高二数学人教A版选修1-2作业2-1-1合情推理

第二章2.1请同学们认真完成练案[３]A级基础巩固一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)A．28 B．32C．33 D．27[解析]由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9，12，…，故x＝20＋12＝32．2．观察下列等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各等式的规律，可得到一般性的等式为(A)A．eq\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,8－n－4)＝2 B．eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋1＋5,n＋1－4)＝2C．eq\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,n＋4－4)＝2 D．eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋5,n＋5－4)＝2[解析]观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是(B)A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2．4．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}，以此类推．试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系得每组内各数之和等于(B)A．n2 B．n3C．n4 D．n(n＋1)[解析]1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…猜想第n组各数之和应等于n3．所以选B项．5．观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(A)A. B．△C．▭ D．○[解析]图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．6．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是(A)A．白色 B．黑色C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．二、填空题7．高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在__画画__．[解析]∵以上命题都是真命题，∴对应的情况是：打篮球画画跳舞散步A××B××C××D××则由表格知C在散步，B在打篮球，篮球画画跳舞散步A×√×B√××C××D××∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴A在跳舞，则D在画画，故答案为画画．8．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四边形中不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五边形中eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式：__eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)__．[解析]不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)成立．三、解答题9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．[解析](1)如图所示，可得f(4)＝5．(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5．…∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)．B级素养提升一、选择题1．(多选题)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数不可能是(ACD)A．27 B．28C．29 D．30[解析]后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，…，故第七个三角形数为21＋7＝28，故选ACD．2．(多选题)下面使用类比推理，得出的结论不正确的是(ABD)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”[解析]选项A，“若a·0＝b·0，则a＝b”是错误的，∵0乘任何数都等于0；选项B，“(a·b)c＝ac·bc”是错误的，不符合乘法的运算性质；选项C，“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”是正确的；选项D，“(a＋b)n＝an＋bn”是错误的，如(3＋2)2≠32＋22，故选ABD．二、填空题3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正面四体的棱长的比为12，则它们的体积比为__18__．[解析]类比即可得到，或者由正四面体体积公式V＝eq\f(\r(2),12)a3也可得到．4．观察下列等式1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)…据此规律，第n个等式可为__1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)__．[解析]等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．三、解答题5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式．[解析]当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)；∴S3＝－eq\f(3,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7)．猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N*)．6．已知命题，若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝eq\f(bn－am,n－m).现已知等比数列{bn}(b>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m，n∈N*，且m≠n)．类比上述结论，求bm＋n，并说明理由．[解析]类比得结论：bm＋n＝eq\r(n－m,\f(bn,am))．理由：设等比数列{bn}的公比为q，则bm＋n＝bmqn．又∵eq\f(bm,bn)＝eq\f(b1qm－1,b1qn－1)＝qm－n＝eq\f(a,b)，∴q＝(eq\f(a,b))eq\f(1,m－n)．因此，bm＋n＝bmqn＝a·(eq\f(a,b))eq\f(n,m－n)＝(eq\f(bn,am))eq\f(1,n－m)＝eq\r(n－m,\f(bn,am))．7．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，且cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．[解析]由题图知，在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1．于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的