质杆OA，长2l,重为P，绕O轴在铅垂面内转动。杆与水平线成

角时，其角速度和角加速度分别为

和

，求该瞬时轴O的约束反力。【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。取坐标系oxy，杆OA质心加速度为：方向如图（b）所示。则：CA(b)PCAO(a)由质心运动定理得：得：解得：本题约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己进行求解。例9-8如图所示，均质杆AB长为，铅垂地立在光滑得水平面上，求它从铅垂位置无初速度地倒下时，端点A得轨迹。【解】AB杆初始静止，且有即沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点的坐标可表示为：消去，得：即A点的轨迹为椭圆。AB1.选择题D（1）设刚体的动量为，其质心的速度为，质量为M，则式。（）A.只有在刚体作平动时才成立B.只有在刚体作直线运动时才成立C.只有在刚体作圆周运动时才成立D.刚体作任意运动时均成立C（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（）A.无变化B.动量大小有变化，但方向不变C.动量大小无变化，但方向有变化D.动量大小、方向都有变化【思考题】

C（3）一均质杆长为，重为P，以角速度绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。（）A.杆的动量大小，方向朝左B.杆的动量大小，方向朝右C.杆的动量大小，方向朝左D.杆的动量等于零ABOCA.质点动量没有改变B.质点动量的改变量大小为，方向铅垂向上C.质点动量的改变量大小为，方向铅垂向下D.质点动量的改变量大小为，方向铅垂向下（4）将质量为m的质