广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题（含答案解析）

2023-2024学年度第一学期期末质量监测高二数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由关系结合已知即可求解.【详解】由题意知，，所以，所以双曲线的方程为.故选：D.2.如图，正方体的棱长为1，设，，，则（）A.1 B. C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解.【详解】由题意可知：，所以.故选：A.3.若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断.【详解】因为点在圆内，所以，设圆心到直线的距离为,则，圆的半径,因为，所以直线与圆的位置关系为相离.故选：.4.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A【解析】【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A．5.过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由中点坐标公式结合定义法求解抛物线焦点弦即可.【详解】由题意，所以.故选：C.6.如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解.【详解】建立空间直角坐标系如图，则，，，，，设，由，得，所以，，，所有，，因为，，所以，得.故选：C.7.已知数列满足，，且（，且），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分析可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可得结果.【详解】因为，则，且，又因为，，即，可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以.故选：A.8.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解.【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，则，，由题意可知：，因为，则，可得，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以直线与之间距离是；解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，设，且，，则，取，则，，可得，则在上的投影就是两异面直线间的距离.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果，，那么直线经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】ACD【解析】【分析】根据直线斜率与截距判断即可.【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，因为，，故，，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．故选：ACD．10.已知角，则方程可能表示下列哪些曲线（）A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.两条直线【答案】ABCD【解析】【分析】根据题意讨论的取值范围，结合方程分析判断.【详解】当时，则，即，方程可化为，表示双曲线，故B正确；当时，则，方程可化为，表示两条直线，故D正确；当时，则，即方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；当时，则，方程可化为，表示圆，故C正确.故选：ABCD.11.一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C：相切，在下列方程中，不是反射光线所在直线方程的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由题意设，由直线和圆相切的条件列方程即可求解.【详解】反射光线所在直线经过点A关于轴对称的点，圆C的圆心，半径为1，显然反射光线斜率存在，设反射光线所在直线方程为，因为反射光线与圆C相切，所以，解得，，代入方程得，，即反射光线所在直线方程为，.故选：AD.12.数列满足：，，，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递减数列 D.的前项和【答案】AB【解析】【分析】推导出，，从而数列为首项为，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解：数列满足：，，，，，，数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确；，，故正确；数列是递增数列，故错误；数列的前项和为：，的前项和，故错误．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆与圆，则两圆心之间的距离为________.【答案】5【解析】【分析】由圆的一般方程可得圆心，再结合两点间距离公式运算求解.【详解】由题意可知：两圆心坐标分别为，，所以两圆心之间的距离为.故答案为：5.14.是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则______.【答案】9【解析】【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】是双曲线上一点，所以，所以，由双曲线定义可知，所以或者，又，所以，故答案为：9.15.已知数列满足：，则________.【答案】【解析】【分析】由题意构造数列，由此可得当时，，进一步即可求解.【详解】设，的前项和为，则，当时，，即，当时，，满足题意，所以，.故答案为：.16.已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.【详解】令椭圆：半焦距为c，设，则，由点在轴上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以的离心率为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式可得数列的前项和．【详解】（1）由题意可知解得所以数列通项公式为.（2）数列的前项和.18.已知圆与相交于A、B两点，（1）求的长；（2）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先两圆方程相减得公共弦方程，结合点到直线的距离公式，弦长公式即可求解.（2）联立两圆方程求出A、B两点坐标，得出中垂线方程，联立直线方程得圆心坐标，由两点之间距离公式得半径，由此即可得解.【小问1详解】两圆方程相减得即，圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，由垂径定理得.【小问2详解】由得或，不妨设，，的垂直平分线为，由得圆心坐标为，半径长为，所以圆的方程为.19.已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，（1）求切线的长；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解.（2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可.【小问1详解】圆的圆心为，半径，，因为故所以，的长都是.【小问2详解】因为，，所以A、B都在以为直径的圆上，圆心为的中点，半径长为，所以圆的方程为，即，由得，故直线的方程为.20.如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.（1）证明：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为底面，平面，所以.四边形是直角梯形，，，因为，所以.所以，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.【小问2详解】解法一：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则，取，则，得.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以，二面角的余弦值为.解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则.取，则，则.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以二面角的余弦值为21.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.（1）建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；（2）当水面上涨0.5米时，木船能否通行？（3）当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？【答案】（1）（2）能（3）3【解析】【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程;（2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解；【小问1详解】以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示设抛物线的方程为，则点在抛物线上，代入方程得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，设，代入方程得，故，则，所以木船能通行；【小问3详解】假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为，把代入方程，得，故，由，得.所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行.22.已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点.①证明：直线与直线的斜率之积为定值；②记和的面积分别是，，求的最小值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）由的关系以及，即可求解.（2）①由题意设方程为.联立抛物线方程，结合韦达定理以及斜率公式即可得证.②由三角形面积公式只需分别求出，分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式以